劉 穎,顧菊平,牛頓標,曹竹君,宋恩彬

(1. 四川大學數(shù)學學院,四川 成都 610065;2. 南通大學電氣工程學院,江蘇 南通 226019)

分布式系統(tǒng)包含多個傳感器,每個傳感器將各自的局部決策傳給融合中心,融合中心再作出全局決策。相比于中心式系統(tǒng),分布式系統(tǒng)有多個優(yōu)點,例如降低通信帶寬、提高計算效率、具有容錯性以及可以使用不同的傳感器技術。

大多數(shù)研究基于簡單假設,即觀測的先驗信息是完全已知的,再使用貝葉斯準則或奈曼-皮爾遜準則,對每個傳感器尋找最優(yōu)的決策規(guī)則。然而在實際情況中,觀測的統(tǒng)計信息一般是不完全已知的,此時僅已知某個名義分布。對于具體的觀測模型,可能存在多個與名義分布相關的決策方案,但是當真實分布與名義分布存在微小差異時,系統(tǒng)性能急劇退化[1]。因此，系統(tǒng)具有魯棒性是非常必要的。

在分布式傳感器網(wǎng)絡中,對于單個傳感器的決策規(guī)則及融合中心的融合規(guī)則,有很多相關的資料。文獻[2]將局部決策的門限固定,并優(yōu)化了融合規(guī)則;文獻[3-4]同時優(yōu)化融合規(guī)則和局部決策;經(jīng)典教材[5-7]整合了不同準則(貝葉斯、奈曼-皮爾遜、極小極大等)下的最優(yōu)決策規(guī)則和融合規(guī)則及它們的迭代算法等結論。此外,也有很多針對魯棒性的資料。文獻[8]介紹了魯棒的統(tǒng)計量;文獻[9]在分布式系統(tǒng)中考慮2-交替Choquet容度[10]描述的不確定類,從而得到魯棒的數(shù)據(jù)融合規(guī)則;文獻[11]將有限集統(tǒng)計量應用于分布式融合問題:即融合由地理分隔的數(shù)據(jù)融合系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出,并提出最優(yōu)和魯棒兩種不同的方法;文獻[12]基于網(wǎng)絡中的分布式平均一致性,提出了一種簡單的分布式魯棒迭代方法,以計算參數(shù)的極大似然估計。也有許多文獻考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng):文獻[13]介紹了帶有漸近多傳感器的魯棒分布式系統(tǒng),利用漸近相對效率度量表明系統(tǒng)具有較好的性能;文獻[14]考慮假設檢驗問題,當傳感器數(shù)量趨于無窮時,會將傳感器進行最優(yōu)分組,每組所有傳感器使用相同的決策規(guī)則來決定傳輸給融合中心的內容。

多傳感器數(shù)據(jù)融合是一種新興技術,例如:自動目標識別,戰(zhàn)場監(jiān)視以及自動駕駛汽車的制導和控制,復雜機械的監(jiān)視,醫(yī)療診斷和智能建筑。多傳感器數(shù)據(jù)融合的技術來自包括人工智能、模式識別、統(tǒng)計估計和其他領域在內的廣泛領域[15]。文獻[15]提供了有關數(shù)據(jù)融合的教程,介紹了數(shù)據(jù)融合的應用、過程模型以及適用技術的標識,評論了有關數(shù)據(jù)融合的最新技術。

本文考慮帶有漸近多傳感器的魯棒分布式系統(tǒng),每個傳感器只收集一個觀測,觀測基于信號選擇模型。這里的漸近多指的是傳感器的數(shù)目是一個接近正無窮的整數(shù),并且本文考慮的是同構傳感器網(wǎng)絡,即所有傳感器節(jié)點類型相同,都對目標進行觀測,并對觀測進行進一步處理。文獻[13]研究了確定性信號,且兩個假設為高斯ε-污染類,其名義分布均值不同方差相同,最后給出了一個線性的魯棒檢測函數(shù)。本文也研究確定性信號,但名義分布方差不同,由此推導出每個傳感器如何作決策(利用平方魯棒檢測函數(shù)),并通過漸近相對效率度量分布式傳感器系統(tǒng)的漸近性能。

