謝如恒,丁 洋,楊 毅

(中國(guó)電子科技集團(tuán)第二十八研究所,江蘇 南京 210001)

近年來,隨著全球軍事強(qiáng)國(guó)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的日趨成熟,戰(zhàn)略核力量面臨的巨大挑戰(zhàn)就是大氣層外中段防御系統(tǒng),為有效躲避敵方反導(dǎo)防御系統(tǒng)中外大氣層殺傷攔截器(Exoatmospheric Kill Vehicle,EKV)的攔截[1-3],彈道導(dǎo)彈中段機(jī)動(dòng)變軌技術(shù)已成為重點(diǎn)研究方向。

美國(guó)國(guó)家導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的核心技術(shù)主要體現(xiàn)在外大氣層殺傷攔截器(EKV)上。外大氣層殺傷攔截器是一種小型、非核、自尋的、靠直接碰撞殺傷的攔截器,它還裝有紅外導(dǎo)引頭、變軌推進(jìn)系統(tǒng)以及數(shù)據(jù)處理制導(dǎo)系統(tǒng)[4-6]。美國(guó)多年來通過攔截試驗(yàn)對(duì)EKV進(jìn)行了多次改進(jìn)和完善,2020年在太平洋發(fā)射的攔截器成功攔截洲際彈道導(dǎo)彈,使其具備實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用的能力,因此研究分析外大氣層殺傷攔截器的作戰(zhàn)特點(diǎn)和突防措施,具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

目前的彈道導(dǎo)彈中段突防措施,主要分為以下兩個(gè)方面。

第一種是程序式機(jī)動(dòng)突防[7-8],所謂機(jī)動(dòng)突防,就是事先設(shè)定好彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)程序,即不管敵方是否攔截,如何攔截,彈道導(dǎo)彈都會(huì)在發(fā)射后的固定時(shí)間,進(jìn)行固定的機(jī)動(dòng),以此來降低攔截器對(duì)彈道導(dǎo)彈軌跡的預(yù)測(cè)精度,提高彈道導(dǎo)彈的突防成功率。

第二種是自主機(jī)動(dòng)突防[9-13],突防彈道導(dǎo)彈在探測(cè)到攔截器時(shí),通過獲取攔截器的飛行參數(shù),由彈載計(jì)算模塊實(shí)時(shí)計(jì)算突防機(jī)動(dòng)指令進(jìn)行突防機(jī)動(dòng)[13-17]。這種機(jī)動(dòng)突防方式具有主動(dòng)智能化的特點(diǎn),能夠針對(duì)不同的攔截方式給出最優(yōu)的突防策略,大大提高突防的成功率。但是由于整個(gè)突防過程時(shí)間短,對(duì)彈道導(dǎo)彈探測(cè)模塊、計(jì)算模塊以及發(fā)動(dòng)機(jī)要求較高,所以具備自主機(jī)動(dòng)突防能力的彈道導(dǎo)彈非常少。

本文基于最優(yōu)控制和彈道導(dǎo)彈與攔截器在俯仰平面的對(duì)抗模型,構(gòu)建了一種新的機(jī)動(dòng)突防策略,并用Matlab仿真驗(yàn)證了機(jī)動(dòng)突防策略的正確性。

1 俯仰平面對(duì)抗模型建立

本文構(gòu)建彈道導(dǎo)彈和攔截器在俯仰平面的攻防對(duì)抗模型,如圖1所示。

圖1 俯仰平面攻防對(duì)抗示意圖

圖1中,aE表示攔截器機(jī)動(dòng)加速度,垂直于速度方向,左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù);θE表示攔截器的彈道傾角,以x軸正方向起始,逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù);σE表示攔截器的前置角,彈體x軸與彈目視線之間的夾角,向左為正,向右為負(fù);VE表示攔截器的飛行速度;gE表示攔截器的重力加速度;aM表示彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)加速度,垂直于速度方向,右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);θM表示彈道導(dǎo)彈的彈道傾角,以x軸負(fù)方向起始,順時(shí)針為正,逆時(shí)針為負(fù);σM表示彈道導(dǎo)彈的前置角,彈體x軸與彈目視線之間的夾角,向右為正,向左為負(fù);VM表示彈道導(dǎo)彈的飛行速度,gM表示彈道導(dǎo)彈的重力加速度;r表示攔截器與彈道導(dǎo)彈的距離;μT表示攔截器相對(duì)于彈道導(dǎo)彈的彈目視線高低角,以x軸正方向起始,逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù)。

攔截器動(dòng)力學(xué)方程建立如下:

(1)

彈道導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(2)

攔截器與彈道導(dǎo)彈相對(duì)距離r和接近速度VXD計(jì)算如下:

