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        概周期系數(shù)的時滯廣義系統(tǒng)概周期解的存在性

        2021-06-02 10:05:36黃記洲
        關(guān)鍵詞:定義系統(tǒng)研究

        黃記洲

        (1.廣東清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院;2.廣東清遠(yuǎn)開放大學(xué),廣東 清遠(yuǎn) 511510)

        1 引言與研究背景

        生物數(shù)學(xué)模型與微分方程有著密切的關(guān)系,以微分方程建立的生物系統(tǒng)往往有其特性,即周期性和概周期性,因此,研究微分方程的解的周期性和概周期性有著極其重要的意義。近年來有不少的專家學(xué)者對微分方程的概周期解的存在性作了研究,得到了滿意的結(jié)果。如文獻(xiàn)[1-3]。

        文獻(xiàn)[4-5]黃建吾、孟艷雙等分別以指數(shù)型二分性及Schauder不動點(diǎn)定理研究了微分方程組

        周期解和概周期解的存在問題,并得到此類微分方程組的周期解和概周期解存在的充分性條件。

        文獻(xiàn)[6]運(yùn)用二分性及Schauder不動點(diǎn)定理,研究一類時滯概周期系數(shù)的五次微分方程組

        并得到了此類微分方程概周期解存在的充分條件。

        對于廣義系統(tǒng)

        (1)

        當(dāng)常量m≥1的整數(shù),τ∈R,變量t∈R,a(t),b(t),c(t),d(t)都是概周期函數(shù),f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù)且對y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù)。此系統(tǒng)是否也有概周期解呢?下面我們就研究這個問題。

        定義1[7]設(shè)線性系統(tǒng)

        x′=A(t)x

        (2)

        這里A(t)是定義在某區(qū)間J上的連續(xù)矩陣函數(shù),常見的情況為J=R+,R-或R,若存在投影矩陣P和k>0,α>0,β>0的常數(shù),使得線性系統(tǒng)(2)的基解矩陣X(t)對任意s,t∈J滿足

        |X(t)PX-1(s)|≤kexp(-α(t-s)),t≥s,

        |X(t)(E-P)X-1(s)|≤kexp(-β(s-t)),s≥t,

        則稱線性系統(tǒng)(2)在J上滿足指數(shù)型二分性。

        引理1[8]線性系統(tǒng)(2)有指數(shù)型二分性,A(t)是概周期矩陣函數(shù),f(t)∈AP(En),則非齊次線性系統(tǒng)x′=A(t)x+f(t)有惟一界周期

        引理2[9]設(shè)fn(t)(n=1,2,3…)為區(qū)間I上可微的函數(shù)族,若{fn′(t)}在I上一致有界,則{fn(t)}在I上等度連續(xù)。

        引理3[10](Ascoli定理)若{fm(t)|fm:R→Rn}(m,n=1,2,3…)一致有界,等度連續(xù)。則{fm(t)}必存在子列{fmk(t)}在任意有限區(qū)間上一致收斂。

        引理4[10](Schauder不動點(diǎn)定理)設(shè)B是Banach空間中的有界閉凸集,若T:B→B連續(xù),且TB緊致,則T在B上必有不動點(diǎn)。

        2 主要結(jié)論

        定理1設(shè)系統(tǒng)(1)滿足下列條件:

        (Ⅰ)f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù),對y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù),且分別滿足Lipschitz條件。即存在正常數(shù)L1,L2,對于任意(t,y1),(t,y2),(t,y3),(t,y4)∈R2使得

        |f(t,y1)-f(t,y2)|≤L1|y1-y2|,|g(t,y3)-g(t,y4)|≤L2|y3-y4|

        則方程(1)存在概周期解。

        現(xiàn)把(1)化為

        x′=a(t)x-c(t)ym+1+[c(t)-b(t)]ym+1+f(t,y(t-τ))

        y′=c(t)xym+a(t)y+[d(t)-a(t)]y+g(t,y(t-τ))

        對于任意h(t)∈B1,我們考慮線性系統(tǒng)

        x′=a(t)x-c(t)[h(t)]my+[c(t)-b(t)][h(t)]m+1+f(t,h(t-τ))
        y′=c(t)[h(t)]mx+a(t)y+[d(t)-a(t)]h(t)+g(t,h(t-τ))

        (3)

        其齊次系統(tǒng)

        x′=a(t)x-c(t)[h(t)]my

        y′=c(t)[h(t)]mx+a(t)y

        (4)

        可以找出它的基礎(chǔ)解系

        當(dāng)t≥s時有

        由定義1,系統(tǒng)(4)具有投影為P=E(單位矩陣)的指數(shù)型二分性。由引理1得系統(tǒng)(3)有唯一概周期解

        我們作一個映射T:B1→B1,Th(t)=yh(t)

        (ⅰ)?h(t)∈B1

        所以Th(t)∈B1即TB1?B1

        (ⅱ)T是緊致的。事實(shí)上,對于任意hn(t)∈B1,記yhn(t)=Thn(t),則

        即yhn(t)一致有界??紤]

        (ⅲ)T是連續(xù)的.事實(shí)上,對于任意

        考慮

        所以

        hn(t-τ)→h(t-τ),明顯地,當(dāng)n→∞時,有|Thn-Th|→0,因此T是一個連續(xù)的算子。

        由引理4(Schauder不動點(diǎn)定理)知,系統(tǒng)(3)有不動點(diǎn),記為h(t)。由h(t)=Th(t)=yh(t)有

        注:當(dāng)m=4時,就是文獻(xiàn)[6]的系統(tǒng),因此,定理1推廣了文獻(xiàn)[6]的定理1。

        定理1的條件可以進(jìn)一步減弱,可不要求f(t,y),g(t,y)對y∈R關(guān)于t的一致概周期函數(shù),便得到下列定理。

        定理2設(shè)系統(tǒng)(1)滿足下列條件:

        (Ⅰ)f(t,y),g(t,y)定義在R2上的連續(xù)函數(shù)并有f(t,0)=g(t,0)=0,且分別滿足Lipschitz條件。即存在正常數(shù)L1,L2,對于任意(t,y1),(t,y2),(t,y3),(t,y4)∈R2使得

        |f(t,y1)-f(t,y2)|≤L1|y1-y2|,|g(t,y3)-g(t,y4)|≤L2|y3-y4|;

        則系統(tǒng)(1)存在概周期解。

        定理2的證明與定理1相類似,所以這里就不再贅述了。

        注這個結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[6]的定理2。

        3 結(jié)語

        本文運(yùn)用二分性、不動點(diǎn)定理等理論,研究概周期系數(shù)的時滯廣義系統(tǒng)概周期解的存在性,得到此系統(tǒng)的概周期解存在的充分性定理,推廣和豐富了文獻(xiàn)[4-6]的結(jié)果,理論上解決了具有時滯的生物系統(tǒng)在某一狀態(tài)變化問題。當(dāng)系統(tǒng)(1)第二個方程的d(t)y的變?yōu)閐(t)ym,其他項不改變,這樣的系統(tǒng)是否也存在概周期解,如果存在,它的充分性定理是怎樣的呢?這是可以進(jìn)一步研究和探討的問題。

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