韓 林，米 良*，劉興寶,3，滕 強(qiáng)，唐 強(qiáng)，夏仰球

(1.中國(guó)工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng) 621900；2.國(guó)家機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心（四川），四川 成都 610200；3.南京理工大學(xué) 發(fā)射動(dòng)力學(xué)研究所，江蘇 南京 210094)

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（coordinate measuring machine，CMM）由于測(cè)量精度高、效率高等優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于精密加工檢測(cè)領(lǐng)域。作為高精度的測(cè)量基準(zhǔn)，幾何誤差直接影響三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量精度和整機(jī)性能，尤其是納米級(jí)精度的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)[1]。因此，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差的快速、高精度檢測(cè)技術(shù)是其性能提升的關(guān)鍵，也是三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)設(shè)計(jì)制造過程中的重點(diǎn)研究方向。

目前，常用的機(jī)床、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差檢測(cè)手段主要有高精度實(shí)物基準(zhǔn)測(cè)量法[2]、激光干涉儀測(cè)量法[3]、球桿儀測(cè)量法[4]、R-test等測(cè)量方法[5]。但上述測(cè)量方法存在安裝調(diào)整困難、對(duì)操作者要求較高、測(cè)量耗時(shí)等缺點(diǎn)，且無法獲取裝備工作空間內(nèi)的空間位置誤差，不能滿足幾何誤差高精度、高效率的檢測(cè)需求。激光跟蹤儀作為一種大尺寸、高精度、便攜的空間測(cè)量設(shè)備，在數(shù)控裝備和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度檢測(cè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[6]。Schwenke等[7]利用激光跟蹤干涉儀在2 h內(nèi)完成了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差的快速和高精度檢測(cè)；王金棟等[8]在4 h內(nèi)利用激光跟蹤儀對(duì)三軸銑床幾何誤差進(jìn)行了檢測(cè)；陳洪芳等[9]優(yōu)化了激光追蹤儀測(cè)量算法，對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空域坐標(biāo)進(jìn)行了補(bǔ)償修正；Ibaraki等[10]利用激光跟蹤儀進(jìn)行了機(jī)床空間誤差檢測(cè)，并對(duì)兩種空間誤差測(cè)量方法進(jìn)行了不確定度分析。

應(yīng)用激光跟蹤儀進(jìn)行三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)/機(jī)床幾何誤差檢測(cè)的多站測(cè)量方法常用求解過程主要包括基站自標(biāo)定和測(cè)量點(diǎn)空間坐標(biāo)標(biāo)定[11–13]。上述方法存在如下局限性：1）利用4個(gè)激光跟蹤儀間的位置關(guān)系建立測(cè)量坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)基站自標(biāo)定和測(cè)量點(diǎn)標(biāo)定，需要坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)/機(jī)床坐標(biāo)系下求解，難以直接分離得到幾何誤差項(xiàng)；2）在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)/機(jī)床坐標(biāo)系下進(jìn)行幾何誤差直接求解時(shí)，需要通過理論目標(biāo)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)基站自標(biāo)定，在精度較差的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)過程中容易引入較大的自標(biāo)定誤差，限制了激光跟蹤儀的使用范圍。

針對(duì)上述問題，作者提出了一種基于幾何誤差約束條件在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系下直接求解幾何誤差的方法。首先，結(jié)合多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換方法建立三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差模型；其次，建立應(yīng)用激光跟蹤儀的幾何誤差檢測(cè)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合幾何誤差自身約束條件和Levenberg–Marquardt方法實(shí)現(xiàn)在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系下幾何誤差的直接求解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)空間位置誤差預(yù)測(cè)；最后，利用激光干涉儀進(jìn)行單項(xiàng)定位誤差和體對(duì)角線空間誤差檢測(cè)對(duì)比驗(yàn)證試驗(yàn)。

1 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差建模

假定三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各軸線為理想剛體，在運(yùn)動(dòng)過程中存在3項(xiàng)位置偏差和3項(xiàng)姿態(tài)偏差。因此，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)共存在21項(xiàng)幾何誤差，包括3軸18項(xiàng)位置和姿態(tài)誤差，以及3直線軸間的3項(xiàng)垂直度誤差。Y軸的6項(xiàng)幾何誤差如圖1所示，3軸間垂直度誤差如圖2所示。其中：Ehk為k軸在h方向上的線性偏差（h、k為X、Y、Z）；Exy為y軸繞x軸的角度偏差（x為A、B、C，y為X、Y、Z）；EAOZ為YZ軸間的垂直度誤差；EBOZ為XZ軸間的垂直度誤差；ECOX為XY軸間的垂直度誤差。

圖1 Y軸6項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)Fig. 1 Six geometric errors of Y axis

