張牧堯 蘇云 王超

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

空間反射鏡作為光學(xué)遙感系統(tǒng)的主要零部件之一，對(duì)于成像品質(zhì)有著重要意義。反射鏡的質(zhì)量作為重要指標(biāo)，決定著航天器的發(fā)射成本與光學(xué)相機(jī)的成像品質(zhì)。因此反射鏡結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)是如今光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵步驟。

輕量化設(shè)計(jì)作為航空航天業(yè)內(nèi)的傳統(tǒng)課題，一般通過(guò)選擇輕質(zhì)材料以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)兩種方法實(shí)現(xiàn)。從材料的角度，采用如鈦合金、陶瓷、碳纖維復(fù)合材料等輕質(zhì)材料可達(dá)到輕量化的目的。而從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的角度，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)作為新興結(jié)構(gòu)形式，可以在實(shí)現(xiàn)減質(zhì)量的同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的承載力，實(shí)現(xiàn)輕量化和結(jié)構(gòu)性能的完美平衡。該結(jié)構(gòu)由節(jié)點(diǎn)和桿件作為基本元素構(gòu)成，一般通過(guò)使用不同的單胞構(gòu)型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能性變化，特點(diǎn)是質(zhì)量較小、比強(qiáng)度高以及特定部位的剛度高，并且能帶來(lái)許多熱力學(xué)特征。增材制造（3D打?。┑目焖侔l(fā)展給點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的制備提供了實(shí)現(xiàn)的條件，使設(shè)計(jì)人員能夠嘗試一些顛覆性的點(diǎn)陣設(shè)計(jì)方案。國(guó)內(nèi)外學(xué)者使用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了許多航空航天零部件[1]，如：文獻(xiàn)[2]在航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)上使用了點(diǎn)陣技術(shù)；文獻(xiàn)[3]使用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)輕量化處理制造了小型反射鏡，并對(duì)其進(jìn)行了光學(xué)表面的鍍鎳處理以及X射線探傷；文獻(xiàn)[4]在設(shè)計(jì)相變熱控制器時(shí)填充了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了60%的輕量化率，并且結(jié)構(gòu)在受壓實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)良好，防漏性能令人滿意。傳統(tǒng)點(diǎn)陣材料為均勻分布，但是非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)有著更好的力學(xué)性能，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)特性達(dá)到更好的材料分布[5-7]，一般用拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的非均勻性。在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中，主流手段為變密度法中采用的固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）[8]、水平集法[9]等：文獻(xiàn)[10]提出一種新的變密度點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過(guò)3D打印制造出具有變密度點(diǎn)陣的汽車連桿；文獻(xiàn)[11]使用多尺度點(diǎn)陣拓?fù)鋬?yōu)化方法優(yōu)化了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，得到胞元結(jié)構(gòu)在點(diǎn)陣之中的最優(yōu)分布。移動(dòng)閾值切面法（Moving Iso-surface Threshold Topology, MIST）[12]是一種新型的拓?fù)鋬?yōu)化方法，它無(wú)需在顯示靈敏度分析的條件下完成結(jié)構(gòu)的拓?fù)?，而且算法難度不大，利于工程人員在商業(yè)有限元軟件上實(shí)現(xiàn)。

綜上所述，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)已經(jīng)在航空航天領(lǐng)域得到了很多應(yīng)用，主要體現(xiàn)在新設(shè)計(jì)提升了結(jié)構(gòu)的剛度以及輕量化率。但是，在結(jié)構(gòu)的功能性上，如提升結(jié)構(gòu)的力熱穩(wěn)定性方面還未有更多的突破。本研究致力于在使用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)之外，通過(guò)一定程度的優(yōu)化安裝應(yīng)力，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能以及輕量化一體化設(shè)計(jì)。

由于傳統(tǒng)的背部開(kāi)口輕量化形式不足以達(dá)到指標(biāo)要求，故對(duì)于空間反射鏡進(jìn)行了均勻點(diǎn)陣填充設(shè)計(jì)，之后基于MIST法對(duì)反射鏡進(jìn)行了非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化，在保證面形精度的條件之下，有效地提升了輕量化率，提升了結(jié)構(gòu)剛度，最后在有安裝應(yīng)力的工況下驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)性能。

1 反射鏡優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)模型

使用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)反射鏡結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)反射鏡輕量化孔的設(shè)計(jì)方法不同，需要將傳統(tǒng)反射鏡參數(shù)分解到每一根點(diǎn)陣單胞的桿件之上，所以需要針對(duì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)組成的反射鏡建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)于結(jié)構(gòu)的安裝應(yīng)力進(jìn)行分析計(jì)算。

