田磊，趙啟倫，董希旺，4，*，李清東，呂金虎，4，任章，4

(1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100083；2.北京航空航天大學(xué) 飛行器控制一體化技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083；3.北京電子工程總體研究所，北京100854； 4.北京航空航天大學(xué) 大數(shù)據(jù)科學(xué)與腦機(jī)智能高精尖創(chuàng)新中心，北京100083）

美軍為提高在拒止環(huán)境下的作戰(zhàn)能力，提出了分布式協(xié)同作戰(zhàn)的理念。拒止環(huán)境是美軍對(duì)強(qiáng)對(duì)抗環(huán)境的別稱，具有強(qiáng)電磁干擾、強(qiáng)對(duì)抗博弈等特點(diǎn)，而拒止環(huán)境勢(shì)必造成單體作戰(zhàn)效能的減弱，進(jìn)而分布式協(xié)同作戰(zhàn)理念廣受關(guān)注?！爸艺\(chéng)僚機(jī)”計(jì)劃是美軍為應(yīng)對(duì)強(qiáng)對(duì)抗博弈環(huán)境而提出的新型作戰(zhàn)樣式，由少量高價(jià)值有人平臺(tái)和大量低成本無(wú)人平臺(tái)組成，是分布式協(xié)同作戰(zhàn)的重要組成部分。而編隊(duì)跟蹤控制技術(shù)為實(shí)現(xiàn)拒止環(huán)境下的“忠誠(chéng)僚機(jī)”計(jì)劃提供了有力的技術(shù)支撐?，F(xiàn)有的編隊(duì)跟蹤控制方法主要分為集中式和分布式2種。集中式控制方法存在中心節(jié)點(diǎn)，對(duì)通信帶寬要求高，抗干擾能力差；分布式控制方法通過(guò)局部有限鄰居智能體之間的交互實(shí)現(xiàn)具體的任務(wù)，對(duì)通信帶寬要求低，具備良好的抗干擾能力和可擴(kuò)展能力［1］。

隨著一致性理論的發(fā)展，近年來(lái)在分布式編隊(duì)控制領(lǐng)域涌現(xiàn)出豐碩的研究成果。Dong［2］和He［3］等分別研究了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間條件下的編隊(duì)控制問(wèn)題。Wang等［4］給出了一種單個(gè)智能體不依賴通信拓?fù)淙中畔⒌木庩?duì)控制方法。Hua等［5］研究了系統(tǒng)存在不確定參數(shù)及未知擾動(dòng)情況下的時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題。隨著研究的深入，研究者們將如何控制整個(gè)編隊(duì)的移動(dòng)納入研究的重點(diǎn)，進(jìn)而衍生出編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。Dong等［6］研究了二階多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題，并將其成功應(yīng)用到無(wú)人機(jī)編隊(duì)飛行中。Yu等［7］基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器理論構(gòu)造分布式的控制協(xié)議，解決了多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。Dong［8］和Yu［9］等分別研究了存在多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者情況下線性和非線性多智能體系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。Su等［10］給出了隨機(jī)采樣機(jī)制下多智能體系統(tǒng)內(nèi)部同時(shí)存在通信延遲和多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題的解決方案。Hua等［11-12］進(jìn)一步將多智能體系統(tǒng)由同構(gòu)模型擴(kuò)展到異構(gòu)模型，研究了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。為使編隊(duì)跟蹤能夠在有限時(shí)間內(nèi)完成，Hua等［13］還研究了高階同構(gòu)系統(tǒng)存在不匹配擾動(dòng)情況下有限時(shí)間時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。更進(jìn)一步，Duan等［14］研究了高階異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。

