王任遠 肖正航 吳杰 李沛

（北京空間機電研究所，北京 100094）

0 引言

近年來，超大口徑的空間遙感技術研究由大口徑單體反射鏡向空間分塊式反射鏡發(fā)展[1]，以詹姆斯·韋伯太空望遠鏡（JWST）為代表的空間分塊可展開成像技術已開展工程研制，同屬分塊式反射鏡技術的在軌裝配技術復雜度更高，仍處于論證階段，需要在地面進行大量的實驗論證其可行性。

工業(yè)機械臂技術近年來取得長足發(fā)展，已經廣泛應用于制造業(yè)各個領域的裝配工藝環(huán)節(jié)，能夠實現大質量、大尺寸的零部件的裝配[2]。工業(yè)機械臂絕對定位精度低、重復定位精度高，利用其重復定位精度高的特點，批量的裝配應用大多利用示教的方式[3-4]。而在單件裝配應用場景下，如大尺寸飛機零件裝配[5-7]、大口徑分塊式反射鏡的裝配等場合，需要絕對定位精度高，一般的工業(yè)機械臂就不能滿足要求，就需要采用單目、雙目或多目相機組成攝影測量系統(tǒng)進行實時位置引導[8-11]。裝配系統(tǒng)精度的提升是實時引導裝配中需要解決的一個關鍵問題，國內外眾多學者對系統(tǒng)中單個誤差項的研究較多，但對于系統(tǒng)中各誤差的關系與綜合精度方面的研究較少。

如在機械臂絕對定位精度方面，通過建立工業(yè)機械臂的運動學模型，建立笛卡爾空間與關節(jié)空間的映射矩陣，是進行誤差修正的前提；利用運動學模型推導誤差模型并設計相應的補償算法和數學逼近法已經是相當成熟的方法[12-13]；引入優(yōu)化算法如LM算法優(yōu)化參數識別效果能顯著提高機械臂的絕對定位精度[14]；隨著智能算法的研究深入，神經網絡算法與空間插值算法那也漸漸成為研究主流[15-17]。

在機械臂引導系統(tǒng)的研究上，大多基于攝影測量系統(tǒng)進行設計。最基本的方法是基于圖像的點特征進行識別并引導測量機械臂位置與姿態(tài)[18-19]；將攝影測量系統(tǒng)結合結構光系統(tǒng)（如激光投影或條紋格柵式光源投影）可以有效提高引導系統(tǒng)的測量精度[20-22]。除了基于攝影測量系統(tǒng)，利用激光跟蹤儀等高精度測量設備對工業(yè)機械臂末端姿態(tài)進行測量[23-24]，并搭建的閉環(huán)控制系統(tǒng)進行位姿誤差補償也成為近期研究的熱點。而在綜合精度研究方面，文獻[25]也僅驗證了機械臂運動學標定與手眼標定精度的相關性。

本文針對一種面向大口徑分塊式反射鏡的基于攝影測量系統(tǒng)引導的雙機械臂自動裝配系統(tǒng)進行系統(tǒng)建模與標定。通過將機械臂運動學模型、相機成像模型與eye-to-hand形式的手眼模型作為整體進行建模，分步對它們進行參數標定，為分塊式反射鏡在軌裝配技術工作進行基礎技術研究與地面原理驗證。

1 系統(tǒng)組成與系統(tǒng)空間模型建立

1.1 系統(tǒng)組成

裝配系統(tǒng)一般包括運動執(zhí)行子系統(tǒng)、引導測量子系統(tǒng)、計算機控制端和輔助裝配子系統(tǒng)幾部分組成，如圖1所示。本文研究的分塊式反射鏡主體長2.5m，高3.75m，待裝配的單塊分塊鏡聯(lián)合工裝質量約88kg。

運動執(zhí)行子系統(tǒng)采用兩臺質量150kg、最大工作范圍為3m的機械臂協(xié)同完成裝配?；陔p目視覺相機搭建了用于實現工件、機械臂末端的空間定位功能和對機械臂末端移動位置實時測量和引導的引導測量子系統(tǒng)。

以圖1中右側工件裝配為例，進行裝配時，機械臂A夾持待裝配工件，機械臂B夾持雙目視覺相機，通過雙目視覺相機對工件位置的測量，將測量信息發(fā)送位置指令至機械臂A，引導機械臂A完成裝配工作。

圖1 在軌組裝地面原理驗證系統(tǒng)布局示意圖Fig.1 Layout of on-orbit assembly ground proof-of-principle system

1.2 系統(tǒng)空間模型的建立

系統(tǒng)空間模型包含三部分：相機成像模型、機械臂運動學模型和手眼關系模型。

1）相機成像模型如圖2所示，由世界坐標系Ow-XwYwZw、相機坐標系Oc-XcYcZc、焦平面坐標系Omm-xy和圖像坐標系Opixel-uv構成。

相機把物理空間中的三維點投影到成像平面之上，該模型可用式（1）表示，空間中一點P在世界坐標系下的坐標與其在圖像坐標系即ZC=–f焦平面上的投影點的坐標間的映射關系為：