(3)

VXD=VEcosσE+VMcosσM

(4)

攻防對(duì)抗的時(shí)間tf采用下式進(jìn)行估計(jì)計(jì)算:

(5)

式中,r0表示攻防對(duì)抗初始時(shí)刻的相對(duì)距離,VXD0表示攻防對(duì)抗初始時(shí)刻的接近速度。

剩余飛行時(shí)間計(jì)算如下:

tgo=tf-t

(6)

攔截器和彈道導(dǎo)彈的前置角、彈道傾角和彈目視線角的關(guān)系如下:

(7)

彈目視線高低角計(jì)算如下:

(8)

2 模型的求解

定義航向誤差τ如下:

(9)

令

則式(9)變?yōu)?/p>

τ=VMsinσM-VEsinσE=VE(sinζ-sinσE)

(10)

航向誤差τ表示垂直于彈目視線方向上雙方的速度之差;τtgo表示在沒有控制輸入情況下,垂直彈目視線方向上的瞬時(shí)脫靶量。

彈目視線角速度可表示如下:

(11)

對(duì)τ求導(dǎo)數(shù)可以得到:

(12)

(13)

式(13)中的aM和aE分別表示彈道導(dǎo)彈和攔截器的機(jī)動(dòng)加速度。由于

μT=θE-σE=σM-θM

(14)

(15)

則

(16)

選取系統(tǒng)的性能指標(biāo)為

J=|τ|

(17)

彈道導(dǎo)彈采取策略使得J盡可能大以便成功突防,而動(dòng)能攔截器則相反,采取策略使得J盡可能小以便成功攔截彈道導(dǎo)彈。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中,aEmax表示動(dòng)能攔截器的最大指令加速度;aMmax表示彈道導(dǎo)彈的最大指令加速度。

可令

(24)

(25)

(26)

(27)

結(jié)合式(12)、(24)、(25),假設(shè)動(dòng)能攔截器和彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)加速度分別為零,可得

aE=aM=0

(28)

所以

(29)

對(duì)上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(30)

將上述微分方程對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分可得

τ=-C1eln(tf-t)

(31)

式中,C1為常數(shù),且C1不為零;從上式可以看出τ的符號(hào)取決于C1,且C1為常數(shù),所以

sgn(τ(tf))=sgn(τ(t))

(32)

因此式(26)和(27)變?yōu)?

(33)

(34)

從上式中可以看出,最終彈道導(dǎo)彈和攔截器的攻防對(duì)抗結(jié)果只和各自的機(jī)動(dòng)能力和探測(cè)范圍有關(guān),機(jī)動(dòng)能力表示導(dǎo)彈的最大機(jī)動(dòng)加速度和機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng),探測(cè)范圍則決定了導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)。

3 仿真分析

3.1 彈道導(dǎo)彈不機(jī)動(dòng)

首先在彈道導(dǎo)彈不進(jìn)行機(jī)動(dòng)的情況下進(jìn)行突防仿真驗(yàn)證,因?yàn)閿r截器的攔截速度很大,在機(jī)動(dòng)加速度限制在4g時(shí),無法使飛行彈道快速改變,所以必然要求具有一定的前置角才能成功攔截彈道導(dǎo)彈。表1給出了攻防對(duì)抗最終脫靶量和攔截器初始前置角的關(guān)系。

從表1和圖2中的仿真結(jié)果可以看出,彈道導(dǎo)彈在無機(jī)動(dòng)情況下的突防效果與攔截器攻防對(duì)抗初始時(shí)刻的初始前置角有很大關(guān)系。只有當(dāng)攔截器攻防對(duì)抗初始時(shí)刻的初始前置角在一定的范圍之內(nèi)時(shí)才可成功攔截彈道導(dǎo)彈;當(dāng)攔截器的初始前置角滿足3°≤ψM0≤13°情況下才可成功攔截彈道導(dǎo)彈,稱該前置角范圍為攔截器的最佳攔截窗口。

表1 攔截器初始前置角對(duì)突防效果影響關(guān)系表

圖2 攔截器初始前置角對(duì)突防效果影響關(guān)系圖

3.2 彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)

本節(jié)在彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)的情況下,仿真分析彈道導(dǎo)彈在不同機(jī)動(dòng)加速度、不同機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)以及不同機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)情況下的最終脫靶量,分析彈道導(dǎo)彈在何種情況下能夠成功突防。設(shè)置攔截器的初始前置角為8°,彈道導(dǎo)彈最大機(jī)動(dòng)加速度分別為2g、3g、4g,最大機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)7.25 s,最遠(yuǎn)探測(cè)距離100 km,不同情況下的突防效果結(jié)果如圖3和表2所示。

