潘霞虹

摘 要：倍的概念是比較兩個量之間的關(guān)系，對學(xué)生而言十分抽象、不易理解。為了讓學(xué)生更好地認(rèn)識倍并理解倍的概念，在教學(xué)中筆者試著對教材進(jìn)行研讀并通過調(diào)查對單元知識進(jìn)行重新組合、編排、整合教學(xué)。“倍”的概念教學(xué)，教師應(yīng)立足學(xué)生的認(rèn)知起點，借助合理有效的教學(xué)手段——多元表征，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、共同探究、求聯(lián)求異中建構(gòu)概念，使學(xué)生對“倍”的形成深度認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：多元表征;“倍”的概念;深度學(xué)習(xí)

“倍的認(rèn)識”是人教修訂版教材三年級上冊第五單元的內(nèi)容，是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個抽象而重要的概念。在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的關(guān)于比較兩個數(shù)量大小的方法是比較數(shù)量的多與少，即比較兩個數(shù)量的差，也就是常說的差比。在比較兩個數(shù)量關(guān)系時，除了差比，還可以將一個量確定為標(biāo)準(zhǔn)量，通過判斷另一個量里面有多少個這樣的標(biāo)準(zhǔn)量，來比較兩者的比率關(guān)系，也就是倍比。比率這一概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)比例的基礎(chǔ)。實際上，倍、表示分率的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等概念的本質(zhì)都是比率，而“倍的認(rèn)識”是學(xué)生第一次接觸比率，之后的小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（表示分率）、百分?jǐn)?shù)、比的內(nèi)容，都可以看作是對“整數(shù)倍”的擴(kuò)展?！氨兜恼J(rèn)識”的地位和作用也就不言而喻了。

一、課前調(diào)研，了解學(xué)情

為了了解學(xué)生是否知道“倍”，他們了解的“倍”是否是數(shù)學(xué)中所教學(xué)的“倍”，筆者對所任教班級進(jìn)行了前測。通過前測可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“倍”的認(rèn)知并不是零起點，有相當(dāng)一部分的學(xué)生并不陌生，在進(jìn)一步交流訪談后，學(xué)生對“倍”又似懂非懂，無法用“誰是多少，誰是多少，誰就是誰的幾倍”這樣的句式來表達(dá)。并且在表征“倍”時，受實際生活的影響，學(xué)生對“多幾倍”和“幾倍”概念上較為混淆?？梢姡瑢W(xué)生對“倍”的本質(zhì)理解有較大的偏差。

二、解讀教材，掌握意圖

小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)。理解兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系是學(xué)生乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立的重要方面，而“倍”是加法認(rèn)知結(jié)構(gòu)到乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點，是乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的起始階段。如何在學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，改變原有的認(rèn)知，優(yōu)化“倍”的教學(xué)？筆者從對比教材入手，分析比較，試圖掌握教材背后的編寫意圖。

（一）不同版本的編排對比

筆者主要以人教修訂版、蘇教版與浙教版教材進(jìn)行對比。

人教修訂版以“小兔子數(shù)蘿卜”為情境，通過數(shù)一數(shù)、圈一圈，把2根胡蘿卜看作1份，紅蘿卜就有這樣的3份，紅蘿卜的根數(shù)里有3個2根，就說紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍。這里有兩個特點：一是重觀察、重操作，以直觀的方式讓學(xué)生加深“倍”的理解;二是通過舊知識“幾個幾”和新知識“倍”建立對接，幫助學(xué)生理解倍的內(nèi)涵。

蘇教版以“小朋友數(shù)花”為情境，通過問題“你能比一比這三種花的朵數(shù)嗎”展開教學(xué)。教材先出現(xiàn)學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過的“比多少”，接著通過圈一圈，用“倍比”的方法得出黃花是藍(lán)花的3倍。在這里，它主要強(qiáng)調(diào)的是“倍”是由兩個數(shù)量相比較而產(chǎn)生的，并且是在學(xué)生已經(jīng)熟悉的差比關(guān)系基礎(chǔ)上引發(fā)新的生長點。

浙教版教材以“游藝室里掛氣球”為情境，把2個紅氣球看作1份，藍(lán)氣球有這樣的3份，就說藍(lán)氣球的個數(shù)是紅氣球的3倍。接著通過掛氣球的個數(shù)變化來呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)量”、“比較量”和“倍數(shù)”之間變與不變的關(guān)系。它則更凸顯對“倍”概念的辨析和理解。

（二）人教版的實驗版與修訂版教材對比

教學(xué)時段不同：在人教版的實驗版教材中，“倍”的認(rèn)識被分散安排在二年級上冊和下冊，從乘法的角度引出倍的含義。而在修訂版教材中，則集中安排在三年級上冊的第五單元。一方面，整體后移，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度;另一方面，集中教學(xué)“倍”，學(xué)生不受乘除法的限制，更利于加深對“倍”內(nèi)涵的理解，教學(xué)更富有邏輯性與結(jié)構(gòu)性。