1.1 MIST法模型

2013年，仝立勇教授提出了MIST法[12]，作為拓?fù)鋬?yōu)化方法中的一種，它旨在找到元素的權(quán)重因子x與等值面S的閾值t，使得結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的某個(gè)變量J（如結(jié)構(gòu)應(yīng)變能）最小化，約束條件則為結(jié)構(gòu)的材料約束gs以及有限元方程gr。具體形式為：

式中xl為結(jié)構(gòu)參量的最小值；xu為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參量的最大值。

MIST法定義了一個(gè)響應(yīng)函數(shù)的曲面φ（一般為應(yīng)力或者應(yīng)變能的函數(shù)），然后使用一個(gè)等值面S去切割該響應(yīng)函數(shù)，它們相交的輪廓作為結(jié)構(gòu)的邊界。MIST法迭代開(kāi)始前的初始化中，對(duì)于設(shè)計(jì)空間進(jìn)行有限元網(wǎng)格的劃分并存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)單元信息；與SIMP法的相似之處是，MIST法在每一個(gè)有限元網(wǎng)格之中均設(shè)置了權(quán)重因子x，該值若為0，則相當(dāng)于拓?fù)鋬?yōu)化中的孔洞材料（該單元無(wú)結(jié)構(gòu)材料分布），若為1，則相當(dāng)于拓?fù)鋬?yōu)化中的實(shí)體材料分布（該單元有結(jié)構(gòu)材料分布）。之后在每個(gè)有限單元節(jié)點(diǎn)上計(jì)算響應(yīng)函數(shù)的值，并生成響應(yīng)函數(shù)的曲面φ；然后使用等值面S切割響應(yīng)函數(shù)曲面φ，等值面S的閾值t由結(jié)構(gòu)的體積約束決定，在權(quán)重因子x更新的過(guò)程之中，所有元素單元的響應(yīng)函數(shù)值大于等值面的閾值t時(shí)讓單元向?qū)嶓w材料方向演變（權(quán)重因子變向1），當(dāng)單元的響應(yīng)值小于等值面的閾值時(shí)讓單元向孔洞材料方向演變（權(quán)重因子變向0）。若單元中的響應(yīng)值既有在等值面閾值之上以及等值面閾值之下的，權(quán)重因子x則為在等值面閾值以上部分的響應(yīng)函數(shù)的投影面積分?jǐn)?shù)。若x和t的值均收斂則結(jié)束循環(huán)，否則進(jìn)入下一循環(huán)。

MIST法的具體操作流程圖如圖1所示。

等值面S對(duì)應(yīng)的閾值t使用二分法進(jìn)行計(jì)算，具體計(jì)算方法如下：

1）令tmax0= max(φ),tmin0= min(φ)，其中tmax0和tmin0為二分法首次迭代的參數(shù)。2）計(jì)算水平等值面對(duì)應(yīng)的閾值。其中tk為k次循環(huán)時(shí)的閾值。

3）在全部有限單元計(jì)算域內(nèi)計(jì)算φ-tk的值，若計(jì)算值均為正，則該單元節(jié)點(diǎn)為實(shí)體則增加xjk；若計(jì)算值均為負(fù)為孔洞則減少xkj；若有正有負(fù)則根據(jù)兩部分對(duì)應(yīng)面積的比例計(jì)算。其中xkj為k次循環(huán)時(shí)第j個(gè)單元的權(quán)重因子值。

4）若迭代到k次循環(huán)時(shí)的結(jié)構(gòu)總體積kV、結(jié)構(gòu)總體積

約束Vcons與二分法的收斂指標(biāo)數(shù)ζ滿足則結(jié)束循環(huán)。

1.2 基于MIST的點(diǎn)陣桿件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

本文基于MIST法對(duì)于反射鏡的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行了桿件的尺寸優(yōu)化。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)為桿件長(zhǎng)度以及桿徑大小，故將桿件的橫截面積作為MIST法之中的權(quán)重因子。優(yōu)化模型之中包含了結(jié)構(gòu)的體積約束，桿件截面積的下限一般由增材制造的工藝水平?jīng)Q定。

點(diǎn)陣優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)模型列式如下：

圖1 MIST法優(yōu)化流程Fig.1 Flow chart of MIST method optimization

式中 設(shè)計(jì)變量iA為桿件的橫截面積；f(r)為結(jié)構(gòu)總形變勢(shì)能；F為結(jié)構(gòu)的外載荷向量；K為有限元結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣；U為有限元節(jié)點(diǎn)位移向量；Li為點(diǎn)陣單胞桿件的長(zhǎng)度；為點(diǎn)陣桿件的體積約束；aA為桿件橫截面積上限；bA為桿件橫截面積下限。本文使用結(jié)構(gòu)的形變勢(shì)能作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的響應(yīng)函數(shù)，故根據(jù)材料力學(xué)，它的具體表達(dá)式為：

