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        高中物理“等時(shí)圓”模型及應(yīng)用

        2021-06-09 18:33:15蔣鑫
        關(guān)鍵詞:高中物理應(yīng)用

        蔣鑫

        [摘?? 要]“等時(shí)圓”是高中物理的經(jīng)典模型,在各類測(cè)試中出現(xiàn)頻率較高,為使學(xué)生牢固掌握該模型,并能靈活應(yīng)用,教師在教學(xué)中應(yīng)做好對(duì)等時(shí)圓模型的推導(dǎo)、分析,使學(xué)生掌握結(jié)論,更理解結(jié)論的本質(zhì),從而提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

        [關(guān)鍵詞]高中物理;等時(shí)圓模型;應(yīng)用

        [中圖分類號(hào)]??? G633.7??????? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]??? A??????? [文章編號(hào)]??? 1674-6058(2021)02-0055-02

        “等時(shí)圓”模型是高中力學(xué)中的重要模型之一,相關(guān)問(wèn)題情境復(fù)雜多變,很多學(xué)生由于不知道該模型,因而在解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)浪費(fèi)了大量的時(shí)間,甚至出錯(cuò)。教學(xué)中,教師有必要對(duì)該模型進(jìn)行深入探討,幫助學(xué)生理解該模式并能應(yīng)用該模型解決問(wèn)題。

        一、“等時(shí)圓”模型的引入

        如圖1所示,在豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)A處放置一物體,使其分別沿著光滑軌道AB、AC、AD下滑,其中AB為圓環(huán)的豎直直徑,物體沿AB、AC、AD軌道下滑的時(shí)間分別為t1、t2、t3,試分析下滑時(shí)間t1、t2、t3的大小關(guān)系。

        設(shè)圓環(huán)的直徑[AB=d],軌道AD與AB的夾角為[θ],由幾何知識(shí)可知軌道AD的長(zhǎng)[l=dcosθ]。物體沿著軌道AD下滑時(shí),加速度[a=gcos θ]。由[l=12at2],可得t=[2la]=[2dg]。可知物體下滑所用的時(shí)間與軌道的長(zhǎng)短、與豎直方向的夾角無(wú)關(guān),即t1=t2=t3,該模型即為“等時(shí)圓”模型。

        二、“等時(shí)圓”模型的分析

        “等時(shí)圓”模型推導(dǎo)的難度并不大。該模型還包括另外兩種情境。情境一:物體在豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)沿著不同的光滑軌道運(yùn)動(dòng)至圓環(huán)的低點(diǎn),所用的時(shí)間相等;情境二:物體沿不同光滑弦上端,由靜止下滑到最低點(diǎn)所用的時(shí)間相等。

        為保證學(xué)生在解題過(guò)程中能夠靈活應(yīng)用該模型,教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題,鼓勵(lì)學(xué)生思考、解答,引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識(shí)該模型,明確模型結(jié)論成立的條件。

        問(wèn)題1.一定是最高點(diǎn)和最低點(diǎn)嗎?

        “等時(shí)圓”模型中最高點(diǎn)和最低點(diǎn)至少需滿足其中一個(gè),教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找圓的一條直徑進(jìn)行分析。

        問(wèn)題2.一定是光滑軌道嗎?

        推導(dǎo)“等時(shí)圓”模型時(shí)桿是光滑的。如果物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的摩擦力不能忽略,不難推導(dǎo)出物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與軌道及豎直方向的夾角相關(guān),且?jiàn)A角越大,所用的時(shí)間越小。具體表達(dá)式可由學(xué)生自己推導(dǎo)。

        問(wèn)題3.物體的初速度一定為零嗎?

        假設(shè)物體從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度不為零。設(shè)初速度為v0,圓環(huán)的半徑為R,物體沿圓環(huán)直徑運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1,沿著軌道AC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2,則由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知[2R=v0t1+12gt21],[2Rcosθ=v0t2+12gcosθt22]顯然其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間并不相同。

        問(wèn)題4.不滿足“等時(shí)圓”模型能應(yīng)用其結(jié)論嗎?