圖2 垂直度誤差分布Fig. 2 Distribution of squareness errors

假定測(cè)量點(diǎn)距測(cè)頭中心足夠近，可忽略在測(cè)頭坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，此時(shí)在誤差建模中僅存在17項(xiàng)幾何誤差，即不包含ECX、EAZ、EBZ和ECZ。幾何誤差建模方法可根據(jù)多體系統(tǒng)理論，結(jié)合齊次坐標(biāo)變換的方法，在小角度假設(shè)條件下實(shí)現(xiàn)，詳見文獻(xiàn)[14–16]。此處給出從工件到測(cè)頭運(yùn)動(dòng)的傳遞鏈為W工件—F床身—Y軸—X軸—Z軸—T測(cè)頭的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的幾何誤差模型，如式（1）所示。

式中，DX、DY、DZ代表測(cè)頭中心在X、Y、Z方向的空間位置誤差，X、Y、Z表示三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)控制各軸移動(dòng)的坐標(biāo)指令。

式（1）可以表述為式（2）的矩陣形式：

設(shè)定總體空間位置誤差DV為X、Y、Z方向誤差的平方和開根，如式（3）所示。

分離得到各項(xiàng)幾何誤差后，可建立各項(xiàng)幾何誤差與各軸位置之間的關(guān)系，通過線性插值的方法，利用式（1）預(yù)測(cè)全域內(nèi)空間位置誤差分布。因此，式（1）既是幾何誤差分離模型的重要組成部分，又是三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間內(nèi)空間位置誤差的預(yù)測(cè)模型。

2 跟蹤儀幾何誤差測(cè)量與分離原理

將激光跟蹤儀分別放置在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作臺(tái)的若干個(gè)位置，控制三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)移動(dòng)到空間中若干個(gè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，應(yīng)用激光跟蹤儀檢測(cè)幾何誤差的原理如圖3所示。

圖3 激光跟蹤儀檢測(cè)基本原理Fig. 3 Measurement principle of laser tracer

在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系XMYMZM下，假定空間中有m個(gè)激光跟蹤儀站位分別對(duì)n個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行跟蹤測(cè)量，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可以將第i個(gè)跟蹤儀對(duì)第j個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量過程表達(dá)為：

式中：Qi為第i個(gè)激光跟蹤儀的空間位置坐標(biāo)矢量；Pj為第j個(gè)測(cè)量點(diǎn)的位置坐標(biāo)矢量；Ej為第j個(gè)測(cè)量點(diǎn)的空間位置誤差矢量，可由式（2）計(jì)算得到；lij為第i個(gè)激光跟蹤儀與第j個(gè)測(cè)量點(diǎn)間的距離讀數(shù)；li為死區(qū)長(zhǎng)度，對(duì)于絕對(duì)測(cè)距激光跟蹤儀此項(xiàng)為0。

整個(gè)測(cè)量過程可描述為對(duì)式（5）進(jìn)行最優(yōu)化求解。

為實(shí)現(xiàn)式（5）的求解，利用泰勒1階線性展開后可得到：

式中：J為非線性方程組的雅可比矩陣；d為方程中的未知量，包括激光跟蹤儀的坐標(biāo)位置、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的17項(xiàng)幾何誤差及死區(qū)長(zhǎng)度；Fd為方程組線性化后常量矩陣。

此類問題求解屬于秩虧自由網(wǎng)平差求解范疇，秩虧為6，需要施加約束條件才能求解。因此，利用幾何誤差特性進(jìn)行約束，實(shí)現(xiàn)在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系下幾何誤差的直接求解，約束條件為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各坐標(biāo)軸原點(diǎn)處的幾何誤差均為0，在各軸遠(yuǎn)端處的直線度誤差為0，可用式（7）表達(dá)：

式中，B為僅在約束幾何誤差項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角線值為1、其余值均為0的系數(shù)矩陣。

結(jié)合式（6）和（7）可以得到式（8）：

式中，M=[J B]T，G=[Fd0]T。

式（8）可以通過最優(yōu)化迭代算法進(jìn)行求解，如Levenberg–Marquardt方法，該方法每次迭代步驟如式（9）所示。

式中，μ為松弛因子，I為單位矩陣。

為保證式（9）方程組存在解和求解冗余性，在實(shí)際測(cè)量過程中設(shè)定激光跟蹤儀站位數(shù)m=4；而且激光跟蹤儀4個(gè)測(cè)量位置坐標(biāo)不共面，測(cè)量點(diǎn)遍布整個(gè)測(cè)量空間，每個(gè)位置處的測(cè)量軌跡可不相同。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 激光跟蹤儀幾何誤差檢測(cè)試驗(yàn)

