亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        中立型變時(shí)刻脈沖發(fā)展方程mild解的存在唯一性

        2021-06-02 10:04:34馬維鳳陳鵬玉
        關(guān)鍵詞:定義研究

        陶 書,馬維鳳,陳鵬玉

        (西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

        1 引言與研究背景

        N(t):Ω→Ω,u→N(t)u=u+Ik(u)

        其中Ik:Ω→Ω,進(jìn)而脈沖時(shí)刻不固定的脈沖微分方程可用如下模型:

        (1)

        近年來,脈沖微分方程理論在種群動(dòng)力系統(tǒng),傳染病動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),微生物模型等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-3]。一般來說,脈沖微分方程系統(tǒng)的解是分段連續(xù)的,不連續(xù)點(diǎn)發(fā)生脈沖現(xiàn)象。對(duì)模型(1)來說,不同的解在不同時(shí)刻發(fā)生間斷,這個(gè)特征使其研究起來比較困難,正因?yàn)槿绱?,脈沖微分方程引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的研究興趣[4-10],Marlene等應(yīng)用上下解的單調(diào)迭代方法給出了問題⑴解的存在性條件[6];Benchohra等利用Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理研究了問題⑴解的存在性[7];Mouffak研究了含中立型脈沖微分方程初值問題解的存在性[8]。在半群理論下,脈沖發(fā)展方程的研究也有了重要突破,有限維空間中的基本理論參見[2-3],此外,彭云飛等研究了脈沖發(fā)展方程初值問題mild解的存在性[9-10]。

        在上述理論和結(jié)果的啟發(fā)下,本文Banach空間E中討論如下中立型變時(shí)刻脈沖發(fā)展方程初值問題

        (2)

        2 預(yù)備知識(shí)及引理

        設(shè)E是按范數(shù)‖·‖構(gòu)成的Banach空間,記C(J,E)是定義于J取值于E的連續(xù)函數(shù)全體按最大值范數(shù)‖u‖c:=max{‖u(t)‖:t∈J}構(gòu)成Banach空間,定義PC(J,E)={x:J→E,x(t)在J′上連續(xù),在每個(gè)τk(x(t))點(diǎn)左連續(xù)且x(t+)=x(t)+Ik(x(t))},其按上確界范數(shù)‖x‖PC=sup{‖x(t)‖:t∈J}構(gòu)成Banach空間。

        定義2.1若f:J×E→E滿足條件:

        (ⅰ)對(duì)所有的x∈E,f(t,x)關(guān)于t可測(cè);

        (ⅱ)對(duì)幾乎所有的t∈J,f(t,x)關(guān)于x連續(xù),即存在ρ>0,對(duì)任意的x,y∈E,有

        ‖f(t,x)-f(t,y)‖≤ρ‖x-y‖

        則稱f是L1-Carathéodory函數(shù)。

        定義2.2若x:[0,a]→E滿足下列條件:

        (ⅰ)對(duì)任意t∈[0,a],(t,x(t))∈J×E;

        (ⅱ)對(duì)任意t∈[0,a],t≠τk(x(t))(k∈Z+),函數(shù)x(t)是連續(xù)的,且

        (ⅲ)若t∈[0,a],t=τk(x(t)),t≠0,函數(shù)x(t)左連續(xù),即x(t+)=x(t)+Ik(x(t)),

        且對(duì)每個(gè)j∈Z和δ>0,s≠τj(x(t)),t

        tk)Ik(x(tk)),t∈J

        是初值問題(2)的mild的解。

        引理2.3(Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)E是Banach空間,Ω?E是有界凸閉集,若T,S:Ω→E滿足:(ⅰ)對(duì)任意的x,y∈Ω,有Sx+Ty∈Ω;(ⅱ)算子S是壓縮的;(ⅲ)T在Ω上是全連續(xù)的。則T+S在Ω內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

        3 主要結(jié)果

        對(duì)任意0

        (H1)f是L1-Carathéodory函數(shù),且存在r>0,使得對(duì)每個(gè)x∈Ωr及t∈J,有

        ‖f(t,x)‖≤p1‖x‖+p0

        其中p1,p0為常數(shù);

