黃賢峰

(湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 恩施 445000)

多屬性決策(Multi-attribute decision making，MADM)問(wèn)題是指在考慮多個(gè)屬性的情況下，選擇最優(yōu)方案和對(duì)方案進(jìn)行排序的決策問(wèn)題，是現(xiàn)代決策科學(xué)的重要組成部分.

隨著MADM的發(fā)展，一系列的決策方法相繼提出，如TOPSIS方法[1]、VIKOR方法[2]、WAA方法[3]、ELECTRE方法[4]和TODIM方法[5]等.其中，TOPSIS方法是一種逼近正理想解的決策方法，借助多屬性決策問(wèn)題中的正理想解(positive ideal solution，PIS)和負(fù)理想解(negative ideal solution，NIS)實(shí)現(xiàn)排序，但這種方法僅僅考慮到每個(gè)備選方案與PIS間的關(guān)系，存在一定的局限性；VIKOR方法注意到TOPSIS方法的這種不足.因此，VIKOR方法的優(yōu)勢(shì)在于同時(shí)考慮了每個(gè)備選方案與PIS和NIS之間的距離.此外，這些經(jīng)典的決策方法被進(jìn)一步推廣到不同的決策背景，從而建立了基于不同決策背景的多屬性決策模型.如基于模糊集的多屬性決策模型[6]、基于猶豫模糊集的多屬性決策模型[7]、基于直覺(jué)模糊集的多屬性決策模型[8]和基于語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的多屬性決策模型[9]等.同時(shí)，多屬性決策理論廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如供應(yīng)鏈選擇[10]和人才選拔[11]等.然而，這些經(jīng)典的決策方法或多或少存在著一些不足，因此，本文將進(jìn)一步結(jié)合優(yōu)勢(shì)關(guān)系的相關(guān)理論對(duì)TOPSIS方法進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)和完善.

在經(jīng)典粗糙集理論中往往借助等價(jià)關(guān)系(或不可區(qū)分關(guān)系)對(duì)各個(gè)備選方案進(jìn)行研究.然而，在實(shí)際應(yīng)用中這種關(guān)系往往過(guò)于嚴(yán)格且不具有容錯(cuò)性，不能有效地解決問(wèn)題.因此，Greco等[12]提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集理論，其主要利用優(yōu)勢(shì)關(guān)系代替條件屬性集或決策屬性集上的等價(jià)關(guān)系，但依然保持經(jīng)典粗糙集的主要性質(zhì).在優(yōu)勢(shì)關(guān)系的發(fā)展過(guò)程中，也衍生出許多研究成果，如Huang Q Q等[13]構(gòu)造一種基于復(fù)合優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型，Chakhar等[14]提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙聚合方法，Du W S和Hu B Q[15]建立了不完備序信息系統(tǒng)下基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型.這些研究成果推動(dòng)了優(yōu)勢(shì)關(guān)系在粗糙集領(lǐng)域的發(fā)展.因此，本文將基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系提出一種新的決策方法從全局的角度判斷出各方案的優(yōu)劣.

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)簡(jiǎn)要回顧了與多屬性決策背景相關(guān)的基本概念和表示；第2節(jié)提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的多屬性決策方法；第3節(jié)對(duì)所提出的決策方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所提方法的合理性和有效性；第4節(jié)總結(jié)全文并提出未來(lái)可以研究的方向.

1 預(yù)備知識(shí)

主要介紹模糊信息系統(tǒng)(或模糊知識(shí)表達(dá)系統(tǒng))和TOPSIS(technique for order preference by similarity to ideal solution)方法的一些基本概念和表示.

1.1 模糊信息系統(tǒng)

模糊信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)常以關(guān)系表的形式給出.其中，關(guān)系表的行對(duì)應(yīng)要研究?jī)?nèi)容的對(duì)象，列對(duì)應(yīng)要研究?jī)?nèi)容的屬性，對(duì)象的各屬性值表示各對(duì)象的信息.