1 預備工作

考慮先驗信息不完全已知的分布式假設檢驗問題:

(1)

其中,F0,F1表示密度函數(shù)類,f0,f1分別是F0,F1中的密度函數(shù)?；谟^測數(shù)據(jù)判斷觀測來自f0還是f1。分布式系統(tǒng)包含漸近多傳感器,每個傳感器只收集一個觀測。假設觀測滿足信號選擇模型

(2)

其中,S0,S1是信號,W0,W1是高斯白噪聲。基于該模型可以考慮多個有意義的問題,例如,信號選擇中的散度和Bhattacharyya距離測度[16],通信和雷達系統(tǒng)中的信號選擇[17],部分相關的二進制通信的最佳檢測和信號選擇[18]。當H0中信號不存在時,該模型化為信號檢測模型:

基于該模型也有許多研究,例如:考慮稀疏信號的檢驗問題,即在一定條件下通過少量觀測來精確重建稀疏信號[19];低信噪比環(huán)境中檢測信號存在與否[20];柯西噪聲下的相關性檢測[21]。本文考慮確定性信號的情形。

傳感器網(wǎng)絡有N個傳感器和一個融合中心。分布式系統(tǒng)中,傳感器配置魯棒的檢測函數(shù)作出局部決策傳給融合中心,最終對不同信號作出決策。中心式系統(tǒng)的融合中心配置相應的檢測函數(shù)。利用漸近相對效率研究魯棒分布式系統(tǒng)的漸近性能。漸近相對效率指分布式系統(tǒng)與中心式系統(tǒng)要達到相同的性能水平,即相同誤警率和功效

α=P(H1|H0)
β=P(H1|H1)

所需要的傳感器數(shù)目之比。

(3)

?f1∈F1,?δ(n)

以及

P(δ*(n),f0)≤α,?f0∈F0

(4)

特別地,考慮似然比檢驗。決策規(guī)則δ*(n)對應的檢測函數(shù)為

(5)

(6)

考慮ε-污染類

Fk={fk:fk=(1-εk)gk+εkhk;hk∈H},k=0,1

(7)

作為密度函數(shù)類。其中g0,g1是已知的名義密度,ε0,ε1是介于(0,1)之間的污染常數(shù),H是所有密度函數(shù)組成的集合。本文考慮高斯密度函數(shù)類。

相應的最不利對數(shù)似然比為[22]

(8)

當ε0<0.5,ε1<0.5時,截斷常數(shù)c0,c1被唯一確定[23]。由于每個傳感器只收集一個觀測,則式(5)中n=1,于是每個傳感器都配置魯棒的檢測函數(shù)(8)。當出現(xiàn)異常值的時候,該檢測函數(shù)能夠避免系統(tǒng)出現(xiàn)性能故障。

引理1[13]式(8)中的最不利密度也是KL散度意義下的最不利密度。

假設信號是確定性信號,此時各傳感器觀測獨立同分布。假設某時刻觀測到H0,H1下的信號分別為s0,s1,則傳感器獲得的最終觀測為

(9)

1.1 線性魯棒檢測函數(shù)

假設F0的名義密度為g0(x)=σ-1φ(x/σ),其中φ(x)是均值為0方差為1的標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。F1中的名義密度是F0通過參數(shù)變動所得,即對于g0(x)∈F0有g1(x)=g0(x-θ)∈F1,θ為給定常數(shù),則F1的名義密度為

g1(x)=σ-1φ((x-θ)/σ)

即名義密度對應的分布函數(shù)均值不同方差相同。通過一系列假設可得檢測函數(shù)[13]

(10)