式中 (u,v)為點P在圖像坐標系下的坐標；M1矩陣包含4個參數分別表示x軸上的歸一化焦距、y軸上的歸一化焦距、光軸光心在圖像坐標系u軸上的位置、光軸光心在圖像坐標系v軸上的位置，它們由相機結構決定，稱為內參矩陣；M2矩陣包含2個參數R和t，它們分別表示相機坐標系與世界坐標系的旋轉矩陣與平移向量，稱為外參矩陣。

2）機械臂運動學模型采用Denavit-Havtenberg方法建立，簡稱D-H法。D-H法定義了機械臂的每個連桿坐標系由4個連桿參數描述，連桿長度ai和連桿扭轉角αi用于描述連桿本身，連桿偏距di和關節(jié)角θi描述相鄰連桿之間的關系，i代表第i個連桿。ai為沿Xi軸，從Zi移動到Zi+1的距離；αi為繞Xi軸，從Zi旋轉到Zi+1的角度；di為沿Zi軸，從Xi-1移動到Xi的距離；θi為繞Zi軸，從Xi-1旋轉到Xi的角度。其矩陣表示形式如式（2）所示，其中矩陣D為平移矩陣，矩陣R為旋轉矩陣，其中矩陣用于表示在空間中的點從m坐標系向n坐標系的空間齊次坐標變換，即將點從m坐標系中的坐標轉變成在n坐標系中表示的坐標變換矩陣。從連桿i向連桿i-1的坐標變換矩陣為

通過4個連桿參數將所有的連桿表示出來即可表示機械臂機構的位置關系與運動方式。本文采用的6自由度工業(yè)機械臂由6個連桿組成，且相互之間均為轉動副連接。該機械臂的D-H模型參數如表1所示，機械臂運動學模型如圖3所示，其中連桿4與連桿5的原點重合。機械臂從機械臂末端中心點（下文簡稱TCP點），到機械臂基座B的空間轉換矩陣為

表1 工業(yè)機械臂D-H參數表Tab.1 Parameter table of Industrial manipulator by D-H method

3）Eye-to-hand形式的手眼位置關系如圖4所示，由機械臂基坐標系OB、機械臂末端TCP點坐標系OT、標定坐標系OL和相機坐標系OC組成，可以得到手眼變換矩陣關系如式（4）所示：

圖3 工業(yè)機械臂運動學模型Fig.3 Kinematics model of industrial manipulator

4）基于手眼標定關系的模型統(tǒng)一：手眼標定過程中求解標定靶球位姿的過程，實際上是一個計算相機坐標系OC與世界坐標系OW之間轉換關系的過程（將靶球坐標系與世界坐標系重合），因此在機械臂手眼關系中，標定靶球的位姿矩陣就是相機模型的外參數M2矩陣，因此將式（4）代入式（1），可得

同時，將式（3）帶入式（5），得到整體建模的最終變換關系，

圖4 Eye-to-hand手眼坐標關系圖Fig.4 The eye-to-hand coordinate diagram form

根據式（6）可知，標定靶球坐標系通過各轉換矩陣與像平面坐標系建立了映射關系。由此，建立了基于機械臂運動學模型、相機成像模型與eye-to-hand形式的手眼關系模型。

其中，手眼標定就是求解機械臂基坐標系OB向相機坐標系OC的空間齊次坐標變換CBT的過程。根據式（4），任取位置i和位置i+1的轉換關系，聯(lián)立方程，如式（7）所示：

未經運動學標定的重載工業(yè)機械臂的絕對定位精度一般大于1mm[27]，不能滿足本項目需要。需要對機械臂進行運動學標定提高絕對定位精度，并通過高精度手眼標定進一步提高裝配精度，引導機械臂完成裝配工作。

2 系統(tǒng)標定與裝配實驗

2.1 機械臂運動學標定

利用遞推最小二乘法對機械臂末端進行運動學標定，式（4）的函數形式如式（8）所示：

而機械臂在實際制造過程中因加工、裝配等各個環(huán)節(jié)使得各參數產生了一定的誤差，各誤差積累影響了末端TCP點的實際位置。設各物理參量與理論值的微小偏差為dα、da、dθ、dd。因此TCP的實際位置為：

根據機器人微分運動學，可得到TCP與基坐標理論位姿與實際位姿的絕對定位精度誤差ΔP關系：

其中J為誤差參數矩陣，δΔ 為包含所有的誤差項。

通過構建超定方程組通過可遞推最小二乘法對誤差參數進行辨識與方程組求最小二乘解，形式如式（12）所示。

實驗采用Leica AT401激光跟蹤儀對機械臂TCP的實際位置進行測量，本次實驗在機械臂工作空間設置40個樣本點用于識別誤差參數，采樣點盡可能覆蓋機械臂工作范圍，分布如圖5所示。

