黃姣茹， 李靈芝， 高 嵩， 錢富才,2， 王 敏

(1.西安工業(yè)大學電子信息工程學院，西安，710021； 2.西安理工大學陜西省復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點實驗室，西安，710048； 3.西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學國家重點實驗室，西安，710043)

導彈武器具有超強攻擊性和巨大威懾力等特點，是現(xiàn)代社會中維持戰(zhàn)略平衡的支撐[1-2]。隨著導彈試驗技術(shù)的發(fā)展和需要，多傳感器測量系統(tǒng)在導彈跟蹤中備受關(guān)注，因此多傳感器數(shù)據(jù)融合濾波技術(shù)對提高彈道跟蹤精度具有極其重要的意義[3-4]。

目前常用的多傳感器測量融合方法主要有兩種結(jié)構(gòu)：集中式測量融合(centralized measurement fusion，CMF)和加權(quán)測量融合(weighted measurement fusion，WMF)[5-8]，加權(quán)測量融合方法以其高精度和低計算量的優(yōu)勢被廣泛使用。同時，由于導彈系統(tǒng)模型具有非線性特點，基于非線性濾波的加權(quán)觀測融合方法得到了廣泛的研究[9-13]，但是，這些算法往往直接對來自各個傳感器的測量數(shù)據(jù)按照不同的加權(quán)準則計算融合測量值，并未考慮異常觀測值對融合算法精度的影響。

然而，在實際跟蹤測量中，由于量測設(shè)備的沖擊、振動，傳感器的老化、故障，復(fù)雜環(huán)境的干擾，操作人員的失誤等，即使采用高精度測量設(shè)備和測量機制跟蹤目標，都會導致測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常值[14-15]。這些異常值帶來的數(shù)據(jù)質(zhì)量問題，對彈道協(xié)同跟蹤量測系統(tǒng)的工作存在不利影響，直接影響彈道跟蹤的精度和穩(wěn)定性。

針對觀測值存在異常值的問題，國內(nèi)外學者基于抗差理論進行了大量的研究[16-18]，主要針對單傳感器中測量值存在污染的情況進行討論，然而在實際應(yīng)用中，多傳感器測量機制更為普遍。

本文針對多傳感器跟蹤導彈過程中數(shù)據(jù)污染導致彈道解算精度下降的問題，將抗差估計與加權(quán)觀測融合、平方根UKF及自適應(yīng)估計相結(jié)合，通過構(gòu)造加權(quán)觀測融合方程，抗差權(quán)函數(shù)以及抗差權(quán)因子，自適應(yīng)計算等價噪聲協(xié)方差融合矩陣來修正異常值，減弱了數(shù)據(jù)污染對彈道參數(shù)估計精度的影響，同時有效地避免了融合估計發(fā)散的問題。

1 問題描述

1.1 彈道狀態(tài)方程

設(shè)再入彈道的狀態(tài)方程為：

x(k+1)=f(x(k),k)+w(k)

(1)

式中：f(·)為已知非線性函數(shù)；x(k)為第k個時刻系統(tǒng)狀態(tài)；w(k)為狀態(tài)噪聲，為零均值方差陣為Q的白噪聲。

為了得到高精度的彈道模型，需根據(jù)導彈的機動性能和噪聲統(tǒng)計特性，結(jié)合目標運動學信息，利用相應(yīng)的隨機函數(shù)來逼近彈道運動。本文采用勻加速模型作為目標的狀態(tài)方程。

1.2 彈道觀測方程

本文中采用光電經(jīng)緯儀與雷達協(xié)同工作的測量機制跟蹤導彈，觀測設(shè)備為多個光電經(jīng)緯儀與多個雷達組成的測量機制，觀測量為測距和角度，以單個光電經(jīng)緯儀與單個雷達協(xié)同工作為例介紹測量原理，測量坐標系光電經(jīng)緯儀與雷達的測量關(guān)系如下[19]：

(2)

式中：(x1,y1,z1)為光電經(jīng)緯儀的坐標；(x2,y2,z2)為雷達的坐標；(x,y,z)為目標的坐標；R為雷達測距值；E為方位角和A為高低角，經(jīng)過對式(2)進行數(shù)值解算及分析，得到觀測量如下：

(3)

可得第j個測量體系的觀測方程為：

z(j)(k)=h(j)(x(k),k)+vj(k),j=1,2,…,L

(4)