        (H2)存在常數(shù)Lg≤1及r>0,使得對(duì)任意的0≤t1≤t2≤a,x,y∈Ωr,有

        g(t1,x)≤g(t2,x),‖g(t,x)-g(t,y)‖≤Lg‖x-y‖,

        (H3)函數(shù)τk∈C(J,E),k=1,…,m是不增函數(shù),且存在r>0,對(duì)任意的x∈Ωr,有

        0<τ1(x1)<τ2(x2)<…<τm(xm)

        (3)

        (H4)存在r>0對(duì)所有的t∈J,x∈Ωr,有

        定理3.1若假設(shè)條件(H1)~(H5)成立,且

        (4)

        則初值問題(2)在[0,a]上有唯一mild解x(t)∈PC(J,E)。

        證明首先,定義積分算子F:PC(J,E)→PC(J,E):

        (5)

        和算子S:C(J,E)→C(J,E):

        (Sx)(t)=g(t,x(t))-T(t)g(0,x0),t∈J

        (6)

        令H=F+S,則問題(2)的解等價(jià)于算子H的不動(dòng)點(diǎn)。下證H有不動(dòng)點(diǎn)。

        具體分為以下三步:

        (Ⅰ)存在r>0,對(duì)任意的x,y∈Ωr,Sx+Fy∈Ωr,反設(shè)不成立,對(duì)任意的r>0,x,y∈Ωr,有‖Sx(t)+Fy(t)‖>r。由條件(H2),(H1)和(H5)可知,對(duì)任意的x,y∈Ωr,t∈J,有

        x(t))-T(t)g(0,x0)‖+‖T(t)x0‖+

        其中‖g(a,x0)-g(0,x0)‖=G,從而

        r<‖(Sx)(t)+(Fy)(t)‖≤(Lg+Map1+mML)r+(Lg+M)‖x0‖+Map0+MG

        上式兩端同時(shí)除以r,且當(dāng)r→∞時(shí)取極限,得1

        (Ⅱ)證明S是壓縮的,存在r>0,對(duì)任意的x,y∈Ωr,t∈J,有

        ‖(Sx)(t)-(Sy)(t)‖=‖g(t,x(t))-g(t,y(t))‖≤Lg‖x-y‖

        (Ⅲ)證明F全連續(xù)。設(shè){xn}是一個(gè)收斂序列,且在PC(J,E)中收斂到x,則

        ‖F(xiàn)(t,xn(t))-F(t,x(t))‖PC≤M‖f(s,xn(s))-f(s,x(s))‖L1+mML‖xn-x‖PC→0(n→∞),

        故‖F(xiàn)(t,xn(t))-F(t,x(t))‖→0(n→∞)。且存在r>0,對(duì)任意的x∈Ωr,同(Ⅰ)用反證法有

        因此F:Ωr→Ωr連續(xù)。對(duì)任意的ε>0,令

        對(duì)任意的x∈Ωr,t∈J,由(H1)得

        M(p1‖x‖+p0)a≤M(p1r+p0)ε

        由T(t)的緊性知,(FεΩr)(t)={(Fεx)(t):x∈Ωr}為E中的相對(duì)緊集,由(5)式知,存在r>0,對(duì)任意的x∈Ωr,t∈J,有

        即(FεΩr)(t)為(FΩr)(t)中的相對(duì)緊的M(p1r+p0)ε網(wǎng),故(FΩr)(t)為E中的逐點(diǎn)相對(duì)緊集。

        另一方面,存在r>0,對(duì)任意的x∈Ωr,t′,t″∈J,t′

        tk)Ik(x(tk))‖≤‖T(t″)-T(t′)‖‖x0‖+

        由T(t)(t≥0)的等度連續(xù)性可知,上式右端趨于零(當(dāng)t″→t′時(shí)),且與t′與t″的取值無關(guān),從而(FΩr)(t)={(Fx)(t):x∈Ωr}等度連續(xù),故由Arzela-Ascoli定理可得FΩr相對(duì)緊,從而F:Ωr→Ωr全連續(xù)。

        綜上,H在PC(J,E)上存在不動(dòng)點(diǎn)。定義方程

        rk,1(t)=τk(x1(t))-t,t≥0

        由條件(H3)知rk,1(0)≠0,t∈J,k=1,…,m。若rk,1(t)≠0,k=1,…,m,則t≠τk(x1(t)),t∈J,k=1,…,m,那么

        是初值問題(2)的mild解。

        當(dāng)t∈J,r1,1(t)=0時(shí),由于r1,1(0)≠0且r1,1是連續(xù)的,故存在t1>0,使得

        r1,1(t1)=0,r1,1(t)≠0,t∈[0,t1]