在（20.0±0.5） ℃標(biāo)準(zhǔn)溫度環(huán)境下，對(duì)FYXZ型式的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行幾何誤差檢測(cè)。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量過程中，設(shè)定參數(shù)如表1所示。

表1 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)試驗(yàn)參數(shù)Tab. 1 Experimental parameters of CMM

此外，激光跟蹤儀依次放置在工作臺(tái)上的4個(gè)位置（LT1、LT2、LT3和LT4），目標(biāo)靶球（R）放置在Z軸端部進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量過程中應(yīng)保證不發(fā)生斷光，如圖4所示。激光跟蹤儀在4個(gè)位置處的檢測(cè)軌跡相同，均為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量空間形成的長(zhǎng)方體的12條棱邊。

圖4 激光跟蹤儀檢測(cè)幾何誤差示意圖Fig. 4 Schematic diagram of geometric error measurement of CMM using laser tracer

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差檢測(cè)結(jié)果如表2所示。表2中：X、Y、Z軸幾何誤差均為檢測(cè)結(jié)果的最大值與最小值之差，負(fù)號(hào)表示幾何誤差與X、Y、Z軸正方向相反；垂直度誤差負(fù)號(hào)表示兩軸間夾角小于90°。X、Y、Z軸定位誤差和XY軸間垂直度誤差較大，可認(rèn)為是此三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的主要誤差來源。

表2 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)17項(xiàng)幾何誤差檢測(cè)結(jié)果Tab. 2 17 geometric error measurement results of CMM

利用計(jì)算得到的17項(xiàng)幾何誤差，結(jié)合幾何誤差模型和線性插值方法可以預(yù)測(cè)測(cè)量空間內(nèi)任一點(diǎn)的空間位置誤差，進(jìn)而利用式（3）可以得到三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)每個(gè)空間位置點(diǎn)的總體空間位置誤差。在工作空間內(nèi)的總體空間位置誤差預(yù)測(cè)分布如圖5所示。程中應(yīng)當(dāng)盡量避免極限區(qū)域，也應(yīng)當(dāng)利用空間位置誤差補(bǔ)償方法實(shí)現(xiàn)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度的提升。

圖5 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間位置誤差預(yù)測(cè)分布Fig. 5 Volumetric error distribution of coordinate measuring machine

3.2 單項(xiàng)幾何誤差對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證激光跟蹤儀檢測(cè)和分離得到的幾何誤差的正確性，在相同環(huán)境下利用雷尼紹XL–80激光干涉儀進(jìn)行XYZ軸定位精度的檢測(cè)。激光干涉儀檢測(cè)位置與跟蹤儀檢測(cè)部分軌跡重合。檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示，激光干涉儀檢測(cè)過程中相關(guān)參數(shù)如表3所示。

從圖5可得，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)總體空間位置誤差最大為74.64 μm，而且在測(cè)量空間極限遠(yuǎn)端位置區(qū)域的空間位置誤差較大，尤其是右下角區(qū)域。后期使用過

激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果為往復(fù)5次結(jié)果求取平均。激光干涉儀與激光跟蹤儀測(cè)量的各軸定位誤差檢測(cè)結(jié)果如圖7～9所示。

從圖7～9中可以得到：激光跟蹤儀檢測(cè)和分離得到的Z軸單項(xiàng)誤差與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果趨勢(shì)和幅值均相近；X軸定位偏差相差4.15 μm，Y軸定位偏差相差7.43 μm，Z軸定位偏差相差5.93 μm。兩者之間的差異是由于激光跟蹤儀通過測(cè)量空間軌跡分離得到幾何誤差，而激光干涉儀是測(cè)量單條直線所得到的綜合測(cè)量結(jié)果。但是兩者總體相近，可以驗(yàn)證該方法的正確性。

圖6 激光干涉儀檢測(cè)定位誤差Fig. 6 Positioning error measurement using laser interferometer

表3 激光干涉儀試驗(yàn)參數(shù)Tab. 3 Experimental parameters of laser interferometer

圖7 X軸定位誤差對(duì)比Fig. 7 Comparison of positioning error of X axis

圖8 Y軸定位誤差對(duì)比Fig. 8 Comparison of positioning error of Y axis

圖9 Z軸定位誤差對(duì)比Fig. 9 Comparison of positioning error of Z axis

3.3 空間位置誤差對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證

空間誤差是評(píng)價(jià)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)性能的關(guān)鍵因素，也是三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度提升的關(guān)鍵。因此，在相同檢測(cè)條件下，利用本文所提方法與文獻(xiàn)[11,13]所提空間誤差檢測(cè)方法，均使用Levenberg–Marquardt方法處理得到實(shí)測(cè)軌跡的空間誤差與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。激光跟蹤儀與激光干涉儀檢測(cè)軌跡與第3.2節(jié)中相同，X軸和Y軸空間誤差計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同分離方法的空間誤差對(duì)比結(jié)果Fig. 10 Volumetric error comparison results of different measurement methods