式中：v(j)(k)為第j個傳感器的觀測噪聲，為零均值方差陣為R的白噪聲。h(j)為j個測量體系的觀測量，可表示為：

h(j)(x(k),k)=

(5)

假設(shè)h(j)(x(k),k)滿足如下形式：

h(j)(x(k),k)=H(j)h(x(k),k)

(6)

式中：H(j)(k)為線性化系數(shù)矩陣，則系統(tǒng)(1)和(4)的加權(quán)測量近似融合方程可表示如下：

z(I)(k)=H(I)h(x(k),k)+v(I)(k)

(7)

這里，對式(5)中h(j)(x(k),k)進行μ階泰勒級數(shù)展開得到：

(8)

(9)

(10)

H(I)=M-1H(0)

(11)

M和H(I)分別為H(0)的列滿秩矩陣和行滿秩矩陣。近似函數(shù)為：

(12)

本文要解決的問題是，對系統(tǒng)式(1)和式(4)，考慮測量數(shù)據(jù)質(zhì)量問題對跟蹤精度的影響，研究一種抗差加權(quán)觀測融合平方根無跡卡爾曼濾波算法(weighted measurement robust fusion square root unscented Kalman filter，WMRF-SRUKF)提高彈道跟蹤的精度和穩(wěn)定性。

2 抗差加權(quán)觀測融合平方根UKF算法

在多臺傳感器跟蹤導彈的過程中，由于導彈飛行的復(fù)雜性和測量設(shè)備自身的問題，會出現(xiàn)觀測值存在異常值的問題，如果不對這部分異常值及時地進行修正，會影響彈道跟蹤精度。本節(jié)利用抗差估計理論自適應(yīng)地實現(xiàn)觀測異常值的檢驗和分離以及修正，提高估計精度。

2.1 抗差估計理論

當彈道觀測數(shù)據(jù)中存在異常值時，根據(jù)極大似然估計原理，通過對整個時間段的殘差取合適的極值函數(shù)，抑制異常值的影響。極值函數(shù)如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

根據(jù)多傳感器的觀測融合值與該時刻融合預(yù)測值，定義測量融合殘差向量：

(18)

則抗差權(quán)的具體表達式為：

(19)

(20)

(21)

為了計算方便，引入誤差因子di，其中φ為抗差權(quán)函數(shù)，w為抗差權(quán)因子。當觀測數(shù)據(jù)存在污染時，通過計算抗差權(quán)重因子wi，自適應(yīng)分布狀態(tài)融合預(yù)測值與當前觀測融合信息的權(quán)重，從而提高了彈道參數(shù)估計的精度。當觀測數(shù)據(jù)正常時，wi為1，算法為標準的加權(quán)觀測融合算法。

2.2 WMRF-SRUKF算法

Step 1：初始化

在初始時刻傳感器的狀態(tài)向量以及協(xié)方差矩陣的平方根初值分別為：

(22)

(23)

式(23)中的函數(shù)chol(·)表示對矩陣進行Cholesky分解。

Step 2：時間更新

基于測量數(shù)據(jù)z(j)(0)～z(j)(k)(j=1,2,…,L)計算的Sigma點為：

(24)

對應(yīng)的權(quán)值：

(25)

式中：下標m為均值;c為協(xié)方差;上標i為第幾個采樣點。參數(shù)λ=a2(n+κ)-n，κ=0或κ=3-n，β=2。

計算狀態(tài)融合預(yù)測向量：

i=0,1,…,2n

(26)

(27)

由式(8)和式(9)計算變換矩陣，測量方程預(yù)測的采樣點計算如下：

(28)

預(yù)測測量值計算：

(29)

預(yù)測融合誤差協(xié)方差矩陣的平方根為：

(30)

式中：qr(·)表示矩陣的QR分解。

(31)

式中：chol update(·)表示矩陣Cholesky分解的修正。

Step 3：觀測值異常值判斷以及抗差處理

計算k+1的測量融合值：

(32)

(33)

當誤差因子di滿足：

(34)

Step 4：測量更新

新息協(xié)方差矩陣平方根為：

(35)

(36)

互協(xié)方差矩陣為：

(37)

增益矩陣為：

(38)

z(I)(k)由式(7)得到，則k+1時刻的狀態(tài)估計為：

(39)