        因此,由條件(H3)可得,rk,1(t)≠0,t∈[0,t1],k=1,…,m。

        定義方程

        rk,2(t)=τk(x2(t))-t,t>t1

        若rk,2(t)≠0,t∈(t1,a],k=1,…,m,則

        是初值問題的(2)的mild解,且滿足

        當(dāng)r2,2(t)=0,t∈(t1,a]時(shí),由條件(H3)可知

        由于r2,2是連續(xù)的,故存在t2>t1,使得r2,2(t2)=0,r2,2(t)≠0,t∈(t1,t2],故由條件(H3)可得

        rk,2(t)≠0,t∈(t1,t2],k=2,…,m

        L1(t)=τ1(x2(t)-g(t,x2(t)))-t

        (7)

        由條件(H3)得

        因此由(7)式得非負(fù)最大值點(diǎn)s1∈(t1,t2],有

        由于

        與(3)式矛盾!從而r1,2(t)≠0,t∈(t1,t2]。

        歸納得,初值問題(2)在(tm,a]上存在mild解,記為xm+1(t)∈PC(J,E),且有如下形式:

        構(gòu)造函數(shù)x(t)如下:

        顯然x(t)∈PC(J,E),且滿足定義2.1的條件,因此,

        tk)Ik(x(tk)),t∈J

        為初值問題(2)在[0,a]上的mild解。

        下證唯一性,設(shè)x,y∈PC(J,E)均為初值問題(2)的解,對(duì)任意的t∈(tk,tk+1],有

        mML‖x(t)-y(t)‖PC

        對(duì)上式取上確界,可得

        ‖x(t)-y(t)‖PC≤

        令z(t)=‖x(t)-y(t)‖,從而由Bellman不等式可知,在(tk,tk+1]上有z(t)=0,即x(t)=y(t)。因此,初值問題(2)在[0,a]上有唯一解x(t)∈PC(J,E)。

        猜你喜歡
        定義研究
        FMS與YBT相關(guān)性的實(shí)證研究
        2020年國內(nèi)翻譯研究述評(píng)
        遼代千人邑研究述論
        永遠(yuǎn)不要用“起點(diǎn)”定義自己
        海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
        定義“風(fēng)格”
        視錯(cuò)覺在平面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用與研究
        科技傳播(2019年22期)2020-01-14 03:06:54
        EMA伺服控制系統(tǒng)研究
        新版C-NCAP側(cè)面碰撞假人損傷研究
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        修辭學(xué)的重大定義
        网友自拍人妻一区二区三区三州| 医院人妻闷声隔着帘子被中出| 青楼妓女禁脔道具调教sm| 香色肉欲色综合| 亚洲成A人A∨久在线观看| 国产精品自拍视频在线| 麻豆国产精品va在线观看不卡| 免费观看黄网站在线播放| 在线无码国产精品亚洲а∨| 亚洲人妻精品一区二区三区| 内射白浆一区二区在线观看| 国产亚洲精品av久久| s级爆乳玩具酱国产vip皮裤| 无码国产一区二区三区四区| 亚洲最大无码AV网站观看| 一区二区国产视频在线| 伦伦影院午夜理论片| 中国老妇女毛茸茸bbwbabes| 亚洲国产日韩在线人成蜜芽 | 国产亚洲亚洲精品视频| 日本不卡的一区二区三区中文字幕| 国产乱码一区二区三区爽爽爽| 99久久婷婷国产综合亚洲91| 亚洲国产一区二区三区视频在线| 免费视频无打码一区二区三区| 手机看黄av免费网址| 亚洲欧美日韩中文无线码| 日韩少妇无码一区二区免费视频| 日本高清视频在线观看一区二区| 无人区一码二码三码四码区| 俺也去色官网| 中文字幕丰满人妻有码专区| 九九久久精品国产免费av| 成人国产精品一区二区视频| 亚洲区在线播放| 亚洲av高清一区三区三区| 欧美熟妇另类久久久久久不卡| 免费av片在线观看网站| 亚洲区一区二区中文字幕| 中文字幕人成人乱码亚洲av| 国产欧美一区二区精品仙草咪|