每達到一個樣本點時使用激光跟蹤儀測量靶標的實際位置，根據式（12）計算出各關節(jié)參數的誤差值，最終通過將誤差值預補償至機械臂運動學模型的方式提高機械臂末端的絕對定位精度。辨識得到誤差參數矩陣J如表2所示。重復實驗，測得補償后的機械臂末端TCP位置。補償前后40個點與示教器顯示點的誤差如圖6所示。

圖5 40個采樣點在空間中的分布圖Fig.5 The distribution map of 40 sampling points in space

表2 誤差參數辨識矩陣Tab.2 The error parameter identification matrix

圖6 標定前后位置誤差對比Fig.6 Comparison of position errors before and after calibration

根據GB/T 12642–2001“工業(yè)機器人性能規(guī)范及其試驗方法”中關于位置準確度（即機器人的絕對定位精度）的評定方法，點在空間中的理論位置(x,y,z)與實際位置(xr,yr,zr)的距離即定位誤差

對測量結果進行分析可知，最大定位誤差由補償前的1.81mm降低至0.84mm，最小定位誤差補償后降至0.35mm。平均絕對定位精度由補償前的1.19mm提高至0.55mm，提高了53.78%，機械臂絕對定位精度的提高有助于手眼標定精度的提高。

剔除少部分壞點后，對數據分析可知，當機械臂末端遠離機械臂基座時，其絕對定位精度逐漸下降。這主要是因為末端重載的串聯(lián)機器人為懸臂梁結構，隨著末端與基座的遠離，臂長增加，彎矩增加，末端絕對定位精度降低。由此可知，將機械臂對稱布置，每個機械臂負責臨近區(qū)域的裝配是一種絕對定位精度更高，更合理的布局形式。

2.2 手眼標定與實驗

在完成機械臂運動學標定的基礎上，進行手眼標定。手眼標定的過程如圖7（a）所示，在保持基坐標系與相機坐標系位置不變的情況下，控制機械臂末端帶動標定靶標運動，在n個位置測量靶標和讀取相應的機械臂關節(jié)參數。

手眼標定過程中，機械臂夾持靶球應進行至少兩組旋轉軸不平行的運動[6]，通過求解機械臂空間基坐標系OB與相機坐標系OC的變換關系。本文采用經典的Tsai兩步法，結合機械臂運動學標定后的運動學模型與相機模型，完成手眼標定，如圖7（b）所示。

為驗證手眼標定有效性，設計軸孔對插實驗驗證標定后的系統(tǒng)工作精度。

圖7 手眼標定過程和靶標球Fig.7 Hand eye calibration process and the target ball

軸孔對插實驗如圖8所示，在機械臂末端執(zhí)行器安裝實測尺寸直徑為7.92mm的定位軸，在工作平臺放置一塊預先鉆孔的工裝板，孔的大小按照直徑8.1mm~9mm依次排列。采用Leica AT402激光跟蹤儀測量孔的位置和完成軸孔裝配后軸的位置，選取2個裝配位置進行測量。

圖8 攝影測量系統(tǒng)引導的孔軸對插實驗Fig.8 The experiment of hole axis pair insertion guided by the photogrammetry system

實驗結果如表3所示，可以成功完成實測直徑為8.34 mm和8.38 mm的孔軸裝配工作。

表3 孔軸位置測量坐標值Tab.3 Coordinate values of hole axis position measurement

完成高精度手眼標定后，機械臂系統(tǒng)在攝影測量系統(tǒng)引導下，在XOY平面裝配精度由章節(jié)2.1中測量的最大定位誤差1.81mm大幅降低至0.29mm，提高了83.98%。標定前機械臂工作的定位誤差大于1mm，無法滿足任務需求，在完成手眼標定后，可以將裝配系統(tǒng)用于大尺寸分塊式反射鏡裝配的地面原理驗證任務。

4 結束語

本文通過相機模型、機械臂運動學模型和手眼關系模型建立了基于裝配系統(tǒng)的空間轉換模型，通過遞推最小二乘參數辨識方法將機械臂的平均絕對定位精度由補償前的1.19mm提高至0.55mm，提高了53.78%；在此基礎上，利用空間轉換模型完成了高精度手眼標定，并設計軸孔對插實驗驗證標定后的裝配系統(tǒng)精度，平均定位誤差由1.81mm降低至0.29mm?？蓱糜诖蟪叽绶謮K式反射鏡系統(tǒng)的視覺引導裝配，為空間在軌裝配工作進行技術研究與地面原理驗證。