表2 彈道導(dǎo)彈最大機(jī)動(dòng)加速度為2g下突防結(jié)果

圖3 彈道導(dǎo)彈最大機(jī)動(dòng)加速度為2g情況下突防結(jié)果

由仿真結(jié)果可知,在彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度為2g的情況下,彈道導(dǎo)彈至少需要機(jī)動(dòng)6.25 s,機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)彈目距離在50 km左右才可以成功突防,而且此時(shí)的脫靶量還不到20 m,其余情況均被攔截器成功攔截。

相比于最大機(jī)動(dòng)加速度為2g的突防結(jié)果,最大加速度為3g的突防成功率大大提升,最短機(jī)動(dòng)3.25 s便可以成功突防,此時(shí)機(jī)動(dòng)時(shí)刻彈目距離為30 km。由表3可知，最大機(jī)動(dòng)加速度的提升能夠有效提高彈道導(dǎo)彈的突防成功率。

表3 彈道導(dǎo)彈加速度為3g情況下突防結(jié)果

從表4中可以看出在彈道導(dǎo)彈最大機(jī)動(dòng)加速度為4g情況下最少只需機(jī)動(dòng)2.25 s左右即可成功突防,此時(shí)機(jī)動(dòng)時(shí)刻彈目距離在20 km左右。在機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)固定時(shí),機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)選擇很重要,過早和過晚均會(huì)被攔截器攔截,過早機(jī)動(dòng),由于機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)一定,使得攔截器有足夠的時(shí)間進(jìn)行機(jī)動(dòng)攔截;過晚機(jī)動(dòng),彈道導(dǎo)彈來不及改變飛行狀態(tài)而被成功攔截。定義機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)一定情況下,能夠成功規(guī)避攔截器攔截的機(jī)動(dòng)時(shí)刻彈目距離為最佳逃逸窗口。從圖5中可以看出,在機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)一定的情況下,最佳逃逸窗口中存在峰值,并定義該峰值為最佳逃逸時(shí)機(jī),從圖中可以看出，最佳逃逸時(shí)機(jī)隨著機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)增加向右偏移,即機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)越長(zhǎng),機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)就越早。

表4 彈道導(dǎo)彈加速度為4g情況下突防結(jié)果

圖5 彈道導(dǎo)彈加速度為4g情況下突防結(jié)果

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了彈道導(dǎo)彈和攔截器在俯仰平面的攻防對(duì)抗,并以航向誤差τ作為攻防對(duì)抗雙方性能指標(biāo)。攔截器欲使航向誤差最小以成功攔截彈道導(dǎo)彈;而彈道導(dǎo)彈欲使航向誤差最大以躲避攔截器的攔截?；诖藢?duì)上述攻防對(duì)抗模型進(jìn)行求解,獲取雙方在二維平面內(nèi)的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略。并在Matlab仿真環(huán)境下仿真分析了攔截器初始前置角、彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力、可機(jī)動(dòng)時(shí)間和機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)對(duì)突防效果的影響,結(jié)合仿真分析總結(jié)如下結(jié)論。

圖4 彈道導(dǎo)彈加速度為3g情況下突防結(jié)果

1)攔截器對(duì)彈道導(dǎo)彈的攔截存在最佳攔截窗口,只有攔截器初始前置角位于最佳攔截窗口內(nèi)才能成功攔截彈道導(dǎo)彈。

2)彈道導(dǎo)彈在機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)和機(jī)動(dòng)加速度一定時(shí)突防存在最佳逃逸窗口和最佳逃逸時(shí)機(jī),在最佳逃逸窗口中突防成功率較大,機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)越長(zhǎng),最佳逃逸時(shí)機(jī)越早。

3)彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力越強(qiáng),越有利于成功規(guī)避攔截器的攔截。

4)在彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力和機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)一定時(shí)，并非越早機(jī)動(dòng)越好,也非越晚機(jī)動(dòng)越好,選擇合適的機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)仍有可能成功規(guī)避攔截器的攔截。越早機(jī)動(dòng),機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)一定,攔截器有足夠的時(shí)間進(jìn)行機(jī)動(dòng)攔截;越晚機(jī)動(dòng),由于速度太大無法迅速改變飛行軌跡而被攔截成功。

5)基于本文設(shè)計(jì)的突防機(jī)動(dòng)策略,彈道導(dǎo)彈在某些情況下只需機(jī)動(dòng)2.25 s便可成功突破攔截器的攔截,為突防后的彈道回歸預(yù)留了足夠的時(shí)間。

上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文機(jī)動(dòng)突防策略的正確性和可行性,為發(fā)展彈道導(dǎo)彈中段自主機(jī)動(dòng)突防提供理論參考。