從圖10中可以得到：文獻(xiàn)[11]方法檢測(cè)結(jié)果與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果相比，X最大相差11.14 μm，Y軸最大相差3.21 μm，可能與激光跟蹤儀的布局和測(cè)量點(diǎn)的空間分布有關(guān)；文獻(xiàn)[13]方法整體與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果相差較大，X軸最大相差45.5 μm，Y軸最大相差16.61 μm，由于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度較差，在自標(biāo)定過程中引入了較大的自標(biāo)定誤差；本文方法與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果相比，X軸最大相差2.8 μm，Y軸最大相差5.3 μm。綜上，在相同條件下，本文方法避免了激光跟蹤儀的自標(biāo)定，能夠較為準(zhǔn)確地反映三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間位置誤差的分布。

為驗(yàn)證利用幾何誤差模型預(yù)測(cè)得到的空間位置誤差的正確性，根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)生產(chǎn)制造過程中進(jìn)行精度檢測(cè)調(diào)整常用的4條體對(duì)角線定位誤差，進(jìn)行激光跟蹤儀預(yù)測(cè)值與激光干涉儀實(shí)測(cè)值的對(duì)比試驗(yàn)。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)4條體對(duì)角線設(shè)定見表4。PPP體對(duì)角線定位誤差檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)如圖11所示，體對(duì)角線檢測(cè)試驗(yàn)總體耗時(shí)2 h。

表4 體對(duì)角線位置設(shè)定Tab. 4 Position setting of body diagonals

圖11 激光干涉儀檢測(cè)PPP體對(duì)角線定位誤差現(xiàn)場(chǎng)Fig. 11 Positioning error measurement of PPP body diagonal using laser interferometer

圖12 體對(duì)角線預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)空間位置誤差對(duì)比Fig. 12 Volumetric positioning error comparison of measured and predicted values of body diagonals

將激光干涉儀在每個(gè)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)位置往復(fù)5次的測(cè)量結(jié)果求取平均作為實(shí)測(cè)值。利用激光干涉儀進(jìn)行檢測(cè)的體對(duì)角線定位誤差與激光跟蹤儀預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖12所示。

從圖12中可以得到，激光跟蹤儀預(yù)測(cè)與激光干涉儀實(shí)測(cè)體對(duì)角線定位誤差趨勢(shì)相近，且誤差值總體較為接近。其中，預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)值中NPP定位誤差最大相差4.42 μm，NPN定位誤差最大相差4.89 μm，PPN定位誤差最大相差6.77 μm，PPP定位誤差值最大相差10.51 μm，可以說明空間位置誤差預(yù)測(cè)模型的正確性。激光跟蹤儀通過部分軌跡檢測(cè)可以預(yù)測(cè)工作空間內(nèi)所有位置的空間位置誤差，便于通過誤差補(bǔ)償方式實(shí)現(xiàn)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度的提升。此外，激光跟蹤儀檢測(cè)速度快、效率高，較傳統(tǒng)測(cè)量方法有更大的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

1）建立了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的幾何誤差模型和激光跟蹤儀檢測(cè)原理模型，并利用幾何誤差約束條件，實(shí)現(xiàn)了幾何誤差的直接分離。該方法不需要進(jìn)行激光跟蹤儀位置的自標(biāo)定，簡(jiǎn)化了求解步驟，提高了幾何誤差測(cè)量精度。

2）在某三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上進(jìn)行了幾何誤差檢測(cè)試驗(yàn)和空間誤差預(yù)測(cè)。與激光干涉儀檢測(cè)結(jié)果相比，三軸定位誤差最大相差7.43 μm，體對(duì)角線定位誤差最大相差10.51 μm，驗(yàn)證了幾何誤差分離方法和空間位置誤差預(yù)測(cè)模型的正確性。該方法與常用的激光跟蹤儀檢測(cè)幾何誤差方法相比有較大優(yōu)勢(shì)，能夠更為準(zhǔn)確地反映空間誤差分布。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)預(yù)測(cè)空間誤差最大值為74.64 μm，且位于測(cè)量空間極限區(qū)域位置。

3）應(yīng)用激光跟蹤儀的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)幾何誤差檢測(cè)總耗時(shí)2 h，比傳統(tǒng)的激光干涉儀對(duì)X軸、Y軸和Z軸定位精度和4條體對(duì)角線位置精度的檢測(cè)效率高；而且便于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間位置誤差補(bǔ)償，在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)和數(shù)控機(jī)床精度檢測(cè)領(lǐng)域有較大的應(yīng)用空間。