孟 進，張 靜

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

布朗運動是描述液體表面懸浮花粉的無序運動[1]，是時間和狀態(tài)都連續(xù)的隨機過程，也是目前性質最好的隨機過程之一，在生物、經濟、通信科學、物理等許多領域都有極其廣泛的應用。1971年Fukushima在著作中提出了正則狄氏型和馬氏過程的對應關系[2]，1991年馬志明在著作中提出擬正則狄氏型的框架，并建立擬正則狄氏型和馬氏過程的一一對應關系[3]。本研究在以上工作基礎上進一步討論布朗運動對應的狄氏型，首先證明布朗運動的生成元為二階偏導形式，然后將布朗運動對應的狄氏型作為基本型，考慮變換后的二次型的擬正則性。本研究的變換分為兩類：第一類變換是保持參考測度，對基本型做變換；第二類變換是保持基本型不變，改變參考測度。最終本研究得到，如果ρ滿足假設1，那么由變換一和變換二得到的二次型是擬正則狄氏型（詳見定理2和定理3）。

1 布朗運動的生成元

設X=(Ω,F,Xt)是L2(Rn,dx)上的經典布朗運動[4]，其轉移密度函數(shù)為

其中，第一個等號中第一項有

第二項有

第三項有

2 布朗運動對應的狄氏型及其變換

2.1 變換一

定理2 如果ρ滿足假設1，且

是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，那么對稱型

證明 由前面的內容可知，(ε,D(ε))是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，根據引理1，只需要證明式（6）和式（7）。

根據假設1可知，存在常數(shù)c1,c2＞1，使得

從而有

的閉包也是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型。

2.2 變換二

在變換一中，對L2(U,dx)上的擬正則狄氏型(ε,D(ε))的型做了一些變換，變換后的二次型(ε',D(ε'))是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，值得注意的是變換一并沒有改變參考測度和底空間。那么，如果保持狄氏型的基本型不變，參考測度發(fā)生改變，參考測度需要滿足什么條件，使它變換后的二次型同樣會保持擬正則性不變？下面對這一問題作簡單介紹。

由文獻[9]可知，如果ρ是U?Rd上幾乎處處大于零且局部可積的函數(shù)，那么

是L2(U,ρdx)上的馬氏局部對稱型。進一步地，如果它是可閉的，那么它的最小閉延伸是局部擬正則狄氏性，從而有下面的定理。

定理3 如果ρ是U上的可測函數(shù)且假設1成立，那么

是L2(U,ρdx)上的局部正則狄氏型。