廣東省深圳市南山區(qū)蛇口育才教育集團(tuán)育才二中 甄微微

現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，要通過(guò)各種途徑，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)造的過(guò)程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，不斷提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。所以在教學(xué)中注重變式訓(xùn)練，可以促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，有助于學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)尋找類(lèi)似問(wèn)題的解決方法，從而培養(yǎng)學(xué)生自主分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。對(duì)于初中生而言，其數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)主要還是依靠課堂教學(xué)，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解、一題多變是數(shù)學(xué)老師在教學(xué)過(guò)程中常用的方法。

“將軍飲馬”問(wèn)題是中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關(guān)系、軸對(duì)稱(chēng)平移等。問(wèn)題背景可能為：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、拋物線等。知識(shí)比較綜合，也比較難掌握。

【問(wèn)題背景】

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱(chēng)為“將軍飲馬”。

【問(wèn)題描述】

如圖1，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營(yíng)B，問(wèn)：將軍怎么走能使得路程最短？

圖1

【問(wèn)題簡(jiǎn)化】

如圖1，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小。

【問(wèn)題分析】

這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于PA+PB是折線段，通過(guò)觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處需轉(zhuǎn)化問(wèn)題，將折線段變?yōu)橹本€段。

圖2

【問(wèn)題解決】

如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，當(dāng)A'、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA'+PB=A'B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）。

讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思路和方法，從“形”的角度找到取得最值時(shí)的點(diǎn)，進(jìn)而就可以從“數(shù)”的角度求值了。

例1：【兩定一動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)】如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，5）和（4，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 。

圖3

變式一：【一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)】如圖4，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長(zhǎng)最小。

變式二：【兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)】如圖5，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。

圖5

變式一和變式二分別是兩次作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”，讓學(xué)生在鞏固前面基本模型的同時(shí)，又提升了一點(diǎn)難度，符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，易產(chǎn)生成就感。

變式三：【一定兩動(dòng)之點(diǎn)線】如圖6，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小。

圖6

變式三通過(guò)作一次對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，模型有變化，提升學(xué)生的靈活運(yùn)用能力。

思考：“將軍飲馬”模型還可以怎樣變式呢？

從以下兩個(gè)方面入手：

（1）改變條件。

（2）改變結(jié)論。

小組內(nèi)同學(xué)在組長(zhǎng)的組織下完成，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，主動(dòng)探索、思考、總結(jié)，課上完成不了的課下完成。

每組派代表對(duì)上面所思考的問(wèn)題進(jìn)行分享，問(wèn)題背景可以為：平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及二次函數(shù)等綜合問(wèn)題。結(jié)論可以為：線段和最小，三角形、四邊形的周長(zhǎng)最小以及求點(diǎn)的坐標(biāo)等（如圖7）。

圖7

學(xué)生在分享的同時(shí)加深了對(duì)知識(shí)的理解和掌握，這也是知識(shí)不斷內(nèi)化的過(guò)程，同時(shí)能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和創(chuàng)新精神。

變式四：如圖8，已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)橋建在何處能使路程最短？

圖8

圖9

問(wèn)題分析：考慮MN長(zhǎng)度恒為定值，只要求AM+NB的最小值即可，問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，因此可以通過(guò)平移使AM與NB連在一起，即將AM向下平移，使得M與N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A'位置。顯然，A'、N、B三點(diǎn)共線時(shí)路程最短（如圖9），進(jìn)而可求。

例2：如圖10，已知直線l1//l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=4，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ= 。

圖10

讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)平移將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們前面已經(jīng)講過(guò)的類(lèi)型，這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一種方法。

思考：如圖11，在直線上找一點(diǎn)P使得|PA-PB|最大，這樣的點(diǎn)P是否一定存在？

圖11

【課后反思】

一、通過(guò)一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

學(xué)習(xí)了“將軍飲馬”的基本模型（兩定一動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)）后，讓學(xué)生嘗試通過(guò)改變題目的已知條件、結(jié)論的方法，體會(huì)“萬(wàn)變不離其宗”?？赏ㄟ^(guò)改變題目的已知條件，轉(zhuǎn)變?yōu)橐越恰⑷切?、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、拋物線等為背景的問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；也可以改變結(jié)論，變?yōu)槿切巍⑺倪呅蔚闹荛L(zhǎng)最小的問(wèn)題以及求點(diǎn)的坐標(biāo)等問(wèn)題。變式訓(xùn)練的目的不是解決一個(gè)問(wèn)題，而是解決一類(lèi)問(wèn)題，杜絕“題?！?。通過(guò)原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性的問(wèn)題，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，進(jìn)而觸類(lèi)旁通。

二、一題多解，通過(guò)變式培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力以及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

教學(xué)中要重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究，滿足學(xué)生求異心理的需求，發(fā)揮習(xí)題的變式功能，提倡解法的多樣性，讓學(xué)生能夠感受因創(chuàng)新所帶來(lái)的成功的喜悅。這里的一題多解包括一道題目有多個(gè)答案以及一道題目有多種解法。

例如：等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100度，那么它的頂角為_(kāi)。

變式：等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50度，那么它的頂角為_(kāi)。

類(lèi)似的變式訓(xùn)練，不僅有利于根治學(xué)生對(duì)多種情況題目的漏解問(wèn)題，也充分激勵(lì)了學(xué)生，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新探索精神，在提升學(xué)生發(fā)散思維能力的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、引入小組競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性

對(duì)于一題多變，在老師的引導(dǎo)下，充分鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)小組交流、討論的方式，在組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下對(duì)題目的條件、結(jié)論進(jìn)行變式，改變了單一的方式，同時(shí)也極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和創(chuàng)新精神。比如上面的“將軍飲馬”模型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，進(jìn)而總結(jié)出改變條件或結(jié)論的題型，增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí)。

四、通過(guò)課后練習(xí)及時(shí)反饋學(xué)生的知識(shí)掌握情況，并及時(shí)反思、改進(jìn)

可通過(guò)A、B卷練習(xí)的方法，及時(shí)反饋學(xué)生的掌握情況，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)講評(píng)。許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似不同，但它們的解題思路、方法是一樣的，這就要求老師在教學(xué)中重視對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求解決這類(lèi)問(wèn)題的通法，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中自主地感悟問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。

綜上所述，變式訓(xùn)練是一個(gè)很好的載體，通過(guò)改變題目的條件、結(jié)論或方法的途徑，加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能及思想方法的掌握，體會(huì)“萬(wàn)變不離其宗”，非常有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。在變式訓(xùn)練的過(guò)程中，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，學(xué)生的解題能力也有所提升。但過(guò)程中也存在諸多不足，比如偶爾有個(gè)別學(xué)生會(huì)主動(dòng)提出一些變式問(wèn)題，但絕大多數(shù)學(xué)生依然是在老師的帶領(lǐng)下被動(dòng)地進(jìn)行變式訓(xùn)練，再比如關(guān)于變式題目、例題、練習(xí)的選擇，怎樣能更加適合所教學(xué)生的實(shí)際，達(dá)到學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”等問(wèn)題，還需要在后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中不斷探索。