常數(shù)b滿足b>0。該檢測函數(shù)將絕對值過大的異常值截斷。

1.2 平方魯棒檢測函數(shù)

f1(x)=σ-1f0((x-θ)/σ)=

(1-ε0)σ-1g0((x-θ)/σ)+ε0σ-1h0((x-θ)/σ)=

(1-ε0)g1(x)+ε0σ-1h0((x-θ)/σ)∈F1

此時名義密度的比值為

(11)

注意到污染常數(shù)ε0=ε1,于是

(12)

式(12)第二個式子整理可得

令

相應二次函數(shù)的對稱軸為

(13)

則第二個式子化為

(14)

進一步化簡

(15)

將不等式(15)右邊的式子記為c2,c≥0,同理可得

(16)

將不等式(16)右邊的式子記為d2,d≥0,于是有

將logc0,logc1代入式(12)可得

(17)

(18)

(19)

在后面的定理和仿真中,魯棒的檢測函數(shù)(19)表現(xiàn)出好的性能,則說明c=1/d假設對原檢測函數(shù)(18)不會產(chǎn)生本質影響。因此假設c=1/d是合理的。記

(20)

2 確定性信號下的平方魯棒分布式系統(tǒng)

考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng),每個傳感器只收集一個觀測,觀測服從信號選擇模型(2)。假設第j個傳感器的局部決策為

(21)

當傳感器的數(shù)量較大時,所有傳感器使用相同的決策門限,融合中心作決策不損失融合規(guī)則的最優(yōu)性[24]。于是λ1=λ2=…=λN=λ是一個合理的假設。那么第j個傳感器的局部決策化為

(22)

假設每個傳感器配置了魯棒的檢測函數(shù)(19)。令傳感器數(shù)目趨于∞,利用漸近相對效率研究檢測函數(shù)(19)的性能。漸近相對效率指分布式系統(tǒng)與中心式系統(tǒng)要達到相同的性能水平,即相同誤警率和功效,所需要的傳感器數(shù)目之比。相關結果在下面的定理1中。

定理1 考慮帶有漸近多傳感器的分布式系統(tǒng)。每個傳感器只收集一個觀測。觀測基于模型(2),其中信號是確定性信號,觀測滿足式(9),服從分布

(23)

其中，

m0=m(θ0,σ0),m1=m(θ1,σ1)

其中1/d<λ≤d,d>1,λ2是每個傳感器的決策門限。定理1將λ看成未知常數(shù),下一節(jié)仿真會進一步分析,因此定理1的漸近相對效率ARE(∞,zd,G)僅是截斷常數(shù)d的函數(shù)。

證明:

1)證明中會用到以下幾個式子

(24)

(25)

(26)

分布式系統(tǒng)和中心式系統(tǒng)要滿足的誤警率α和功效β是給定的。

2)先考慮中心式結構。融合中心的決策為

(27)

zd(xi)獨立同分布,滿足中心極限定理的條件,于是

(28)

其中，

m0=m(θ0,σ0),m1=m(θ1,σ1)

[σy(y2+3σ2)+4θσ(y2+2σ2)+

[σy(y2+3σ2)+4θσ(y2+2σ2)+

根據(jù)誤警率α可以得到中心式結構融合中心的門限λ(N),將其代入功效β的表達式可得所需的傳感器數(shù)目N。

(29)

(30)

其中Φ-1(x)=y意味著x=Φ(y)。

3)接下來討論分布式系統(tǒng)。傳感器數(shù)目M趨于∞,每個傳感器只收集一個觀測,局部決策為式(22)

定義每個傳感器的誤警率和功效為

pλ,kP[zd(x)≥λ2|Hk]=

(31)

k=0,1。選擇1/d2<λ2≤d2,d>1,于是有

pλ,0=P[zd(x)≥λ2|H0]=

(32)

(33)

該定理將每個傳感器的決策門限λ2看成未知常數(shù),下一節(jié)仿真會進一步分析。

融合中心的決策為

(34)

