山東省平邑第一中學 唐共芳

一、不等式兩邊同一變數(shù)直接構(gòu)造法

需要證明的不等式兩邊是同一個變量，一般移項直接構(gòu)造為一個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)最值解決問題。

二、兩變數(shù)所在數(shù)學結(jié)構(gòu)相同，兩變數(shù)同時看作一個變量的構(gòu)造法

當不等式中兩變數(shù)所在不等式或經(jīng)過變形處理，使得兩變數(shù)所在數(shù)學結(jié)構(gòu)相同，并且兩變數(shù)有大小區(qū)分，可以把兩變數(shù)看作一個自變量x構(gòu)造出一個函數(shù)，兩變數(shù)相當于函數(shù)自變量的兩個瞬間值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。

例2：已知i，m，n是正整數(shù)，且1（1+n）m。

分析：高考標準答案中是運用二項式定理證明的，此題構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明更簡單。

三、把某一字母直接看作自變量的構(gòu)造法

當變數(shù)較多或不能變?yōu)閮勺償?shù)所在結(jié)構(gòu)相同時，可以直接把某一個變數(shù)或整體看作自變量x來構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性或最值證明不等式。

例3：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，證明：ab+bc+ca>-1。

分析：已知式子給了三個變量的數(shù)值范圍，而且都是關(guān)于a，b，c的對稱式，不能轉(zhuǎn)化為相當于兩個變量結(jié)構(gòu)相同的式子。不妨選取其中一個為主變量，相當于自變量x(一般不用換)，另兩個為參變量，從而轉(zhuǎn)化為在一個變量的范圍下求函數(shù)的范圍。

證明：設(shè)f（a）＝ab+bc+ca+1＝（b+c）a+bc+1 (－1

要證ab+bc+ca>-1，只要證明f（a）>0，

當-1

∴只需要證明f（-1）>0且f（1）>0，

而f（1）= b+c+bc+1＝(1+b)( 1+c)，

f (－1)＝－b－c+bc+1＝(1－b)( 1－c)，

∵|b|<1，|c|<1，∴1±b>0，1±c>0，∴f（-1）>0，且f（1）>0，

∴f（a）>0，即ab+bc+ca>-1。

四、觀察題干及其結(jié)論，聯(lián)想常用函數(shù)的構(gòu)造法

當要證明的不等式的結(jié)構(gòu)讓你聯(lián)想到某一函數(shù)的結(jié)論定理時，不妨直接構(gòu)造這樣的函數(shù)，由條件向結(jié)論靠攏。

例4：設(shè)a，b，c為實數(shù)且4a－4b+c>0，a+2b+c<0，證明：b2>ac。

分析：此題從正面通過綜合法、分析法不好論證，仔細觀察結(jié)論b2>ac的結(jié)構(gòu)，極易聯(lián)想一元二次方程根的判別式，構(gòu)造相應的一元二次函數(shù)f（x）=ax2+2bx+c。

證明：當a≠0時，設(shè)f（x）=ax2+2bx+c，

由4a－4b+c>0，a+2b+c<0得f (－2)>0，f（1）<0。

函數(shù)值有正有負，不論二次函數(shù)圖像是開口向上還是開口向下，都會與x軸有兩個交點，

故Δ＝b2－4ac>0，即b2>ac。

當a=0時，由已知條件可得4b

∴b<0，∴b2>0，而ac=0，∴b2>ac。

（此題也可以直接把a或c其中一個看作自變量x 來證明）

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式簡捷、明快、精巧、清晰，但構(gòu)造法并不是無章可循，只要勤于觀察、善于聯(lián)想、勇于探索、大膽設(shè)計，弄清條件的本質(zhì)特點，找準明確的方向，就能構(gòu)造所需函數(shù)，并且利用函數(shù)的性質(zhì)或定理成功證明不等式。