張 青

(廣東省廣州市番禺區(qū)大龍中學(xué) 廣東廣州 511400)

深度學(xué)習(xí)理念要求學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中，能夠?qū)⒅R(shí)化為自己解決問題的能力，借助思維導(dǎo)圖，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并進(jìn)行有效應(yīng)用。深度學(xué)習(xí)是一種積極主動(dòng)性的探究活動(dòng)，要求學(xué)習(xí)者將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該是課堂的創(chuàng)設(shè)者、組織者、管理者、引導(dǎo)者、促進(jìn)者。深度學(xué)習(xí)不是一種教學(xué)模式，而是一種新的教學(xué)理念，是教學(xué)改進(jìn)的一個(gè)方向，因此，教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)思想。那么，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)呢？如何對(duì)歷史班學(xué)生進(jìn)行有效的教學(xué)，取得高考的雙贏、共贏、多贏，是每一位在普通高中任教的教師都必須重視的問題。本文將以人教版選修2-3“二項(xiàng)式定理”為例，利用深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，目的是讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上去同化，引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗(yàn)和深入的思考，達(dá)成對(duì)概念的透徹理解，有效克服數(shù)學(xué)淺層次的學(xué)習(xí)，以促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

“二項(xiàng)式定理”的新課標(biāo)要求，用計(jì)數(shù)原理分析(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的展開式，歸納類比得到二項(xiàng)式定理，并能用計(jì)數(shù)原理證明。掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，解決簡(jiǎn)單問題，會(huì)求各種類型的二項(xiàng)式系數(shù)。由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可進(jìn)一步深化對(duì)組合數(shù)的認(rèn)識(shí)，總之，二項(xiàng)式定理是綜合性較強(qiáng)的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識(shí)，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)與技能，同時(shí)成為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，形成正確價(jià)值觀的過程。本節(jié)課的教法應(yīng)當(dāng)遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和促進(jìn)者”的教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，學(xué)生主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動(dòng)，生生互動(dòng)中，完成二項(xiàng)式定理的探究，掌握求二項(xiàng)式定理展開式系數(shù)的方法。

引入：提出問題：(a+b)2+? (a+b)3=? (a+b)4=? 學(xué)生思考。

那么(a+b)10=? (a+b)n=? 展開式是什么？

二、體驗(yàn)感知，探究歸納

（一）探究歸納，總結(jié)規(guī)律

觀察下列的展開式，歸納猜想(a+b)n的展開式有怎樣的規(guī)律？

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)展開式中有多少項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)有什么規(guī)律，每一項(xiàng)的系數(shù)之間有什么規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)n次展開式中有n+1項(xiàng)，展開式中每一項(xiàng)都是n次式，系數(shù)先增后減，且對(duì)稱相等。這種由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開對(duì)特殊實(shí)例的觀察和教師的引導(dǎo)，只有將具體實(shí)例進(jìn)行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的總結(jié)，才能讓學(xué)生順暢抓住展開過程的兩個(gè)要點(diǎn)，即項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和項(xiàng)的系數(shù)，有目的地進(jìn)行下一步的探討和分析。

（二）探究項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

展開式中的各項(xiàng)是如何得到的呢？教師引導(dǎo)，學(xué)生思考討論。根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，(a+b)n的展開式是從每個(gè)因式中任取一項(xiàng)相乘得到展開式的項(xiàng)。多項(xiàng)式乘法法則是展開式的運(yùn)算基礎(chǔ)，同時(shí)為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生的思維能夠活躍起來(lái)，為下面的系數(shù)研究奠定基礎(chǔ)。

（三）探究項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)

展開式各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的呢？根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，各項(xiàng)的形成過程就是有關(guān)計(jì)數(shù)原理的問題。而各項(xiàng)的系數(shù)，就是展開過程中該項(xiàng)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。本節(jié)課的重點(diǎn)是利用多項(xiàng)式的乘法法則和計(jì)數(shù)原理對(duì)展開式中的各項(xiàng)進(jìn)行分析，透徹理解系數(shù)的產(chǎn)生過程和規(guī)律，從而為熟練求二項(xiàng)展開式的系數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，能準(zhǔn)確檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)問題分析能力和解決方法的掌握。

這一部分的逐步探究過程，可以讓學(xué)生以小組合作的方式進(jìn)行，通過同伴的探索、協(xié)作與交流，發(fā)揮小組學(xué)習(xí)共同體的作用，讓每個(gè)學(xué)生都參與到深度思考中，從而促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)從本質(zhì)上看就是一種主動(dòng)的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上同化，通過小組合作討論能更好地實(shí)現(xiàn)促進(jìn)式、層次式的、階梯式的深度學(xué)習(xí)[2]。

