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        不同慣性系下系統(tǒng)機(jī)械能守恒相對(duì)性問(wèn)題的再探討

        2021-06-07 09:06:44學(xué)
        物理教師 2021年5期
        關(guān)鍵詞:電梯

        徐 學(xué) 尹 華

        (江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校,江蘇 蘇州 215021)

        1 問(wèn)題提出

        涉及機(jī)械能守恒與機(jī)械能守恒定律的相對(duì)性問(wèn)題一直是大家熱議的話題.《大學(xué)物理》雜志多次刊登文章進(jìn)行討論,《物理教師》與《物理通報(bào)》雜志也多次刊登文章進(jìn)行討論.比如文獻(xiàn)[1]中的例1論證了以相對(duì)于地面做勻速運(yùn)動(dòng)的小車(chē)為參考系滑塊機(jī)械能守恒,以地面為參考系滑塊的機(jī)械能不守恒,而文獻(xiàn)[2]中的對(duì)有相同本質(zhì)的實(shí)例的分析中證明了以地面為參考系和以相對(duì)于地面做勻速運(yùn)動(dòng)的小車(chē)參考系機(jī)械能都守恒.顯而易見(jiàn),對(duì)于同本質(zhì)的實(shí)例,不可能兩個(gè)結(jié)論都是成立的.這其中是什么原因呢?如果真如文獻(xiàn)[1]所說(shuō)機(jī)械能守恒對(duì)于不同的慣性參考系具有相對(duì)性.而伽利略原理指出對(duì)于物理學(xué)規(guī)律來(lái)說(shuō):一切慣性系都是等價(jià)的.機(jī)械能守恒的相對(duì)性是否與伽利略相對(duì)性原理相違背呢?

        下面筆者先從理論上推導(dǎo)具有普遍意義的功能原理及機(jī)械能守恒條件的表達(dá)式以及在參考系轉(zhuǎn)換后功能原理及機(jī)械能守恒條件表達(dá)式.再通過(guò)實(shí)例討論不同慣性參考系機(jī)械能守恒是否具有相對(duì)性,然后指出文獻(xiàn)[1],[2]論證過(guò)程中值得探討的地方,最后給出較為完善的結(jié)論.

        2 理論討論

        機(jī)械能守恒是指在某一過(guò)程中系統(tǒng)在勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng))中運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,其機(jī)械能保持不變.機(jī)械能守恒是有條件的,文獻(xiàn)[3]中指出

        (1)S系中力場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)的系統(tǒng)的功能定理.

        對(duì)任一慣性系中各質(zhì)點(diǎn)的位置和速度分別為ri和i(i=1,…,n)的n質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),如果除受到與時(shí)間t有關(guān)的勢(shì)函數(shù)分別為Epin和Epout的有勢(shì)內(nèi)力fini和有勢(shì)外力fouti的作用外,還受到其他力fothi(i=1,…,n)的作用,則系統(tǒng)的機(jī)械能E的變化率為

        當(dāng)慣性系不是慣性參考系時(shí),只需要引入慣性力,然后將慣性力視為其它非保守力,上式還是適用.

        (2)力場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律.

        式(1)也可以化為

        (3)S′系中力場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)的系統(tǒng)的功能定理.

        現(xiàn)在將(4)式進(jìn)行伽利略變換,

        對(duì)于S′系,真實(shí)的力在伽利略變換下是不變量,相互作用內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的,且一對(duì)相互作用內(nèi)力的功之和與參考系變換無(wú)關(guān).[4]也就是只要是內(nèi)力,無(wú)論是保守力還是非保守力所做功的值在不同的慣性參考系觀察是一樣的,則

        由文獻(xiàn)[3]中定義1可知,在外力場(chǎng)概念下質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能就是內(nèi)力場(chǎng)概念下質(zhì)點(diǎn)與地球之間相互作用勢(shì)能.換句話說(shuō)如果我們選的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn),重力場(chǎng)就是外力場(chǎng),但我們可把它轉(zhuǎn)換為質(zhì)點(diǎn)與地球?yàn)橄到y(tǒng),兩種情況下重力勢(shì)能是相同的.結(jié)合內(nèi)力做功與參考系無(wú)關(guān),則可得到,

        (13)式是條件部分,(14)式是結(jié)論部分.文獻(xiàn)[5](第73頁(yè))所說(shuō)對(duì)于物理學(xué)規(guī)律來(lái)說(shuō),一切慣性系都是等價(jià)的.也就是說(shuō)不存在特殊的優(yōu)先的慣性系,物理規(guī)律在各個(gè)慣性系中都有相同的形式.由上面的論證,功能原理表達(dá)式在S系與S′中都相同.機(jī)械能守恒定律作為功能原理的特例,無(wú)論在S系或在S′系,只要滿足條件式(2)和式(13),定有結(jié)論(3)或(14)成立.