其中uj是第j個傳感器的局部決策,j=1,…,M。當M→∞時,uj獨立同分布,滿足中心極限定理的條件,于是

(35)

其中，

skE{uj|Hk}=pλ,k,

根據(jù)誤警率α可以得到中心式結構融合中心的門限μ(M),將其代入功效β的表達式可得所需的傳感器數(shù)目M。

μ(M):α=P(v(M)=1|H0)=

(36)

M:β=P(v(M)=1|H1)=

(37)

4)用式(37)除以式(30)可得式(23)。

注釋1 分布式系統(tǒng)將傳感器的決策門限λ2看成未知常數(shù)。為了得到分布式系統(tǒng)真實的傳感器數(shù)目,下一節(jié)仿真將給出λ的近似值,進一步分析漸近相對效率。結果顯示在分布式系統(tǒng)中配置魯棒的檢測函數(shù)會提高系統(tǒng)性能。

3 仿真分析

分布式系統(tǒng)包含漸近多傳感器,每個傳感器只收集一個觀測,并配置魯棒的檢測函數(shù)zd(x)作出局部決策。觀測基于模型(2),其中信號是確定性信號,觀測滿足式(9),服從分布

圖1 中心式傳感器數(shù)目隨截斷常數(shù)的變化

分布式系統(tǒng)傳感器數(shù)目與局部決策門限λ2相關。要得到分布式系統(tǒng)所需要的最小傳感器數(shù)目,應該對λ取下確界。接下來通過圖像給出λ以及傳感器數(shù)目的近似值。

由定理1的證明可知，λ屬于區(qū)間(1/d,d],d>1,現(xiàn)在給出傳感器數(shù)目隨λ變化的圖像,如圖2所示。

圖2 分布式傳感器數(shù)目隨傳感器門限的變化

由圖2可知,圖像在1.6左右取最小值。因此λ=1.6對應的函數(shù)值,向上取整為154,可以近似最小的傳感器數(shù)目。已知λ屬于區(qū)間(1/d,d],因此，截斷常數(shù)d應該滿足d≥1.6。接下來給出ARE隨截斷常數(shù)d的變化圖像,如圖3所示。

圖3 ARE隨截斷常數(shù)的變化

由圖3可知,截斷常數(shù)越接近1.6,分布式系統(tǒng)所需的傳感器數(shù)目越接近中心式;截斷常數(shù)d>4時,分布式系統(tǒng)的傳感器數(shù)目和中心式比值穩(wěn)定在1.549左右;截斷常數(shù)d漸近大時,截斷基本被消除,此時魯棒檢測函數(shù)和一般的似然比檢測函數(shù)等價。

相比于一般的似然比檢測函數(shù),傳感器配置魯棒檢測函數(shù)時,隨著截斷常數(shù)d減小,即系統(tǒng)的魯棒性越高,中心式系統(tǒng)需要更多的觀測才能達到給定的性能水平,而分布式系統(tǒng)基本上不受影響。這個特性說明在分布式系統(tǒng)中配置魯棒的檢測函數(shù)是必要的。

注釋2 本文分布式網(wǎng)絡中所有傳感器僅僅基于某一時刻對信號的觀測而作出決策。從仿真中可看出魯棒的分布式網(wǎng)絡具有良好的性能。在實際應用中,基于有限數(shù)量的傳感器連續(xù)觀測獲得的數(shù)據(jù),使用同樣的決策規(guī)則也能實現(xiàn)好的性能,因為此時同一個傳感器不同時刻的觀測、不同傳感器的觀測均是獨立同分布的,證明方法完全同定理1。

4 結束語

本文研究了包含漸近多傳感器的分布式假設檢驗問題,所有傳感器都配置魯棒的檢測函數(shù)。考慮的兩個假設是高斯密度函數(shù)類,特別強調ε-污染類。根據(jù)漸近相對效率以及系統(tǒng)對異常值的抵抗能力描述了魯棒檢測函數(shù)的優(yōu)點。今后將進一步考慮隨機信號觀測的情形。