綜上所述，有關(guān)時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制的研究成果十分豐富，但需要指出的是，上述文獻(xiàn)并沒(méi)有對(duì)時(shí)變編隊(duì)隊(duì)形進(jìn)行明確定義，僅用一個(gè)時(shí)變函數(shù)來(lái)概括性表示編隊(duì)偏移量，也沒(méi)有對(duì)時(shí)變編隊(duì)的應(yīng)用性進(jìn)行研究，而且該信息實(shí)際為全局信息在上述文獻(xiàn)中為隱含全局信息。本文提出了一種基于集群系統(tǒng)分布式時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制方法的護(hù)航策略，并考慮了拒止環(huán)境對(duì)通信拓?fù)涞挠绊?，是編?duì)跟蹤控制方法的一種典型實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有：①基于分布式時(shí)變編隊(duì)控制理論，結(jié)合應(yīng)用背景和工程意義，給出了一種能夠“忠誠(chéng)僚機(jī)”的護(hù)航策略控制方法；②考慮長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)系統(tǒng)存在外部擾動(dòng)且長(zhǎng)機(jī)存在大機(jī)動(dòng)的情況，構(gòu)造分布式觀測(cè)器對(duì)敵方來(lái)襲導(dǎo)彈的方位角進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而結(jié)合觀測(cè)器理論、自適應(yīng)控制理論、滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了分布式控制器，擺脫了對(duì)敵方來(lái)襲導(dǎo)彈方位角、通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及未知擾動(dòng)上界等全局信息的依賴；③考慮在拒止環(huán)境下，復(fù)雜電磁干擾帶來(lái)通信時(shí)斷時(shí)續(xù)，導(dǎo)致長(zhǎng)機(jī)與僚機(jī)及僚機(jī)與僚機(jī)之間的通信拓?fù)浯嬖谇袚Q，進(jìn)而在上述分布式觀測(cè)器和控制器中加入通信拓?fù)淝袚Q信息，并根據(jù)Lyapunov理論給出了長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。

1 圖論知識(shí)和問(wèn)題描述

1.1 圖論知識(shí)

1.2 問(wèn)題描述

本文研究的系統(tǒng)模型為長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)模型，包含1個(gè)長(zhǎng)機(jī)和N個(gè)僚機(jī)。由于不同類型的飛行器近似線性化后的模型不盡相同，不失一般性，長(zhǎng)機(jī)的模型定義為

僚機(jī)的模型定義為

式中：A、B為模型近似線性化后的系統(tǒng)矩陣；y1(t），yp(t）∈Rn為狀態(tài)量；u1(t），up(t）∈Rm為控制輸入量；dp(t）∈Rm為未知擾動(dòng)量；p=2，3，…，1+N。

注釋1大多數(shù)空中飛行器在其工作點(diǎn)附近一般都可以近似線性化處理。例如，田磊等［15］給出了旋翼飛機(jī)近似線性化處理后的模型，Wang等［16］給出了固定翼飛機(jī)近似線性化處理后的模型。因此，上述長(zhǎng)機(jī)和僚機(jī)定義模型的應(yīng)用性較為廣泛。

假設(shè)1在圖G所表征的通信拓?fù)渲?，長(zhǎng)機(jī)與某個(gè)僚機(jī)之間如果存在連接，則連接關(guān)系是從長(zhǎng)機(jī)指向僚機(jī)的單向連接，而僚機(jī)之間的連接均為雙向連接。當(dāng)有多枚敵方導(dǎo)彈來(lái)襲時(shí)，僚機(jī)被分為多個(gè)小組，且不同小組之間不存在通信，整個(gè)通信拓?fù)浒豢靡蚤L(zhǎng)機(jī)為根節(jié)點(diǎn)的生成樹(shù)。

如果假設(shè)1成立，當(dāng)有M枚敵方導(dǎo)彈來(lái)襲時(shí)，圖G的拉普拉斯矩陣可寫(xiě)為如下形式：

通過(guò)分析拉普拉斯矩陣的形式可知，對(duì)角塊矩陣Lg(g=1，2，…，M）為正定實(shí)對(duì)稱矩陣［17］。令Ldiag=diag｛Lg，g=1，2，…，M｝。

假設(shè)2圖G所表征的通信拓?fù)潢P(guān)系在某段固定時(shí)間間隔(定義為駐留時(shí)間τ）內(nèi)保持不變，該段時(shí)間間隔的最小值定義為最小駐留時(shí)間，用τmin表示。定義t0=0為初始時(shí)刻，tσ+1(σ=0，1，2，…）為切換時(shí)刻，則駐留時(shí)間τσ=tσ+1-tσ≥τmin，在［tσ，tσ+1）時(shí)間間隔內(nèi)的拉普拉斯矩陣記為L(zhǎng)σ。

假設(shè)3長(zhǎng)機(jī)的控制輸入和僚機(jī)的未知擾動(dòng)是有界的，但是其界限的具體數(shù)值是未知的，即滿足u1(t）1≤η1、dp(t）1≤η2，η1、η2為未知正實(shí)數(shù)。

注釋2在實(shí)際系統(tǒng)中，控制輸入量和未知擾動(dòng)量通常是有界的，但是其界限值通常不容易獲取，因此假設(shè)2是合理的。

假設(shè)4長(zhǎng)機(jī)上含有探測(cè)設(shè)備，能夠探測(cè)出敵方來(lái)襲導(dǎo)彈的方位角γg(t）(g=1，2，…，M）。