        高中物理習(xí)題靈活多變,解題思路也多種多樣,解題時(shí)應(yīng)具體問(wèn)題具體分析,部分習(xí)題雖然不滿足“等時(shí)圓”模型成立的條件,但可通過(guò)添加輔助線間接應(yīng)用。

        教學(xué)中通過(guò)設(shè)置上述問(wèn)題,要求學(xué)生思考,使學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的認(rèn)識(shí)更為深刻,并得出以下結(jié)論:其一,模型中的圓環(huán)可以是真實(shí)的事物,也可以是不存在的,相關(guān)點(diǎn)只要與模型中的情形一致,即在相關(guān)的圓上即可。其二,物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)軌道是光滑的。

        三、“等時(shí)圓”模型的具體應(yīng)用

        1.等時(shí)圓模型的基礎(chǔ)應(yīng)用

        講解“等時(shí)圓”模型知識(shí)后,為使學(xué)生感受該模型在解題中的具體應(yīng)用,提高學(xué)生應(yīng)用該模型的能力,教學(xué)中應(yīng)注意設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題情境,并給學(xué)生預(yù)留一定的時(shí)間,讓學(xué)生從“等時(shí)圓”模型獲得啟發(fā),嘗試尋找解題思路。

        [例1]如圖2所示,一長(zhǎng)坡與水平面的夾角為30°,其上有C、O、B三點(diǎn),且滿足CO=OB=10 m,在O點(diǎn)豎直固定一長(zhǎng)10 m的直桿AO,A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各有一光滑的鋼繩,且均穿有可視為質(zhì)點(diǎn)的鋼球,將兩球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至各繩的末端,則小球在鋼繩上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tAC、tAB分別為(g取10 m/s2)()。

        A.2 s和2 s ??? B.[2 ]s和2 s

        C.[2] s和4 s D.4 s和[2 ]s

        分析:該題如采用常規(guī)做法,需要找到角度之間的關(guān)系,較為復(fù)雜。事實(shí)上,通過(guò)認(rèn)真審題可知A、B、C三點(diǎn)共圓,且A點(diǎn)為圓的最高點(diǎn),因此可采用“等時(shí)圓”模型解答。解題中繪制過(guò)點(diǎn)A、B、C的圓,直接運(yùn)用“等時(shí)圓”模型解答。由“等時(shí)圓”模型可知,兩個(gè)小球達(dá)到各自繩末端的時(shí)間相等,均為t =[2dg],根據(jù)題給數(shù)據(jù)可知圓的直徑d=20 m,則t=2 s,正確答案為A。

        2.等時(shí)圓模型的延伸應(yīng)用

        部分習(xí)題看似與“等時(shí)圓”模型沒(méi)有關(guān)系。但可根據(jù)“等時(shí)圓”模型中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行輔助分析。教學(xué)中為使學(xué)生能夠活學(xué)活用,可設(shè)計(jì)與“等時(shí)圓”模型較為接近的習(xí)題,要求學(xué)生根據(jù)自己的理解作答,檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的理解程度及應(yīng)用能力。

        [例2]如圖3所示,一豎直放置的光滑圓環(huán)軌道與水平面切于點(diǎn)M,與豎直墻切于點(diǎn)A。豎直墻上的B點(diǎn)與M點(diǎn)的連線和水平面成60°,C為圓環(huán)的圓心。某一時(shí)刻從A、B兩點(diǎn)由靜止釋放a、b兩個(gè)小球,使其分別沿著軌道AM、BM運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn),c球從C點(diǎn)自由下落至M點(diǎn),則()。

        A.三個(gè)球同時(shí)達(dá)到M點(diǎn)B. a球最先到達(dá)M點(diǎn)

        C. b球最先到達(dá)M點(diǎn)? D. c球最先到達(dá)M點(diǎn)

        分析:題目中給出的A、B、C三點(diǎn)并不共圓,因此不能直接用“等時(shí)圓”模型解題。但解題時(shí)可在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析,以提高解題效率。因B點(diǎn)并不在圓環(huán)上,其長(zhǎng)度大于其所在的弦,由“等時(shí)圓”模型知a小球比小球b先達(dá)到M點(diǎn),a小球到達(dá)M點(diǎn)所用的時(shí)間ta=[2dg]。小球c做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間tc=[dg],顯然c球先于a球到達(dá)M點(diǎn),三個(gè)小球到達(dá)M點(diǎn)所用的時(shí)間大小關(guān)系為[tb>ta>tc],正確選項(xiàng)為D。