        結(jié)論2:機(jī)械能守恒定律對(duì)所有的慣性系都適用,它滿足伽利略變換不變性,服從力學(xué)相對(duì)性原理.

        也就是系統(tǒng)在S系中滿足機(jī)械能守恒,換了另一個(gè)相對(duì)S系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的S′系就不一定滿足機(jī)械能守恒的條件,從而機(jī)械能就不守恒.文獻(xiàn)[4]第74頁(yè)表明:“一切慣性系都等價(jià)”并不是指人們?cè)诓煌瑧T性參考系中所看到現(xiàn)象都一樣,而是指不同慣性參考系中動(dòng)力學(xué)規(guī)律都一樣.如勻速行駛的大船上自由下落的水滴,在船上和地面上的人所看到的現(xiàn)象是不同的.但是水滴的運(yùn)動(dòng)都遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律.因此相對(duì)性原理雖然保證機(jī)械能守恒定律對(duì)于所有的慣性系都成立,但是它不能保證機(jī)械能守恒的事實(shí)對(duì)于所有慣性參考系都成立.[3]

        例1.如圖1所示,質(zhì)量分別為m的小球相對(duì)地面做自由下落,一電梯相對(duì)于地面以恒速v0下降.地球的質(zhì)量為Me,研究地面參考系與電梯參考系中物體與地球?yàn)橄到y(tǒng)機(jī)械能是否守恒?

        圖1

        方法1:從機(jī)械能的定義角度來(lái)討論.

        以地面為參考系:小球從A運(yùn)動(dòng)到B,顯然機(jī)械能守恒

        E2-E1=-0·(m2-m1)顯然以電梯為參考系,物體與地球這個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒.如何來(lái)解釋上述的結(jié)果呢?

        方法2:從機(jī)械能守恒條件來(lái)討論.

        對(duì)于以小球與地球?yàn)橄到y(tǒng),小球與地球之間的相互作用力是內(nèi)力,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知,質(zhì)心的加速度為0.

        因此以質(zhì)心為參考系可以看作為慣性系.如果以地面為參考系還是慣性系嗎?

        如圖2,圖中mg是地球?qū)π∏虻奈Γ?mg是小球?qū)Φ厍虻奈?,這兩個(gè)力是“小球與地球”這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)力,地球由于受到小球吸引力-mg的作用,相對(duì)于質(zhì)心參考系(慣性系)的平動(dòng)加速度為

        圖2

        電梯相對(duì)于地面做勻速運(yùn)動(dòng),因此這也是電梯相對(duì)于質(zhì)心參考系的平動(dòng)加速度.

        由上可知地面和電梯參考系都不是慣性系,當(dāng)把地面與電梯作為慣性系研究時(shí),要引入慣性力作為系統(tǒng)的外力.

        由此可見(jiàn)以電梯為參考系,系統(tǒng)的機(jī)械能將不再守恒,機(jī)械能的增量就是地球受的慣性力所做的功.本實(shí)例說(shuō)明不同慣性系的機(jī)械能守恒是相對(duì)的.

        3 有關(guān)文獻(xiàn)的說(shuō)法的探討

        (1)文獻(xiàn)[1]中例3的探討.

        圖3

        由文獻(xiàn)[3]中所述:在外力場(chǎng)(以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象)概念下質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能就是內(nèi)力場(chǎng)(以質(zhì)點(diǎn)與地球?yàn)橄到y(tǒng))概念下質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用勢(shì)能.及約定質(zhì)點(diǎn)與地面距離為0時(shí)質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用勢(shì)能即重力勢(shì)能為0.