主題圖使用不同：這里主要是有兩處明顯不同。一是使用的事物不一樣，實驗版用的是小棒，修訂版用的是小兔和蘿卜，顯然，后者的情境更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二是呈現(xiàn)的方式不一樣，實驗版采用的是活動方式類的，而修訂版使用的是自然情境類的。從操作變?yōu)橛^察，弱化了對圖形的關(guān)注，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹃P(guān)系的關(guān)注，從而更好地突出“倍”的本質(zhì)：是兩個量比較的結(jié)果。同時，用“圈一圈”代替擺，更重視圖畫表征，強(qiáng)調(diào)通過圖形直觀，經(jīng)歷把“2個胡蘿卜看成一份，6個紅蘿卜就有這樣的3份，紅蘿卜根數(shù)就是胡蘿卜根數(shù)的3倍”的認(rèn)識過程，親身經(jīng)歷倍的形成過程，同時也滲透了畫圖策略，為后面解決“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”奠定基礎(chǔ)。

三、多元表征，深度學(xué)習(xí)

筆者根據(jù)各版本教材的特點以及實際的學(xué)情，重新設(shè)計教學(xué)方案：以“畫”為媒，以“比”為線，以“用”為根，以此促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，真正建構(gòu)起“倍”的概念。

（一）以“畫”為媒，思維可視化

借助“數(shù)學(xué)魔盒”這樣一個有趣而神秘的情境，讓學(xué)生通過觀看，直觀認(rèn)識學(xué)生最熟悉且最簡單地“2倍”，之后將實物情境圖演變?yōu)橄笮问疽鈭D，形成標(biāo)準(zhǔn)的“2倍”直觀模型，建立2個幾和2倍之間的聯(lián)系，并且把學(xué)生模糊的、直覺的“倍”進(jìn)行數(shù)學(xué)化的規(guī)范——形的規(guī)范、語言表達(dá)的規(guī)范。

之后學(xué)生開始兩次的“畫圖”表征——在“初畫”中理解2倍，在“再畫”中強(qiáng)化幾倍，將自己的思維通過表征變得外顯、可視。

【教學(xué)片段1】

師：小朋友，如果你面前也有這樣的一個數(shù)學(xué)魔盒，你想放進(jìn)去幾個笑臉，出來會是怎么樣的？把你的想法快速地畫在學(xué)習(xí)單的第一題上。

——學(xué)生動手畫一畫：

師：誰愿意來介紹一下自己的作品？

生1：把進(jìn)去的4個笑臉看作1份，出來的笑臉有這樣的2份，出來的笑臉是進(jìn)去笑臉的2倍。

如果說剛才的實物魔盒只是讓學(xué)生直觀認(rèn)識2倍，那么這里就是幫助學(xué)生加深對2倍的理解。通過讓每一位學(xué)生現(xiàn)場畫一畫，將自己對2倍的理解內(nèi)化、表征出來，豐富了2倍的圖示，同時，以形輔數(shù)，一步步幫助學(xué)生從具體的量抽象乘集合圖，不斷深化2倍的意義，建立2倍的直觀圖式。

【教學(xué)片段2】

師：剛才，我們主要認(rèn)識研究了2倍，想一想，生活中是不是只有2倍呢？現(xiàn)在請你想一個自己最喜歡的倍，然后把它畫在學(xué)習(xí)單的第二題中。

第一小題是已知進(jìn)去的圓的個數(shù)，畫出來的個數(shù)，是順向思維;第二小題是已知出來的圓的個數(shù)，畫進(jìn)去的個數(shù)，是逆向思維。這里再一次借助“畫圖”，從笑臉到圓形，再次內(nèi)化“幾倍”的概念本質(zhì)。同時學(xué)生的建模經(jīng)驗進(jìn)行初步類推，實現(xiàn)了從具象到抽象，從2倍到多倍的轉(zhuǎn)化，并為后面進(jìn)一步深入理解倍提供學(xué)習(xí)素材。

（二）以“比”為線，知識結(jié)構(gòu)化

概念教學(xué)要關(guān)注概念的實際背景以及概念形成的思維過程。抽象的數(shù)學(xué)概念的形成可以借助有形的數(shù)學(xué)活動，通過活動鋪就概念與學(xué)生思維的通道，幫助學(xué)生有效建立概念。學(xué)生掌握概念的過程也是一個不斷發(fā)展的過程，往往經(jīng)歷建立概念表象、抽象概念本質(zhì)、厘清概念結(jié)構(gòu)、辨析概念間關(guān)系這幾個階段。而在本堂課中，筆者以“比”為主線，層層深入，幫助學(xué)生建立“倍”的概念。

1. 建立概念表象

概念的表象是指對概念具有鮮明形象的感知，將頭腦中的概念經(jīng)過外部信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是對概念進(jìn)行知識表征的過程。雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)之前，對“倍”有初步的感知，但他們無法用語言表述什么是“倍”。所以筆者創(chuàng)設(shè)了“數(shù)學(xué)魔盒”的情境，通過具體的實物表征“倍”的含義，通過3次對比，嘗試說一說數(shù)學(xué)魔盒的秘密，以此來激發(fā)學(xué)生對“倍”的語言表征，促使學(xué)生在頭腦中建立“倍”的表象。