1.2 TOPSIS法

TOPSIS法[1]是一種逼近PIS的排序方法，它借助多屬性問(wèn)題的PIS和NIS對(duì)方案集X中各方案排序.PISx+和NISx-都是方案集X中并不存在的虛擬的方案.其中，PISx+是方案集中虛擬的最佳方案；而NISx-是方案集中虛擬的最差方案.通過(guò)對(duì)方案集X中各方案和PIS及NIS的距離來(lái)進(jìn)行比較，即對(duì)于方案集中既靠近PIS又遠(yuǎn)離NIS的方案為最佳方案.

步驟1 求規(guī)范決策矩陣.設(shè)多屬性決策問(wèn)題的決策矩陣為Y=(yij)n×m，則規(guī)范化決策矩陣Z=(zij)n×m.其中,

(1)

步驟2 構(gòu)成加權(quán)規(guī)范化矩陣X=(xij)n×m.

xij=wj·zij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m.

(2)

(3)

步驟4 計(jì)算各方案到PISx+和NISx-的距離.

備選方案xi到PISx+的距離為:

(4)

備選方案xi到NISx-的距離為:

(5)

步驟5 計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)值ηi.

(6)

步驟6 根據(jù)各方案的綜合評(píng)價(jià)值ηi由大到小進(jìn)行排序.

1.3 熵權(quán)法

在1.2節(jié)主要討論TOPSIS方法的計(jì)算過(guò)程，然而沒(méi)有給出具體求權(quán)重的方法.為了確保屬性權(quán)重的合理性和準(zhǔn)確性，本文將采用熵權(quán)法[16]對(duì)屬性權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，具體計(jì)算如下：

(7)

其中，zij表示規(guī)范化決策矩陣Z=(zij)n×m的元素,n表示備選方案的個(gè)數(shù).通過(guò)該方法求出的權(quán)重相較于主觀權(quán)重更加合理，有效地減少了決策者自身偏好的影響.

2 基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的決策方法

隨著MADM問(wèn)題研究的不斷深入，一系列經(jīng)典的MADM方法相繼提出[1-5].然而，這些MADM方法仍然存在著諸多的缺陷，如考慮角度較局限，參數(shù)過(guò)多等.為了完善所存在的不足，本文將基于TOPSIS方法建立一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，進(jìn)而提出一種新的決策方法.

2.1 基于TOPSIS方法的優(yōu)勢(shì)關(guān)系

TOPSIS方法，只考慮到所評(píng)價(jià)方案與PIS的距離，而忽略了與NIS的距離.同時(shí)，考慮到優(yōu)勢(shì)關(guān)系相較于經(jīng)典粗糙集理論中的等價(jià)關(guān)系而言，比較寬松和具有容錯(cuò)性，因此，本文將結(jié)合TOPSIS方法建立一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系.

定義2 設(shè)X={x1,x2,…,xm}是一個(gè)有限非空備選方案集，Y={y1,y2,…,ym}是一個(gè)屬性集.對(duì)于兩個(gè)方案xi和xj，若xi的綜合評(píng)價(jià)值不低于xj的綜合評(píng)價(jià)值，則認(rèn)為方案xi優(yōu)于xj，記作xiR?xj；相反地，若xi的綜合評(píng)價(jià)值不高于xj的綜合評(píng)價(jià)值，則認(rèn)為方案xi劣于xj，記作xiRxj.即:

R?={(xi,xj)∈X×X|ηi≥ηj},

R={(xi,xj)∈X×X|ηi≤ηj}.

(8)

分別表示優(yōu)勢(shì)關(guān)系和劣勢(shì)關(guān)系.

定義3 根據(jù)定義2所定義的優(yōu)勢(shì)關(guān)系R?和劣勢(shì)關(guān)系R，可以進(jìn)一步定義xi∈X的優(yōu)勢(shì)集和劣勢(shì)集分別為:

[xi]R?={xj|xiR?xj∧xj∈X},

[xi]R={xj|xiRxj∧xj∈X}.

(9)

如果xj∈[xi]R?，即xiR?xj，說(shuō)明xi優(yōu)于xj.同樣地，如果xj∈[xi]R，即xiRxj，說(shuō)明xi劣于xj.