        3.等時(shí)圓模型的強(qiáng)化應(yīng)用

        為打破學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的思維定式,可設(shè)計(jì)一些較為新穎的習(xí)題,要求學(xué)生巧妙應(yīng)用“等時(shí)圓”模型分析解答,即將物體在圓環(huán)弦上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為自由落體運(yùn)動(dòng),從而判斷其運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短。

        [例3]如圖4所示,在豎直面內(nèi)有一圓環(huán),OD為水平線。圓周上有三根互成30°的光滑桿OA、OB、OC,每根桿上各套著一個(gè)小球,將這些小球從三根桿的頂端分別下滑至O點(diǎn),所用的時(shí)間分別為tA、tB、tC,則其關(guān)系為()。

        A. [tA=tB=tC] ? B. [tA

        C. [tA>tB>tC] ????D.無(wú)法確定

        分析:認(rèn)真審題可知O點(diǎn)并不是圓的最低點(diǎn),無(wú)法直接使用“等時(shí)圓”模型,但可間接使用,即作出如圖5所示的輔助線。其中[BB']、[CC']和圓分別切于點(diǎn)B和點(diǎn)C,將其轉(zhuǎn)化到同一直線上,則由“等時(shí)圓”模型可知,小球從OB、OC下滑時(shí)所用的時(shí)間滿足tOB = [tOB'],tOC = [tOC'],又因?yàn)樾∏蜃鲎杂陕潴w運(yùn)動(dòng)時(shí)[tOC'>tOB'>tOA],因此,tA、tB、tC之間的關(guān)系為[tA

        4.等時(shí)圓模型的拓展應(yīng)用

        高中物理教學(xué)中,為了提高學(xué)生運(yùn)用“等時(shí)圓”模型,靈活解答物理問(wèn)題的能力,應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)難度稍大的問(wèn)題,對(duì)學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練,使學(xué)生能夠把握“等時(shí)圓”的本質(zhì),并能融會(huì)貫通。

        [例4]如圖6所示,在同一豎直平面內(nèi)離地面高H的定點(diǎn)P到半徑為R的定圓的水平距離為L(zhǎng),從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上,現(xiàn)使物體從P點(diǎn)釋放后沿軌道下滑到定圓的時(shí)間最短,求該軌道與豎直方向的夾角(H與L滿足題設(shè)要求)。

        分析:該題是“等時(shí)圓”模型的拓展應(yīng)用,難度較大。解題時(shí)根據(jù)“等時(shí)圓”模型,以P為“等時(shí)圓”的最高點(diǎn)作出一系列半徑不同的“等時(shí)圓”,使得軌道末端均落在對(duì)應(yīng)等時(shí)圓的圓周上。如圖7所示,物體沿著軌道PM下滑所用的時(shí)間最短,設(shè)PM與豎直方向的夾角為α,由幾何知識(shí)不難得出:[tanα=QD/DP=L/H],則[α=arc tan(L/H)]。

        “等時(shí)圓”模型是高中物理的重要模型之一,將其結(jié)論應(yīng)用于解題,能很好地提高解題效率,因此教學(xué)中教師應(yīng)與學(xué)生一起分析、推導(dǎo)該模型的結(jié)論,尤其通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)該模型的認(rèn)識(shí),提升應(yīng)用能力。

        [參考文獻(xiàn)]

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        [4]? 仇德霞.關(guān)于高中學(xué)生建構(gòu)物理模型的教學(xué)策略分析[J].才智,2019(27):168.

        [5]? 陳鋒.高中物理模型的構(gòu)建及其教學(xué)策略[J].湖南中學(xué)物理,2019(9):36-37+40.

        [6]? 凌劍榮.物理模型在高中物理教學(xué)中的構(gòu)建與運(yùn)用研究[J].教育觀察,2019(25):135+144.

        [7]? 王鵬.重視物理模型 求解物理問(wèn)題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2019(14):36.

        (責(zé)任編輯 易志毅)

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