溫旭琴，靳 龍，山石姣，王亞斌， 于立紅，馬吉明*

(1.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，鄭州 450002; 2.河南省民族中等專業(yè)學(xué)校 電子技術(shù)系，鄭州 450008)

微型磁納米軟體機(jī)器人的尺寸足夠小且表面具有疏水性和生物相容性[1]，可以無創(chuàng)地進(jìn)入血液組織和人體器官這些特殊的密閉環(huán)境中[2]，可應(yīng)用于靶向藥物傳輸和微創(chuàng)手術(shù)，具有潛在的醫(yī)療應(yīng)用前景[3-4].因?yàn)榇艌?chǎng)可以穿透大多數(shù)材料并可以直接將力和力矩施加在磁性材料上，并且不會(huì)對(duì)人體組織造成損傷[5]，所以在流體環(huán)境中利用外磁場(chǎng)對(duì)微型機(jī)器人進(jìn)行無纜驅(qū)動(dòng)和控制已成為一種發(fā)展趨勢(shì)[6].

Eric Diller等[7]設(shè)計(jì)了由5個(gè)獨(dú)立線圈組成的一種基于黏滑運(yùn)動(dòng)的微型機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人做向前的黏滑運(yùn)動(dòng).另外，還有基于平面旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)來驅(qū)動(dòng)微型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，Donghak Byun等[8]設(shè)計(jì)了兩組方形亥姆霍茲線圈組成的磁場(chǎng)發(fā)生裝置，Sukho Park研究小組[9]利用兩組圓形亥姆霍茲線圈設(shè)計(jì)了可以生成旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的電磁驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).為了使各類微型機(jī)器人能有更多自由度的運(yùn)動(dòng)，國(guó)內(nèi)外的研究人員對(duì)磁驅(qū)動(dòng)控制研究也從一維二維驅(qū)動(dòng)逐漸深入到更加實(shí)用的三維磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)[10].大連理工大學(xué)的李輝、張永順[11]提出了一種由3組正交的方形亥姆霍茲線圈嵌套產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的磁驅(qū)動(dòng)裝置，該裝置通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)器人可以任意調(diào)整其姿態(tài)并且在復(fù)雜彎曲的環(huán)境內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)彎驅(qū)動(dòng)，但對(duì)于磁場(chǎng)方位控制的靈活性較差.

為了實(shí)現(xiàn)微型磁納米軟體機(jī)器人在外磁場(chǎng)作用下的靈活驅(qū)動(dòng)控制，在運(yùn)動(dòng)空間產(chǎn)生均勻的磁場(chǎng)是微型磁納米軟體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的關(guān)鍵.本文通過坐標(biāo)變換和磁場(chǎng)矢量疊加原理建立3組圓形亥姆霍茲線圈空間內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)模型，并且通過正交變換原理，以旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)法向量與各軸的夾角為控制變量，推出旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的疊加公式.通過多物理場(chǎng)仿真軟件COMSOL進(jìn)行磁場(chǎng)模型的仿真實(shí)驗(yàn)，首先對(duì)由3組正交的亥姆霍茲線圈組成的外磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)裝置空間內(nèi)磁場(chǎng)的均勻性進(jìn)行了分析，然后對(duì)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的方向和均勻區(qū)間范圍進(jìn)行了仿真研究，通過分析為驅(qū)動(dòng)微型磁納米軟體機(jī)器人奠定了理論基礎(chǔ).

1 3組正交的亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)建模

1.1 單組亥姆霍茲線圈模型

亥姆霍茲線圈是由一對(duì)彼此平行共軸圓形線圈組成的，兩個(gè)線圈匝數(shù)相等，線圈內(nèi)的電流大小相同，方向一致，且兩線圈的間距正好等于圓形線圈的半徑[12].如圖1所示.

圖1 y軸亥姆霍茲線圈示意圖Fig.1 The forms of large-scale network survivability associations

由畢奧-薩伐爾定律[13]可知，亥姆霍茲線圈空間內(nèi)的任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(P)為：

(1)

其中，μ0是真空磁導(dǎo)率，值為4π×10-7N/A2，R為線圈半徑，N為線圈匝數(shù)，I為輸入線圈電流，r為點(diǎn)P點(diǎn)到中心點(diǎn)O處的距離，P的坐標(biāo)為(x,y,z).特別地，當(dāng)x=0,z=0時(shí)，r=y，代入公式(1)可以得到y(tǒng)軸上任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式:

(2)

由式(2)可得，在y=0處磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，在y=0處對(duì)By進(jìn)行泰勒展開，可以得到：

(3)

如果式(3)在y=0處的各階倒數(shù)均為0，那么說明零點(diǎn)附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(y)→B(0)，可以證明在零點(diǎn)附近存在均勻磁場(chǎng)[14].因?yàn)锽y為偶函數(shù)，奇次項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)為0，則對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的二階導(dǎo)數(shù)：

(4)

By=B0+ο(y4).