式中iF為桿件受到的軸力；E為材料的彈性模量。點(diǎn)陣優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)的固有頻率（剛度）最大，根據(jù)式可知?jiǎng)偠茸畲罂赊D(zhuǎn)化為形變勢(shì)能最小。

1.3 擰緊力矩M

對(duì)于空間反射鏡的安裝來(lái)說(shuō)，鏡面面形精度一般要求為納米級(jí)別，所以不僅要保證連接部件的螺釘強(qiáng)度足夠抵消發(fā)射振動(dòng)，還要準(zhǔn)確控制預(yù)緊力矩，以免對(duì)于反射鏡面形造成精度缺失。金屬反射鏡與鏡框之間的連接方式為螺栓連接，將反射鏡使用螺栓連接至鏡框上時(shí)，需要克服螺紋的螺紋阻力矩M1以及螺釘頭和連接件支撐面的摩擦力矩M2。其中，擰緊力矩M可以用如下形式表征[13]：

式中F'為螺釘?shù)念A(yù)緊力；d2為螺紋中徑；d為螺紋大徑；φ為螺紋升角，其中P為螺距；ρ'為螺紋副的當(dāng)量摩擦角，ρ' = arctanμ，其中μ為螺紋當(dāng)量摩擦因數(shù)；μe為螺釘頭與聯(lián)接件支撐面之間的摩擦因數(shù)；1D為螺釘頭聯(lián)接面的外徑；d0為釘孔直徑；tQ為擰緊力矩因數(shù)，與螺釘尺寸、螺紋副和支撐面的摩擦因數(shù)等有關(guān)。

2 反射鏡結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析

2.1 優(yōu)化方案

本文中的反射鏡在自由邊界條件之下，主鏡頻率要高于550Hz，質(zhì)量不能超過(guò)850g，面形均方根誤差故使用基于MIST的優(yōu)化方法對(duì)于190mm鋁合金反射鏡進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。反射鏡材料采用可增材制造的AlSi10Mg，材料參數(shù)彈性模量為62GPa，泊松比為0.32，目標(biāo)后續(xù)以3D打印制備反射鏡。反射鏡采用側(cè)面三點(diǎn)支撐方法。根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，反射鏡設(shè)計(jì)模型之中初始側(cè)面壁厚為2mm，鏡面厚度為4mm，設(shè)計(jì)空間邊緣厚度為3mm，反射鏡的初始結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 反射鏡初始結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The initial structure of space mirror schematic

使用3-matic軟件對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的填充，設(shè)計(jì)空間為實(shí)體鏡坯。圖3單胞為6mm×6mm×6mm的BCC點(diǎn)陣單胞，填充整體設(shè)計(jì)空間后，單胞個(gè)數(shù)為220個(gè)，邊緣處點(diǎn)陣分布5層，中心處點(diǎn)陣分布4層。點(diǎn)陣邊界處使用基于表面網(wǎng)格的方式處理，手動(dòng)將邊界網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)連接至單胞節(jié)點(diǎn)之上，最后填充之后的整體點(diǎn)陣如圖4所示?？梢钥吹剑嗽诜瓷溏R與實(shí)體接觸部分使用了表面網(wǎng)格的形式填充，其余點(diǎn)陣單胞均勻分布在反射鏡內(nèi)部結(jié)構(gòu)之中，此填充模型將作為下節(jié)點(diǎn)陣橫截面積優(yōu)化的初始輸入。

圖3 BCC單胞示意Fig.3 BCC lattice cell structure

使用基于MIST法對(duì)于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行非均勻尺寸優(yōu)化，優(yōu)化問(wèn)題描述如下：外載荷為螺紋孔處的安裝應(yīng)力，基于衛(wèi)星環(huán)境規(guī)范以及擰緊力矩的計(jì)算公式計(jì)算得扭矩2.5N·m，約束條件為鏡面位移最小以及點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)體積（質(zhì)量）上限值，目標(biāo)函數(shù)為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能最低（剛度最大），設(shè)計(jì)變量為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的桿件截面積局部最優(yōu)。初始設(shè)置桿件的直徑為1.2mm，根據(jù)工藝要求，桿件直徑最小為0.8mm，最大為2.4mm。使用優(yōu)化程序優(yōu)化桿徑變量，經(jīng)過(guò)300次迭代過(guò)后，得到的點(diǎn)陣優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