三、知識(shí)建構(gòu)，形成定理

（一）二項(xiàng)式定理：(a+b)n的展開式為：

證明：(a+b)n是n個(gè)(a+b)相乘，每個(gè)(a+b)在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或者選b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開式共有2n項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是an-kbk(k=0,1,…n)的形式，對(duì)于每一項(xiàng)an-kbk，它是由k個(gè)(a+b)中選了b，n-k個(gè)(a+b)中選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)(a+b)中取k個(gè)b的組合數(shù)Ckn，將它們合并同類項(xiàng)，就得到二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理。

（二）深化認(rèn)知，加強(qiáng)理解

二項(xiàng)式定理的公式特征：

1.展開式中每一項(xiàng)的次數(shù)都是n；

2.展開式共有n+1項(xiàng)；

3.展開式各項(xiàng)按照字母a降冪排列，次數(shù)由n遞減到0，字母b升冪排列，次數(shù)由0遞增到n；

4.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為第k+1項(xiàng)，用Tk+1表示，即Tk+1=Ck

nan-kbk；

5.各項(xiàng)的系數(shù)Ck

n(k=0,1,…n),叫二項(xiàng)式系數(shù)。

對(duì)于二項(xiàng)式定理的公式特征的歸納總結(jié)，是從特殊到一般的歸納過程，訓(xùn)練學(xué)生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力。對(duì)于這部分內(nèi)容，可以先讓學(xué)生小組討論，總結(jié)歸納，但學(xué)生的表述能力有限，理解能力有限，教師要及時(shí)發(fā)揮引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生完善思維，進(jìn)行有效性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。深度學(xué)習(xí)是提高學(xué)生有效性意義建構(gòu)成效的有效途徑和策略，教師要把握住兩個(gè)基本要點(diǎn)，教師可以一方面立足于深度學(xué)習(xí)，另一方面立足于學(xué)生的實(shí)際，努力設(shè)計(jì)一個(gè)能夠讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

四、鞏固知識(shí)，提升解題能力

設(shè)計(jì)幾道例題，讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。練習(xí)題是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，應(yīng)用新知的能力，各個(gè)題目設(shè)計(jì)得比較有梯度，逐漸加大難度，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，并向高考題靠攏，提高學(xué)生的解題能力。

例1（小試身手）：寫出(x+1)8=?

變式：寫出(2x-1)8的展開式。

例2（課本例題）：（1）求(1+2x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；

例3（走進(jìn)高考題）：

（1）(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是（ ）。

A.42 B.35 C.28 D.21

A.80 B.-80 C.40 D.-40

（3）(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為（ ）。

A.12 B.16 C.20 D.24

（4）(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

上面的幾個(gè)例題由易入難，層層遞進(jìn)，可以用基本方法二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)解決（需要較強(qiáng)的指數(shù)冪計(jì)算功底），還可以利用計(jì)數(shù)原理，直接寫出指定項(xiàng)的系數(shù)，這個(gè)方法通俗易懂，學(xué)生容易掌握，且可以舉一反三，各種類型的二項(xiàng)式系數(shù)都可以解決，一個(gè)括號(hào)的二項(xiàng)式系數(shù)（例3（1）（2）），兩個(gè)括號(hào)的二項(xiàng)式系數(shù)（例3（3）（4）），甚至三項(xiàng)式系數(shù)（拓展提升（2））。

拓展提升：

（1）(2x-3y)(3x+2y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_________。（用數(shù)字填寫答案）

（2）(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為__________。（用數(shù)字填寫答案）

解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，問題設(shè)計(jì)是非常重要的，因?yàn)榻處煂?duì)問題的設(shè)置和導(dǎo)向，直接決定了學(xué)生的思維方向和思維深度，教學(xué)中以問題為主線，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣和積極性，使學(xué)生的思維始終處于“提出問題，解決問題”的狀態(tài)中。在學(xué)生無(wú)法自主完成思維方法提升的時(shí)候，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，使學(xué)生能夠熟練掌握所學(xué)知識(shí)，并將之運(yùn)用于解決實(shí)際問題?？傊?，教師要重視學(xué)生的參與過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、邏輯推理、解決問題的能力。

綜上所述，開展深度學(xué)習(xí)的研究與實(shí)踐是把握教學(xué)本質(zhì)的一種積極努力，是我國(guó)課程教學(xué)改革走向深入的必需。授之以魚不如授之以漁，教師要轉(zhuǎn)變立場(chǎng)和思想觀念，思考讓學(xué)生做什么，如思考、探究、小組合作、回答問題等，還要關(guān)注教什么，怎么教，學(xué)生為什么學(xué)，學(xué)什么，怎么學(xué)，只有教師的深度教學(xué)才能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)知識(shí)的深度加工與機(jī)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)到素養(yǎng)的進(jìn)階[7]。