例1 一個(gè)投資公司打算選擇一些投資項(xiàng)目來(lái)利用其閑置的資金，有8個(gè)備選投資項(xiàng)目.其中，3個(gè)高科技項(xiàng)目(x1,x2,x3)，3個(gè)互聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目(x4,x5,x6)，2個(gè)文化教育項(xiàng)目(x7,x8).決策者將根據(jù)預(yù)期效益(y1)、環(huán)境影響(y2)、市場(chǎng)飽和(y3)、社會(huì)效益(y4)和節(jié)能(y5)這5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)備選投資項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)價(jià).顯然，預(yù)期效益、社會(huì)效益和節(jié)能是效益標(biāo)準(zhǔn).環(huán)境影響和市場(chǎng)飽和是本例中的成本標(biāo)準(zhǔn).各屬性評(píng)價(jià)值為0和1之間的數(shù).評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 評(píng)估矩陣Tab.1 Evaluation matrix

根據(jù)式(7)可知屬性權(quán)重向量為w={0.152 5 0.183 5 0.363 3 0.118 3 0.182 3}.同時(shí)，由式(4)和式(5)知方案xi(i=1,2,…,8)到PIS和NIS的距離如表2所示.

表2 方案xi(i=1,2,…,8)到PIS和NIS的距離Tab.2 Distance of alternative xi(i=1,2,…,8) to PIS and NIS

根據(jù)式(6)可知方案xi(i=1,2,…,8)的綜合評(píng)價(jià)值分別為0.746 8，0.505 5，0.303 5，0.739 4，0.406 7，0.181 1，0.140 5.同時(shí)，根據(jù)定義2和定義3，有：

[x1]R?={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x8},[x1]R={x1,x7},

[x2]R?={x2,x3,x5,x6,x8},[x2]R={x1,x2,x4,x7},

[x3]R?={x3,x6,x8},[x3]R={x1,x2,x3,x4,x5,x7},

[x4]R?={x2,x3,x4,x5,x6,x8},[x4]R={x1,x4,x7},

[x5]R?={x3,x5,x6,x8},[x5]R={x1,x2,x4,x5,x7},

[x6]R?={x6,x8},[x6]R={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},

[x7]R?={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8},[x7]R={x7},

[x8]R?={x8},[x8]R={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}.

2.2 相對(duì)優(yōu)于度

為了進(jìn)一步從全局角度對(duì)每個(gè)方案進(jìn)行研究，本文將在2.1節(jié)所定義優(yōu)勢(shì)集和劣勢(shì)集的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定義每個(gè)方案的相對(duì)優(yōu)于度.

定義4 設(shè)(X,Y)是一個(gè)模糊信息系統(tǒng)，[xi]R?和[xi]R分別表示方案xi∈X的優(yōu)勢(shì)集和劣勢(shì)集.則方案xi(i=1,2,…,n)的相對(duì)優(yōu)于度(relative superior degree,RSD)為：

(10)

其中，|*|表示集合*的基數(shù).且RSD(xi)表示方案xi∈X優(yōu)于其他方案的相對(duì)程度.因此，RSD(xi)越大，說(shuō)明方案xi越優(yōu).

例2(例1續(xù)) 根據(jù)例1，得出每個(gè)方案的優(yōu)勢(shì)集和劣勢(shì)集，進(jìn)而可以借助定義4計(jì)算出每個(gè)方案的相對(duì)優(yōu)于度.計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3 方案xi(i=1,2,…,8)的相對(duì)優(yōu)于度Tab.3 Relative superiority of scheme xi(i=1,2,…,8)

根據(jù)表3，有8.00 0>3.500 0>2.000 0>1.250 0>0.800 0>0.500 0>0.285 7>0.125 0，則：

x7>x1>x4>x2>x5>x3>x6>x8.

因此，按照相對(duì)優(yōu)于度大小得出的最優(yōu)方案為x7.

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了說(shuō)明所提出方法的合理性和有效性，本文將進(jìn)一步將所提方法和經(jīng)典的決策方法進(jìn)行比較分析，如TOPSIS方法，VIKOR方法和WAA方法等.同時(shí)，為了進(jìn)一步說(shuō)明所提出方法的有效性，本文將選取UCI數(shù)據(jù)庫(kù)(http://archive.ics.uci.edu/ml/)中的兩個(gè)數(shù)據(jù)集(Algerian Forest Fires和Lymphography)進(jìn)行數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn).

