趙娜，呂成興

(1.齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 山東省海洋儀器儀表研究所 山東省海洋環(huán)境監(jiān)測技術(shù)重點實驗室 國家海洋監(jiān)測設(shè)備工程技術(shù)研究中心，山東 青島 266033；2. 青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院， 山東 青島 266000)

選擇順應(yīng)性裝配機器手臂(selective compliance assembly robot arm，SCARA)機器人是典型的機械臂系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖 1所示。由于具有結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，目前已廣泛應(yīng)用于組裝、焊接、加工等行業(yè)[1-5]。同時，這些領(lǐng)域?qū)τ赟CARA機器人的運行速度和軌跡跟蹤精度也提出了更高的要求。因此，研究SCARA機器人的軌跡跟蹤問題在理論和實踐中都具有極其重要的意義。

圖1 SCARA機器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of SCARA robot

由于機械臂系統(tǒng)是高度非線性的系統(tǒng)，因此線性控制的方法難以獲取良好的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能?；？刂频幕Ｃ娌皇鼙豢貙ο蟮膮?shù)不確定性和外部干擾的影響，因此經(jīng)常在機械臂的控制中使用，然而滑?？刂迫菀滓腩澱瘳F(xiàn)象[6-7]。模糊控制不需要建立精確的數(shù)學(xué)模型，但是其穩(wěn)態(tài)性能并不理想[8]。反步設(shè)計方法對于非線性系統(tǒng)、尤其是帶有不確定性的非線性系統(tǒng)具有較強的處理能力。Nikdel等[9]通過設(shè)計自適應(yīng)反步控制器來提高機械臂的軌跡跟蹤性能，控制器在模型非線性和參數(shù)不確定性的情況下保證了系統(tǒng)穩(wěn)定性以及良好的跟蹤性能。反步法相對于其他的漸近收斂算法，具有收斂速度快、控制精度高和抗干擾能力強等優(yōu)點。目前SCARA機器人系統(tǒng)的時變軌跡跟蹤問題依然存在控制精度不足、抗干擾能力較差等缺點。針對SCARA機器人系統(tǒng)時變軌跡跟蹤的控制精度問題，本文提出了一種新型的反步法軌跡跟蹤控制器，該控制器具有優(yōu)良的動態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能，且能夠快速消除誤差。

1 機器人模型

二自由度機器人的動力學(xué)方程表示為：[10]

(1)

其中q∈2為機器人關(guān)節(jié)的角位移向量，2為機器人關(guān)節(jié)的角速度向量，2為機器人關(guān)節(jié)的角加速度向量。M(q)∈2x2為慣性矩陣且為正定，2x2為離心力和哥氏力向量，τ∈2為系統(tǒng)的輸入力和力矩向量，τd∈2為擾動輸入且假定其為有界的。

2 控制器設(shè)計

對于二自由度SCARA機器人的非線性運動學(xué)和動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，忽略擾動項，采用反步法設(shè)計機器人的軌跡跟蹤控制律。

選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量分別如下

(2)

則誤差向量為

(3)

(4)

選取虛擬控制量為

(5)

沿系統(tǒng)的軌線，對V1微分，得

(6)

(7)

設(shè)計李雅普諾夫候選函數(shù)為：

(8)

(9)

(10)

V=V1+V2。

(11)

3 仿真與討論

為了驗證所設(shè)計算法的有效性，我們進(jìn)行了仿真實驗。機器人模型參數(shù)為：

(12)

其中，控制器參數(shù)設(shè)計為：kp1=kp2=300，kd1=kd2=100。

我們設(shè)計兩個應(yīng)用場景來驗證所設(shè)計控制器的有效性。場景一為給定期望軌跡信號為階躍信號，場景二為給定期望信號為時變信號。q=[q1pd,q2pd]T為非線性PD軌跡跟蹤控制器產(chǎn)生的軌跡信號，q=[q1,q2]T為所設(shè)計反步法控制器產(chǎn)生的軌跡信號。

3.1 階躍信號軌跡跟蹤仿真

關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望位置信號q=[q1d,q2d]T為單位階躍信號。由圖 2可以看出，在極短的時間內(nèi)關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤到了期望信號，所設(shè)計的控制器的動態(tài)能性優(yōu)于非線性PD控制器的動態(tài)能性。由圖3可以看出，輸入力矩為光滑曲線，所設(shè)計控制器的力矩曲線光滑合理。

圖2 關(guān)節(jié)階躍信號軌跡跟蹤仿真圖Fig.2 Tracking position of joint step signal

圖3 階躍信號的系統(tǒng)輸入力矩Fig.3 Input torque of system under step signal

由圖4可以看出，加入定值擾動τd=[5,5]T時，跟蹤曲線有誤差存在，而所設(shè)計的反步控制器動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能均優(yōu)于PD控制器。

圖4 加入擾動時關(guān)節(jié)階躍信號軌跡跟蹤仿真圖Fig.4 Tracking position of joint with disturbance under step signal

3.2 連續(xù)時變信號軌跡跟蹤仿真

設(shè)計期望時變軌跡信號為：q1d=2.5sin (0.2t) ，q2d=2.5cos (0.2t)?？刂破鲄?shù)設(shè)置不變。由圖5可以看出，對于連續(xù)時變信號期望軌跡，所設(shè)計的控制器可以快速跟蹤，并具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。由圖6可以看出所設(shè)計控制器的力矩曲線光滑合理。

圖5 關(guān)節(jié)時變信號軌跡跟蹤仿真圖Fig.5 Tracking position of joint under time-varying signal

圖6 時變信號的系統(tǒng)輸入力矩Fig.6 Input torque of system under time-varying signal

圖7為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤曲線，可以看出，加入定值擾動τd=[5,5]T時，對于時變軌跡信號，PD控制器在有定值擾動存在時跟蹤誤差較大，而所設(shè)計的反步控制器動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能均優(yōu)于PD控制器。

圖7 加入擾動時關(guān)節(jié)時變信號軌跡跟蹤仿真圖Fig.7 Tracking position of joint with disturbance under time-varying signal

4 結(jié)論

本文針對SCARA 機器人的時變軌跡跟蹤問題，使用反步法設(shè)計了二自由度SCARA機器人的一種新型軌跡跟蹤控制器。設(shè)計了閉環(huán)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理和拉薩爾不變集定理，證明了所設(shè)計的控制律保證二自由度機器人軌跡控制閉環(huán)系統(tǒng)是一致全局漸近穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明，所提出的控制律對跟蹤給定值信號和時變信號都取得了滿意的控制效果，驗證了控制律的有效性。在進(jìn)一步的研究工作中，將解決軌跡跟蹤控制中的不確定干擾問題。