(5)

其中o(y4)代表y的4次方乃至更高冪次的小量，可以證明By在y=0的附近區(qū)域內(nèi)是均勻的，可以表示為：

(6)

1.2 3組正交的亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)模型

將3組亥姆霍茲線圈兩兩正交放置，根據(jù)磁場(chǎng)矢量疊加原理可以得到磁場(chǎng)坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量表達(dá)式：

(7)

磁場(chǎng)的模值為：

(8)

1.3 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)模型

當(dāng)不同線圈組施加一定相位差的交變電流，空間磁場(chǎng)矢量疊加可以產(chǎn)生方向和大小均可調(diào)的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)B(t)定義為磁場(chǎng)方向繞單位向量n旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)，如圖2所示.旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)[15]:

圖2 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)Fig.2 Rotating magnetic field

B(t)=B[cos(2πft)u+sin(2πft)v],

(9)

u是位于旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)B的平面上和向量n正交的基向量，ν表示的是旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)平面上垂直于n和u的基向量.本文設(shè)單位向量n的坐標(biāo)為(cosα,cosβ,cosγ),其中α、β、γ分別為單位向量n與x軸、y軸、z軸的夾角.向量u和向量n正交，所以向量u的坐標(biāo)可以設(shè)為(cosβ,-cosα,0).向量v和向量n、向量u兩兩正交，可以用向量n和向量u的外積來定義向量v，坐標(biāo)為(cosαcosγ,-cosβcosγ,-cos2α-cos2β).

旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)B表示為:

(10)

其中f為旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)頻率，t為時(shí)間，B0為圓心處旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的模.

2 3組正交的亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)有限元仿真

2.1 3組正交的亥姆霍茲線圈模型的構(gòu)建

采用多物理場(chǎng)分析軟件COMSOL仿真軟件對(duì)3組正交的亥姆霍茲線圈進(jìn)行有限元幾何模型的構(gòu)建，通過求解偏微分方程組來實(shí)現(xiàn)對(duì)單物理場(chǎng)或多物理場(chǎng)的物理現(xiàn)象的仿真，COMSOL多物理場(chǎng)有限元仿真具有豐富的后處理交互界面，便于對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析[16].首先，新建一個(gè)三維模型，在物理場(chǎng)中選AC/DC中的磁場(chǎng)(mf)，然后添加靜態(tài)研究.由公式(6)可知，當(dāng)每組亥姆霍茲的線圈匝數(shù)和線圈半徑的比值相等且3組線圈通入大小相等、方向相同的電流時(shí)，可以使亥姆霍茲線圈在坐標(biāo)原點(diǎn)處產(chǎn)生大小相等的磁感應(yīng)強(qiáng)度，線圈參數(shù)如表1所示.最后根據(jù)表1中理想的線圈半徑和線圈匝數(shù)建立3組正交的亥姆霍茲線圈的幾何模型，仿真模型如圖3所示.

圖3 3組正交的亥姆霍茲線圈仿真模型Fig.3 Three groups of orthogonal Helmholtz coil simulation models

表1 3組正交的亥姆霍茲線圈參數(shù)Tab.1 Parameters of three sets of orthogonal Helmholtz coils

2.2 每組亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)的均勻性分析

在模型構(gòu)建完成后，分別對(duì)每組亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)進(jìn)行有限元仿真研究，仿真結(jié)果如圖4、5、6所示.

圖4代表了x軸亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布情況：(a)圖是xoy平面上的磁通密度圖，可以看出坐標(biāo)原點(diǎn)處的一定區(qū)域內(nèi)體箭頭疏密間隔相同且方向一致；(b)圖是在z軸上磁場(chǎng)的磁通密度模的變化情況，表明坐標(biāo)原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁通密度模相等.上述仿真結(jié)果證明了原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)存在均勻磁場(chǎng).分別對(duì)y軸和z軸的亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布情況進(jìn)行分析，得到了相同的結(jié)論.

(a) 0 s時(shí)的各軸相對(duì)偏差 (b) 0.25 s時(shí)的各軸相對(duì)偏差圖8 0 s和0.25 s時(shí)x軸、y軸、z軸軸線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與坐標(biāo)原點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對(duì)偏差Fig.8 Relative deviation of the magnetic induction intensity of each point on X axis,Y axis and Z axis from the origin of coordinates at 0 s and 0.25 s

(a) t=0 s (b) t=0.25 s

(a) x軸亥姆霍茲線圈在x-z平面的磁通密度模 (b) x軸亥姆霍茲線圈在z軸上的磁通密度模大小變化圖4 x軸亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果分析Fig.4 Analysis of magnetic field simulation results of x-axis Helmholtz coil

(a) y軸亥姆霍茲線圈在y-z平面的磁通密度模 (b) y軸亥姆霍茲線圈在x軸上的磁通密度模大小變化圖5 y軸亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果分析Fig.5 Analysis of magnetic field simulation results of y-axis Helmholtz coil