圖5 中點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿徑的大小分布非均勻性明顯，在螺栓耳片位置以及中心孔附近的桿徑明顯大于其他位置的桿徑，結(jié)果與預(yù)期設(shè)計(jì)相符合。結(jié)合連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，外觀也是相似的。表1為優(yōu)化前后均勻點(diǎn)陣與非均勻點(diǎn)陣的設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比。

圖4 均勻點(diǎn)陣填充反射鏡結(jié)構(gòu)Fig.4 Uniform lattice infill space mirror

圖5 優(yōu)化后的非均勻點(diǎn)陣Fig.5 Non-uniform lattice after optimization

表1 點(diǎn)陣優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)結(jié)果Tab.1 Parameters result of lattice optimization design

表1 中，優(yōu)化之后的非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中單胞個(gè)數(shù)仍為220個(gè)，桿件個(gè)數(shù)為1129，桿件截面直徑最大為1.8mm，最小為0.8mm。優(yōu)化后的剛度相對(duì)于均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)提升明顯。

2.2 性能分析以及對(duì)比

為了模擬反射鏡安裝狀態(tài)，對(duì)于優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行安裝應(yīng)力的工況分析。不同于以上優(yōu)化工況，選擇在螺紋孔處施加0.01mm的法向強(qiáng)迫位移模擬安裝，另外附加沿Y軸向下的重力（反射鏡光軸豎直狀態(tài)）。在此工況下，對(duì)比分析傳統(tǒng)背部輕量化形式以及非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)形式的反射鏡的面形精度。有限元分析得到的節(jié)點(diǎn)位移僅為節(jié)點(diǎn)各個(gè)自由度的位移量，包含了結(jié)構(gòu)的剛體位移，故對(duì)于節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行處理，使用基于Zernike多項(xiàng)式擬合的仿真技術(shù)得到反射鏡面形，見(jiàn)表2。

表2 兩種結(jié)構(gòu)面形精度以及質(zhì)量對(duì)比Tab.2 Comparison of mass and surface shape between two sturctures

表2 對(duì)兩種質(zhì)構(gòu)形式的質(zhì)量以及剛度進(jìn)行了對(duì)比，統(tǒng)背部開(kāi)口形式反射鏡和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)反射鏡均可以滿足結(jié)構(gòu)剛度和面形的要求，而經(jīng)過(guò)非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的反射鏡鏡面面形比起常規(guī)形式來(lái)說(shuō)，質(zhì)量減少了20%，輕量化率得到了明顯提升。由此可見(jiàn)，非均勻點(diǎn)陣反射鏡結(jié)構(gòu)應(yīng)用于小口徑金屬反射鏡上，具有著輕量化以及功能化的優(yōu)勢(shì)。圖6為兩種結(jié)構(gòu)形式的反射鏡節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比。

圖6 優(yōu)化后反射鏡節(jié)點(diǎn)位移Fig.6 Mirror optimization displacement result

由圖6（a）優(yōu)化后的非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移云圖與圖6（b）所示的傳統(tǒng)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移云圖的對(duì)比來(lái)看，除了施加強(qiáng)迫位移處的最大節(jié)點(diǎn)位移相似，其余節(jié)點(diǎn)均有著不同程度的減少，在中心孔處的節(jié)點(diǎn)位移優(yōu)化程度尤為明顯。

為了分析非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)對(duì)于不同安裝應(yīng)力的面形精度影響，改變了強(qiáng)迫位移的大小，如圖7所示，當(dāng)施加少于0.01mm的強(qiáng)迫位移時(shí)，非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的面形精度較為一致，但是隨著強(qiáng)迫位移的逐漸加大，非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的面形精度的優(yōu)勢(shì)越為明顯，可以承受更高的安裝應(yīng)力。

由圖6~7以及表2可以看出，使用了非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的金屬反射鏡，鏡體節(jié)點(diǎn)變形量顯著下降，剛度得到了明顯提升，驗(yàn)證了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的合理性。

圖7 兩種結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)迫位移下的面形對(duì)比Fig.7 Comparison of surface shape of two structures under different forced displacements

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于MIST法對(duì)于空間金屬反射鏡進(jìn)行了非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，在輕量化的同時(shí)提升了反射鏡的剛度，獲得了較好的面形精度，且有效抵消卸載了部分安裝應(yīng)力。與傳統(tǒng)的蜂窩式輕量化結(jié)構(gòu)形式相比，具有設(shè)計(jì)裕度大、針對(duì)目的性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的形式可以推廣到整個(gè)相機(jī)結(jié)構(gòu)以及其他部件之上，使得整體光機(jī)結(jié)構(gòu)獲得更高的結(jié)構(gòu)性能。