山東省曹縣第一初級中學(xué) 孫 靜

一、二次函數(shù)的基本內(nèi)容

1.表達(dá)式

（3）a決定二次函數(shù)圖像開口的方向和大小。當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下。a的絕對值越大，圖像開口越小，反之越大。

二、二次函數(shù)的常見問題

1.最值問題

定義域是閉區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)存在最大值和最小值，如果圖像頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，那么在頂點(diǎn)處與距頂點(diǎn)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處各取一個(gè)最值（最大值和最小值）；如果不在，那么在區(qū)間兩端點(diǎn)處各取一個(gè)最值。定義域是開區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)只有圖像頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，才在頂點(diǎn)處取得一個(gè)最值，否則最值不存在。

2.三角形問題

該問題主要有兩類，一是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)所組成的三角形；二是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)所組成的三角形。一般在解這樣的問題時(shí)，我們都會應(yīng)用到平面幾何的相關(guān)定理，比如等腰三角形三線合一、直角三角形的勾股定理、直角三角形斜邊中線定理和射影定理，然后再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及二次方程的求根公式、判別式定理、韋達(dá)定理等知識進(jìn)行求解。從數(shù)學(xué)思想的角度看，一旦需要借助于幾何數(shù)學(xué)來進(jìn)行求解，不可避免地會應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想，有時(shí)還需要應(yīng)用分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想。

關(guān)于二次函數(shù)的解題方法，套用最經(jīng)典的一句話就是：萬變不離其宗。通過分析上述例題我們發(fā)現(xiàn)，只要牢記并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的公式和性質(zhì)，很多問題都很容易解決，即便遇到二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的問題，借助幾何圖形的性質(zhì)和定理也很容易輕松化解，但對于這類題型，難點(diǎn)在于學(xué)生如何能夠?qū)⑺星闆r都考慮到，做到不漏解。