注釋3通常情況下，長(zhǎng)機(jī)是價(jià)值較大需要保護(hù)的己方個(gè)體，長(zhǎng)機(jī)上裝有探測(cè)裝置，可探測(cè)出來(lái)襲導(dǎo)彈的方位角。

引理1［15］對(duì)于任意正定實(shí)對(duì)稱矩陣H∈RM×M(M=1，2，…），下列不等式關(guān)系成立：

式中：λmin(H）為矩陣H的最小特征值。

引理2［15］對(duì)于任意正定實(shí)對(duì)稱矩陣H1，H2∈RM×M和任意向量x∈RM(M=1，2，…），下列不等式關(guān)系成立：

式中：λmax(H1H2-1）為矩陣H1H2-1的最大特征值。

定義1對(duì)于任意有界初始狀態(tài)，如果以下關(guān)系式成立，且該關(guān)系式中設(shè)計(jì)的時(shí)變編隊(duì)函數(shù)能夠使僚機(jī)一直處于長(zhǎng)機(jī)和敵方來(lái)襲導(dǎo)彈的視線軸上，則稱本文提出的基于拒止環(huán)境下的時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制方法的護(hù)航策略能夠?qū)崿F(xiàn)。

式中：p=2，3，…，1+N；hp(t）為設(shè)計(jì)的時(shí)變編隊(duì)函數(shù)。

2 控制協(xié)議設(shè)計(jì)和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)根據(jù)本文所提出的護(hù)航策略給出時(shí)變編隊(duì)函數(shù)的設(shè)計(jì)方法，同時(shí)考慮拒止環(huán)境帶來(lái)的影響，構(gòu)造能夠?qū)崿F(xiàn)切換通信拓?fù)潢P(guān)系的分布式時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制協(xié)議。不僅如此，設(shè)計(jì)協(xié)議時(shí)結(jié)合自適應(yīng)控制理論，解決系統(tǒng)的外部擾動(dòng)和通信拓?fù)淙中畔⒉灰撰@取的問(wèn)題。通過(guò)Lyapunov理論對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

不失一般性，通過(guò)圖1(二維橫側(cè)向XOY平面內(nèi)）可直觀地理解本文所提出的護(hù)航策略。

圖1 護(hù)航策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of escort strategy

根據(jù)圖1中給出的策略可知，二維平面內(nèi)的時(shí)變編隊(duì)函數(shù)可設(shè)計(jì)如下：

設(shè)計(jì)對(duì)γˉg(t）的分布式觀測(cè)器：

基于上述觀測(cè)器，構(gòu)造分布式自適應(yīng)控制協(xié)議如下：

式中：sgn(·）表示標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)函數(shù)；αp(t）為自適應(yīng)增益；hp(t）為時(shí)變編隊(duì)函數(shù)，其在OX軸和OY軸方向分別設(shè)計(jì)為式(7）中對(duì)應(yīng)的函數(shù)，其他待確定參數(shù)由算法1確定，具體步驟如下：

步驟2根據(jù)下列Riccati方程計(jì)算正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q：

式中：μ為可選取的正實(shí)數(shù)，滿足μ≤ˉκ；P為可選取的正定實(shí)對(duì)稱矩陣。

步驟3根據(jù)公式K=-BTQ計(jì)算增益矩陣K。

步驟4選取βp∈(0，+∞），βp為可調(diào)參數(shù)，可根據(jù)系統(tǒng)其他參數(shù)綜合選取，從而避免過(guò)慢的響應(yīng)速度或過(guò)高的控制增益。

證明首先證明分布式觀測(cè)器(9）的收斂性。

由式(9）可知

式中：t∈［tσ，tσ+1），σ=0，1，2，…。

對(duì)Vˉg(t）求導(dǎo)可得

由式(14）可得

因?yàn)橄到y(tǒng)的通信拓?fù)湓趖σ(σ=1，2，…）時(shí)刻發(fā)生切換，由引理2可得

根據(jù)式(15）和式(17）可以推出

運(yùn)用遞歸方法可得

根據(jù)t-t0=t-tσ+tσ-tσ-1+…+t1-t0≥t-tσ+στmin可以推出

由lnε-μτmin＜0和μ≤可得0，進(jìn)而可知，等價(jià)于0，由于，而為非奇異矩，因此觀測(cè)器(9）是收斂的。

接下來(lái)證明在控制協(xié)議(10）下，本文所提出的拒止環(huán)境下基于時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制方法的護(hù)航策略可以實(shí)現(xiàn)。對(duì)于所有僚機(jī)，將式(10）代入式(2）中可得