2. 抽象概念本質(zhì)

概念是事物本質(zhì)屬性的反映。它的形成一定是一個從具體到抽象的思維過程。如果說數(shù)學(xué)魔盒中認(rèn)識的“2倍”是一個表象，那么學(xué)生初畫2倍后的對比，就是抽象“2倍”本質(zhì)的一個過程。通過“為什么這里都可以說出來的笑臉個數(shù)是進(jìn)去的2倍”這一問題的設(shè)計，讓學(xué)生在不同作品的求同中完善“2倍”的概念及圖式。同時，通過“再增加2個笑臉，會有什么變化”和“如果要使出來的笑臉個數(shù)是進(jìn)去的4倍，該怎么辦”，讓學(xué)生從不同的角度建構(gòu)倍的圖示模型，挖掘“倍”的本質(zhì)，理解“一個數(shù)里有幾個幾”就是“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”，明確“倍”隱藏著“包含”關(guān)系，以此達(dá)到對“倍”本質(zhì)的理解。

3. 厘清概念結(jié)構(gòu)

“倍”概念非常抽象，而小學(xué)生思維又是具象的，所以教學(xué)時要將概念與實例相結(jié)合，借助實例教學(xué)概念，從而厘清概念的知識結(jié)構(gòu)。

在“再畫”幾倍后，學(xué)生的反饋主要分為三類：第一類是第一小題，也就是一份數(shù)相同，但倍數(shù)不同;第二類是第二小題一份數(shù)不同，倍數(shù)也可以不同;第三類是特殊的倍：一份數(shù)是1個和1倍的情況。在交流的基礎(chǔ)上，然后通過兩次對比和追問——“在這里，進(jìn)去的都是2個圓，為什么倍數(shù)關(guān)系卻不相同？”和“現(xiàn)在出來的都是6個圓，怎么它們的倍數(shù)關(guān)系還在變化呢？”感悟標(biāo)準(zhǔn)量、比較量和倍數(shù)之間變與不變的關(guān)系，加深學(xué)生對標(biāo)準(zhǔn)量1份數(shù)的理解，加深幾個幾和倍之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生厘清“倍”的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

4. 辨析概念間關(guān)系

通過對比和辨析，可以加深學(xué)生對概念的正確理解與建構(gòu)。在小結(jié)中，溝通了倍比和差比的新舊知識聯(lián)系，幫助學(xué)生梳理知識，明確概念，形成網(wǎng)絡(luò)。

借助“比”，將學(xué)生的畫圖表征、語言表征、概念理解、數(shù)理表述都有機(jī)地結(jié)合起來，讓學(xué)生看著自己的圖來說理，降低了數(shù)理表述的難度，數(shù)學(xué)的“多元表征”讓原本“高冷”的數(shù)理瞬間變得親切，自然，也讓學(xué)生對倍本質(zhì)的理解變得更加直觀。

（三）以“用”為根，策略模型化

畫是為了最終的“不畫”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)最終要走向生活應(yīng)用。這里通過3道精心設(shè)計的練習(xí)題，讓學(xué)生層層深入，直擊“倍”的本質(zhì)。

練習(xí)一從整齊排列到雜亂無章，打破之前建立的倍的直觀模型，迫使他們?nèi)リP(guān)注倍的本質(zhì)——幾個幾，實現(xiàn)了從圖到數(shù)的轉(zhuǎn)變。練習(xí)二通過解決“藍(lán)珠子是紅珠子的（ ）倍”這樣一個問題，從一串手鏈到2串、3串手鏈，把一道題用透、用深，讓學(xué)生初步感知兩個量都成倍增加時，它們之間的倍數(shù)關(guān)系是保持不變的。練習(xí)三是長方形色塊的涂色問題。一方面，從之前的實物抽象到圖形，更為重要的是之前所接觸的倍都是兩個物體之間的比較，這里是部分與整體的比較。同時還讓學(xué)生直觀感知了除整數(shù)倍外，還有小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)倍，把倍的內(nèi)涵從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，打通了與后續(xù)知識的聯(lián)系。另一方面，通過“形”直觀體驗變化的規(guī)律，感受一個數(shù)據(jù)隨著另一個數(shù)據(jù)的變化而變化的過程，初步體驗函數(shù)思想。

曹培英老師對學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)分為三個層次：一是直觀感知水平能力，二是直觀理解水平能力，三是直觀深化水平能力。筆者的本堂課，雖是“倍”概念的起始課，但也遵循曹老師的三個層次，數(shù)學(xué)魔盒的識2倍，是第一層次，是個體理解，屬于特殊情況;之后的2倍的集合模型和多倍認(rèn)識，屬于一般化情況，是第二層次;在串珠、長方形色塊涂色中，屬于系統(tǒng)化情況，是第三層次?？偟膩碚f，筆者借助“畫”，通過“比”，回歸“用”，既符合學(xué)生的認(rèn)知思維，又促使他們對“倍”進(jìn)行了深入探究，讓“倍”在學(xué)生的頭腦中深度發(fā)生。

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川雙語小學(xué)，寧波 315000）