3.1 比較分析

MADM作為一門(mén)成熟的領(lǐng)域，目前提出了一系列合理且有效的決策方法.因此，為了說(shuō)明所提方法的合理性，本文將所提方法和3種經(jīng)典決策方法(TOPSIS方法[1]、VIKOR方法[2]和WAA方法[3])進(jìn)行比較.得到的排序結(jié)果如表4所示.根據(jù)表4，可以看出本文所提出的方法和經(jīng)典決策方法的排序結(jié)果類(lèi)似，但本文所提出的方法相較于經(jīng)典決策方法考慮得更具有全局性，不單單考慮每個(gè)備選方案自身的因素.因此，本文所提出的方法存在著一定的合理性，可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)所有方案的排序.

表4 不同方法的排序結(jié)果Tab.4 Ranking results of different methods

3.2 數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步說(shuō)明所提方法的有效性和優(yōu)越性，本文將借助UCI數(shù)據(jù)庫(kù)(http://archive.ics.uci.edu/ml/)中的兩個(gè)數(shù)據(jù)集(Algerian Forest Fires和Lymphography)進(jìn)行數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn).對(duì)于Algerian Forest Fires而言，根據(jù)實(shí)驗(yàn)需要僅保留4個(gè)屬性：正午溫度 (效益型屬性),相對(duì)濕度 (成本型屬性),風(fēng)速(成本型屬性) 和降水量(成本型屬性).同時(shí)，對(duì)于Lymphography數(shù)據(jù)集而言，保留屬性lymphatics,lym.nodes dimin ,lym.nodes enlar ,changes in lym,defect in node,changes in node and special forms，且均為成本型屬性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和最優(yōu)方案如圖1和表5所示.

圖1 數(shù)據(jù)集Algerian Forest Fires和Lymphography對(duì)比結(jié)果Fig.1 Comparison results of data sets Algerian Forest Fires and Lymphography

表5 不同數(shù)據(jù)集在不同決策方法下的最優(yōu)方案Tab.5 Optimal solutions for different data sets under different decision methods

從圖1可以看出，本文所提方法所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果和經(jīng)典的決策方法非常相似.同時(shí)，借助表5可知最優(yōu)方案完全一致，充分說(shuō)明本文所提方法的有效性和合理性.此外，相較于經(jīng)典決策方法只單純從每個(gè)方案自身出發(fā)，考慮自身的優(yōu)越性，而未考慮到各方案與其他方案之間的聯(lián)系.因此，基于兩個(gè)數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)可以看出本文所提決策方法的有效性和優(yōu)越性.

4 結(jié)論

基于TOPSIS方法，提出了一種新的多屬性決策方法.通過(guò)考慮各方案與其他方案之間的關(guān)系，從全局的角度對(duì)每個(gè)備選方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).通過(guò)案例分析和實(shí)驗(yàn)分析對(duì)所提方法的合理性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證.同時(shí)，本文的主要貢獻(xiàn)如下：

1) 基于TOPSIS方法，本文定義了一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系和劣勢(shì)關(guān)系，可以有效地避免不可區(qū)分關(guān)系過(guò)于嚴(yán)厲和不具有容錯(cuò)性的缺陷.

2) 通過(guò)借助優(yōu)勢(shì)關(guān)系和劣勢(shì)關(guān)系從全局角度對(duì)每個(gè)備選方案進(jìn)行研究，可以有效考慮到各方案與其他方案之間的關(guān)系，更高效的實(shí)現(xiàn)決策.

此外，考慮到MADM的發(fā)展，在未來(lái)的研究中，可以進(jìn)一步將本文所提出的方法結(jié)合不同的信息系統(tǒng)下展開(kāi)研究，如直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)[17]和不完備信息系統(tǒng)等.同時(shí)，可以結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)[18]、主動(dòng)學(xué)習(xí)[19]及概念分析[20]等領(lǐng)域展開(kāi)研究.