令zp(t）=yp(t）-hp(t）-y1(t），同時(shí)定義z1(t）=0，可以推出

根據(jù)算法1中的步驟1及式(8）和式(10）可知，Bvp(t）-˙hp(t）+Ahp(t）=0，因此式(22）可寫(xiě)為陣，可得

可得

令z(t）=［z2(t），z3(t），…，z1+N(t）］T，u(t）=1?u1(t），d(t）=［d2(t），d3(t），…，d1+N(t）］T，同時(shí)令α(t）=diag｛α2(t），α3(t），…，α1+N(t）｝，其中1為元素全部為1的列向量，則式(24）可寫(xiě)為如下形式：

考慮Lyapunov函數(shù)如下：

式中：χ為可選取的正常數(shù)；t∈［tσ，tσ+1），σ=0，1，2，…。

對(duì)V(t）求導(dǎo)并由K=-BTQ可得

因?yàn)?/p>

且根據(jù)δTsgn(δ）=δ1可得

所以式(27）可化為

進(jìn)一步分析可得

同時(shí)分析可知

因此可以推出以下關(guān)系式成立：

根據(jù)引理1可知

選取足夠大的χ滿足：χ＞max｛η1+η2，

1/(2λmin(Lσdiag））｝，并 根據(jù)算 法1中 的 步 驟2可得

由式(36）可以推出

因?yàn)橄到y(tǒng)的通信拓?fù)湓趖σ(σ=1，2，…）時(shí)刻發(fā)生切換，由引理2可得

因?yàn)棣?t）是連續(xù)的，因此以下關(guān)系式成立：V(tσ）≤εV）+(1-ε）ξ(tσ） (39）

由式(37）可推出

結(jié)合式(37）和式(39）可得

進(jìn)而根據(jù)式(40）和式(41）可以推出

同理可以得到以下關(guān)系式：

因此可將式(42）進(jìn)一步化為

更進(jìn)一步運(yùn)用遞歸方法可得

式中：

現(xiàn)對(duì)V*(t）進(jìn)行分析，運(yùn)用分部積分法可得

接下來(lái)分2種情況討論：

3 數(shù)值仿真

仿真中模仿敵方導(dǎo)彈來(lái)襲場(chǎng)景，為更好地驗(yàn)證本文所提出的護(hù)航策略，想定如下：在拒止環(huán)境下，我方1架空中預(yù)警機(jī)通過(guò)預(yù)警雷達(dá)探測(cè)到3枚敵方來(lái)襲導(dǎo)彈的方位角，在進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)同步釋放6架小型無(wú)人機(jī)擔(dān)任“忠誠(chéng)僚機(jī)”，引導(dǎo)這些小型無(wú)人機(jī)處于敵方來(lái)襲導(dǎo)彈的視線軸上。為模擬拒止環(huán)境給通信帶來(lái)的不利影響，我方預(yù)警機(jī)與小型無(wú)人機(jī)采用分布式通信方式，每種通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)只能維持極短的時(shí)間，時(shí)變拓?fù)涞那袚Q過(guò)程如圖2所示，每次切換后的通信拓?fù)湓贕1、G2、G3中隨機(jī)選取。為簡(jiǎn)化仿真計(jì)算，仿真僅考慮XOY橫側(cè)向平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并采用文獻(xiàn)［15］中的模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，即經(jīng)過(guò)近似線性化處理后，模型的系統(tǒng)矩陣為

圖2 拒止環(huán)境下的通信拓?fù)潢P(guān)系Fig.2 Communication topologies in denial environment

圖3 分布式觀測(cè)器的估計(jì)誤差Fig.3 Estimate error of distributed observer

圖4 無(wú)人機(jī)自適應(yīng)增益曲線Fig.4 Curves of adaptive gains for UAVs

圖5 整個(gè)護(hù)航過(guò)程圖例Fig.5 Legend of whole escort process

圖6 護(hù)航誤差曲線Fig.6 Curves of escort error

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于“忠誠(chéng)僚機(jī)”的護(hù)航策略，該策略主要采用分布式時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制的相關(guān)方法，設(shè)計(jì)控制協(xié)議時(shí)結(jié)合了觀測(cè)器理論、自適應(yīng)控制理論、滑模控制理論等，通過(guò)理論推導(dǎo)和仿真計(jì)算驗(yàn)證了該策略能夠?qū)崿F(xiàn)拒止環(huán)境下長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)系統(tǒng)通信受到干擾時(shí)僚機(jī)對(duì)長(zhǎng)機(jī)的護(hù)航作用，具有良好的工程應(yīng)用意義。