        在以電梯為參考系B中重力勢(shì)能為

        把式(16)代入式(17)

        再由小球所受的外力的慣性力的功可以忽略不計(jì).則由式(1)可知

        由上式可知,小球以電梯為參考系是機(jī)械能不守恒的.機(jī)械能不守恒的根源在于外力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)顯含時(shí)間,勢(shì)函數(shù)顯含時(shí)間的關(guān)鍵是重力場(chǎng)源地球是相對(duì)于電梯運(yùn)動(dòng)的.文獻(xiàn)[1]中得出質(zhì)點(diǎn)在電梯參考系中機(jī)械能守恒原因是沒(méi)有考慮由于重力場(chǎng)源的運(yùn)動(dòng)引起機(jī)械能的變化,作者采用的方法是在地面參考系時(shí)以地面為重力勢(shì)能的零點(diǎn),而在電梯參考系中又以電梯的底部為重力勢(shì)能的零點(diǎn),在同一問(wèn)題中,特別是討論轉(zhuǎn)換參考系的問(wèn)題時(shí),改變重力勢(shì)能零點(diǎn)選取是不合適的.由于在轉(zhuǎn)換參考系時(shí)小球與地球的相對(duì)位置是不會(huì)因?yàn)閰⒖枷档淖儞Q而變化的,所以對(duì)于重力勢(shì)能的約定比較合適的是:質(zhì)點(diǎn)與地面距離為0時(shí)質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用勢(shì)能(重力勢(shì)能)為0.當(dāng)然如不考慮參考系的轉(zhuǎn)換時(shí),為了研究方便可以選升降機(jī)地板為參考平面,則小球的機(jī)械能確實(shí)守恒.

        (2)文獻(xiàn)[2]中機(jī)械能守恒論證的探討.

        文獻(xiàn)[2]中實(shí)例:如圖4所示,水平地面上固定一個(gè)高為h、傾角為θ的光滑斜面.有一質(zhì)量為m的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),從斜面頂端由靜止沿斜面自由下滑,同時(shí)有一小車(chē)相對(duì)于地面以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng).試討論地面參考系和小車(chē)參考系中,滑塊機(jī)械能是否守恒.

        圖4

        圖5

        (3)文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]中結(jié)論不一致的解釋.

        讀者可能感到疑惑的是,文獻(xiàn)[1]中的例1中證明過(guò)程是正確的,得出以小車(chē)為參考系滑塊機(jī)械能是守恒的,而以地面為參考系機(jī)械能是不守恒的.而文獻(xiàn)[2]中實(shí)例中證明出在兩個(gè)參考系中機(jī)械能都是守恒的,如何來(lái)解釋呢?

        文獻(xiàn)[1]中例1如下.如圖6所示,固定在車(chē)廂內(nèi)的光滑斜面,傾角為θ,車(chē)廂以速度v0勻速前進(jìn),斜面上質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端自由滑下,試分析:以地面為參考系,滑塊在下滑過(guò)程中機(jī)械能是否守恒?

        圖6

        上式的值就是文獻(xiàn)[1]中推導(dǎo)出機(jī)械能的增量.

        圖7

        文獻(xiàn)[2]中選取的系統(tǒng)是地球和滑塊和斜面三者為系統(tǒng),因此斜面產(chǎn)生支持力與滑塊對(duì)斜面的壓力變?yōu)橐粚?duì)內(nèi)力,這對(duì)內(nèi)力做功的代數(shù)和為0,不影響系統(tǒng)的機(jī)械能.所以以小車(chē)為參考系與以地面參考系機(jī)械能都守恒.但只要小車(chē)有豎直方向的分速度,則以小車(chē)為參考系機(jī)械能不守恒.

        4 不同慣性參考系機(jī)械能守恒問(wèn)題的綜述

        同一實(shí)例,討論機(jī)械能在不同的參考系中是否都守恒的問(wèn)題時(shí)需考慮4個(gè)關(guān)鍵詞:① “系統(tǒng)”,選哪些物體為系統(tǒng),這樣能確定外力與內(nèi)力.② “過(guò)程”,研究的是哪個(gè)時(shí)間段.③ “參考系”,如果是非慣性系,在受力分析時(shí)要注意加上慣性力(和內(nèi)力相比不可忽略)作為非保守外力處理.④ “重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取”,考慮參考系的轉(zhuǎn)換,應(yīng)當(dāng)選取質(zhì)點(diǎn)與地面距離為0時(shí)質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用勢(shì)能即重力勢(shì)能為0.只有這4者都確定了才能討論機(jī)械能守恒問(wèn)題.否則就失去了討論的基礎(chǔ).

        伽利略相對(duì)性原理中指的一切慣性系都是等效的是指物理規(guī)律在不同的參考系中是相同的,但并不表示不同慣性參考系中所見(jiàn)的現(xiàn)象是一樣的,所以相對(duì)性原理能保證在不同參考系中機(jī)械能守恒定律都成立,但不能保證不同慣性參考系中同一事件機(jī)械能都守恒.因此機(jī)械能守恒的相對(duì)性并不違背相對(duì)性原理.

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