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣的平方根矩陣：

UI(k+1)=KI(k+1)SyI(k+1|k)

(40)

(41)

綜上所述，通過泰勒級數(shù)展開方法實時計算觀測融合矩陣，對來自多個傳感器的信息進行融合，采用抗差估計方法構(gòu)造抗差權(quán)重因子，自適應(yīng)調(diào)節(jié)測量信息的權(quán)重，并基于平方根UKF算法進行濾波求解等價協(xié)方差矩陣，對融合過程中可能出現(xiàn)的異常值進行分離與修正，實時地調(diào)節(jié)濾波增益，從而實現(xiàn)了平方根UKF加權(quán)觀測融合算法的抗差性能。

3 仿真分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

本文采用光電經(jīng)緯儀與雷達協(xié)同工作跟蹤導彈，考慮3個測站構(gòu)成的傳感器網(wǎng)絡(luò)，采用100次蒙特卡羅仿真，對導彈進行加權(quán)融合式實時軌道的確定，以光電經(jīng)緯儀的位置為原點創(chuàng)建相對三維坐標系。

雷達1相對站址：

x01=800,y01=900,z01=700；

雷達2相對站址：

x02=1 500,y02=1 450,z02=1 100；

雷達3相對站址：

x03=1 600,y03=1 750,z03=1 200；

將雷達帶入式(4)得到各個測量體系具體的觀測方程，根據(jù)式(8)利用二階泰勒級數(shù)展開以及合并同類項去除零部分，計算測量方程的系數(shù)矩陣H(0)，根據(jù)式(12)計算近似函數(shù)為：

h(x(k),k)=

(42)

各個濾波器初始狀態(tài)為：

xj(0)=[3 500,1 500,1 000,-1 100,-150,-50，10,10,10]T，j=1，2，3。

3.2 仿真對比分析

本節(jié)采用本文提出的WMRF-SRUKF算法對式(1)和(4)構(gòu)成的多傳感器彈道動力學模型進行數(shù)據(jù)融合仿真，并與傳統(tǒng)的WMF-UKF算法和WMF-SRUKF算法進行比較。得到彈道理想軌跡和各算法融合估計的彈道軌跡曲線見圖1，位置、速度和加速的均方根誤差(root mean squared error，RMSE)曲線如圖2～4所示。

圖1 真實狀態(tài)及WMF-UKF、WMF-SRUKF及WMRF-SRUKF算法的軌跡估計曲線

圖2 WMF-UKF、WMF-SRUKF及WMRF-SRUKF算法的位置RMSE曲線

圖3 WMF-UKF、WMF-SRUKF及WMRF-SRUKF算法的速度RMSE曲線

由圖1可以看出，采用WMF-UKF和WMF-SRUKF算法對設(shè)備進行融合得到的彈道軌跡直觀上與理想軌跡存在偏差，而本文提出的WMRF-SRUKF算法估計的彈道融合軌跡相比于上述兩種融合算法更接近于真實軌跡，具有精度高的優(yōu)點。

圖4 WMF-UKF、WMF-SRUKF及WMRF-SRUKF算法的加速度RMSE曲線

綜上所述采用WMRF-SRUKF算法可以對來自各個測量機制的數(shù)據(jù)進行有效融合，并且及時對測量異常值進行修正，最終得到的彈道參數(shù)更接近于真實值，彈道跟蹤精度高。同時在融合過程中WMRF-SRUKF運用矩陣滿秩分解將測量矩陣的維數(shù)由9維壓縮至5維，該算法濾波過程中時間復(fù)雜度由O(x9)降至為O(x5)，計算負擔明顯減小。

4 結(jié)語

針對融合過程中觀測值出現(xiàn)異常值和濾波器發(fā)散引起的彈道精度低的問題，本文在加權(quán)觀測融合算法的基礎(chǔ)上，提出了一種抗差融合平方根UKF彈道跟蹤算法。該算法利用IGGI等價權(quán)函數(shù)，自適應(yīng)估計以及平方根濾波思想，實時地對來自各個傳感器的信息進行融合，并對測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)的異常值進行實時剔除以及抗差修正，提高了多傳感器信息融合估計的精度，實現(xiàn)了彈道的高精度跟蹤問題，在彈道數(shù)據(jù)融合處理方面具有一定的應(yīng)用價值。