(a) z軸亥姆霍茲線圈在z-x平面的磁通密度模 (b) z軸亥姆霍茲線圈在y軸上的磁通密度模大小變化圖6 z軸亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果分析Fig.6 Analysis of magnetic field simulation results of z-axis Helmholtz coil

2.3 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)仿真分析

(11)

由式(6)可知，亥姆霍茲線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度和通入線圈的電流成正比，且磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流的關(guān)系為:

(12)

式(11)和(12)聯(lián)立，取B0=3 mT，f=1 Hz，得到通入線圈的電流表達(dá)式：

(13)

在COMSOL仿真軟件中，對(duì)3組線圈分別輸入式(13)的交變電流來進(jìn)行組合線圈磁場(chǎng)的有限元仿真研究.

(c) t=0.50 s (d) t=0.75 s 圖7 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)方向Fig.7 Rotation direction of rotating magnetic field

在坐標(biāo)原點(diǎn)附近定義了一些特殊的域點(diǎn)探針研究旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)均勻區(qū)域的范圍.以x軸為例，在x軸的正半軸上定義了5個(gè)域點(diǎn)探針，域點(diǎn)探針的坐標(biāo)分別為(0,0,0)、(0.05,0,0)、(0.1,0,0)、(0.15,0,0)、(0.2,0,0).當(dāng)t=0s時(shí)，x坐標(biāo)為0.1和0.15這兩個(gè)域點(diǎn)探針?biāo)鶎?duì)應(yīng)的磁通密度模變化較大，繼續(xù)在x軸坐標(biāo)上0.1到0.2的區(qū)間內(nèi)以步長(zhǎng)0.01定義域點(diǎn)探針來進(jìn)一步確定磁場(chǎng)的均勻區(qū)域的范圍.旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的磁通密度模在不同時(shí)刻會(huì)隨著時(shí)間而產(chǎn)生變化，在對(duì)0、0.25、0.50、0.75 s這4個(gè)時(shí)間點(diǎn)磁場(chǎng)內(nèi)的各個(gè)域點(diǎn)探針磁通密度模進(jìn)行比較后，得到0 s和0.50 s、0.25 s和0.75 s時(shí)間點(diǎn)的各域點(diǎn)探針磁通密度模相等，各軸軸線上磁通密度模的值如表2所示.

表2 各軸軸線上的磁通密度模(mT)Tab.2 Magnetic flux density modulus (mT) on the axis of each shaft

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.2節(jié)中在證明了每對(duì)亥姆霍茲線圈分別在x-y、y-z、z-x平面的一定區(qū)域內(nèi)可以產(chǎn)生均勻磁場(chǎng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)環(huán)形線圈具有對(duì)稱性，說明在三維空間內(nèi)能夠產(chǎn)生均勻磁場(chǎng).

空間內(nèi)某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(x,y,z)與坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(0,0,0)的相對(duì)偏差e為：

(14)

偏差越小代表均勻度越高.

從圖8可以看出，0 s時(shí)，當(dāng)|x|<0.14,|y|<0.13,|z|<0.15時(shí)，相對(duì)偏差e≤1%；0.25 s時(shí)，當(dāng)|x|<0.2,|y|<0.2,|z|<0.16時(shí)，相對(duì)偏差e≤1%.對(duì)于旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)來說，均勻區(qū)范圍是不同時(shí)刻磁場(chǎng)均勻區(qū)共有的空間范圍，且3組正交的亥姆霍茲線圈的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的均勻區(qū)域由半徑最小的y軸亥姆霍茲線圈決定.從圖8可以看出，在任何時(shí)候，磁場(chǎng)在y<0.13區(qū)域均具有良好的均勻性，并且可以將組合線圈中心的24 cm×24 cm×24 cm的立方體區(qū)域視為均勻的磁場(chǎng).

3 結(jié)論

通過對(duì)3組正交的亥姆霍茲線圈組成的磁驅(qū)動(dòng)裝置建立數(shù)學(xué)模型和有限元仿真分析，可以證明組合線圈磁場(chǎng)可以產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)機(jī)器人所需要的均勻磁場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng).通過控制輸入3組線圈的電流大小、頻率、相位可以調(diào)節(jié)三維旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度、旋轉(zhuǎn)頻率和旋轉(zhuǎn)方向，因此可以按照微型磁納米軟體機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)需求調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，為接下來研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模式和運(yùn)動(dòng)軌跡提供了理論依據(jù).本文驗(yàn)證了3組正交的亥姆霍茲線圈可以產(chǎn)生均勻磁場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，并求出組合線圈磁場(chǎng)可以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的有效均勻區(qū)為磁場(chǎng)中心24 cm×24 cm×24 cm的正方體區(qū)域，但在實(shí)際應(yīng)用中，還得根據(jù)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)需求進(jìn)一步優(yōu)化組合線圈的尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù).