甘肅 陜西

筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)三十多年，并且教出了一些高材生，但是對(duì)于如何讓高中生輕松愉快地學(xué)好數(shù)學(xué)，還是感到一籌莫展.眾所周知，初中數(shù)學(xué)只要練熟，就能得高分，但是高中數(shù)學(xué)只靠“刷題”還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，全國名師葛軍老師也不贊成無謂的“刷題”.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者總結(jié)了學(xué)好高中數(shù)學(xué)的三字訣:背，悟，練.

一、“背”

一是要在理解的基礎(chǔ)上，靈活記憶，可起到巧“背”的目的.要背定義、定理、公理、公式和一些常用的二級(jí)結(jié)論，只有將這些基礎(chǔ)知識(shí)爛熟于心，才能在解題的時(shí)候想起要用的內(nèi)容，反過來做題的過程也是對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)加深理解的過程.如2016年全國卷Ⅱ理科第12題的條件f(-x)=2-f(x)，如果不熟悉下面的二級(jí)結(jié)論“對(duì)于函數(shù)f(x)，如果滿足f(a+x)+f(a-x)=2b(即f(2a-x)+f(x)=2b)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱”，那么就不知道該題的題意是已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，也就不會(huì)靈活運(yùn)用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去完美的解決問題，只能靠“蒙”.

二是要“背”每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的命題方向有哪些，并梳理出解決各類題型的常用方法.這樣做雖然看起來有點(diǎn)死板，但是有助于培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，不然遇到每個(gè)題目都是新問題，需要重新思考，這樣就浪費(fèi)了時(shí)間.由于高考數(shù)學(xué)考試僅有120分鐘時(shí)間，所以要考出好成績，絕對(duì)不能浪費(fèi)每一分鐘.例如:在解三角形問題中，如果已知三角形的一邊及其對(duì)角，那么目標(biāo)問題的設(shè)置常有兩類:一類是求三角形的面積的最大值(詳見例1)；另一類是求解與邊有關(guān)的問題(詳見例2).

【例1】(2013·全國卷Ⅱ理·17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.

解析:(Ⅰ)因?yàn)閍=bcosC+csinB，所以由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，則sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，化簡得cosBsinC=sinCsinB.

【例2】(2020·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若BC=3，求△ABC周長的最大值.

一般地，與邊長有關(guān)的問題，還有如求2b-c,b2+c2等取值范圍的問題，采用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題討論比較方便.

三是要“背”一些題型的常用解題方法和技巧.要考出好成績，既要做“學(xué)霸”，又要做“考霸”.全國名師四川代爾寧老師說:他和一些高考命題人交談過，一些高考題，尤其是選擇題和填空題基本上都會(huì)有其獨(dú)特的解題方法.基于此，教師在解題教學(xué)過程中，既要教給學(xué)生常用的通性通法，又要有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生掌握一些解題的高招妙法，這樣不但讓學(xué)生牢固掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，又啟迪開發(fā)了學(xué)生的智慧，同時(shí)可以提高學(xué)生處理非解答題的速度與準(zhǔn)確性.誠如此，我們何樂而不為呢？

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A.30° B.45°

C.60° D.120°

二、“悟”

初中數(shù)學(xué)一般情況下都是已知條件和要求的結(jié)論非常明確，只要功底扎實(shí)，解答問題一般不會(huì)出錯(cuò)；但是高中數(shù)學(xué)的已知條件和要求的結(jié)論有的非常隱蔽，需要自己“悟”.

【例4】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

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A.1 B.2

C.3 D.4

剖析:這道題是一道非常簡單的題目，但出錯(cuò)率不低，就是沒有“悟”出隱含條件:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0.許多學(xué)生只考慮奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而得到2個(gè)零點(diǎn)，故選B，這是個(gè)錯(cuò)誤答案.實(shí)際上，本題應(yīng)該選C.

【例5】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，若實(shí)數(shù)a,b滿足不等式f(4a-a2)+f(b2-2b-3)≤0，則當(dāng)2≤a≤4時(shí)，a2+(b-1)2的最大值為________.

解析:定義在R上的函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，且因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=f(x)為奇函數(shù).于是，根據(jù)不等式f(4a-a2)+f(b2-2b-3)≤0，先由y=f(x)為奇函數(shù)得f(b2-2b-3)≤f(a2-4a)，再由y=f(x)為增函數(shù)得b2-2b-3≤a2-4a，所以a2+(b-1)2≤2a2-4a+4.

從而，當(dāng)2≤a≤4時(shí)，根據(jù)2a2-4a+4≤2×42-4×4+4=20，可得a2+(b-1)2≤20.故所求a2+(b-1)2的最大值為20.

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A.{1} B.(-∞,-2]∪[4,+∞)

C.[-4,2] D.[-2,4]

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱，即函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù).

又因?yàn)閷?shí)數(shù)s,t滿足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2)在1≤s≤4時(shí)成立，所以f(s2-2s)≤f(t2-2t)，即s2-2s≥t2-2t.又因?yàn)楫?dāng)1≤s≤4時(shí)，s2-2s∈[-1,8]，所以t2-2t≤-1，即(t-1)2≤0，所以t=1,故選A.

上面兩道題表面上是函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，但是通過反思得出它們實(shí)際上是一回事，均表示函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).進(jìn)一步提煉可給出其隱藏的具有一般性的內(nèi)在規(guī)律:函數(shù)f(x+a)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-a,0)成中心對(duì)稱?函數(shù)f(x)為奇函數(shù).這就是我們“悟”出的道理，可見反思的重要性！

三、“練”

要學(xué)好數(shù)學(xué)，做練習(xí)題，必須有一定的量，但也不是練得越多越好.實(shí)際上，我們做一道題的真正目的是不再做這類題，做會(huì)了沒有必要反復(fù)再做.要練，必須努力做到以下幾點(diǎn).

一是要規(guī)范.數(shù)學(xué)學(xué)科自身特點(diǎn)要求嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、準(zhǔn)確，而許多學(xué)生平時(shí)練題，為了趕時(shí)間而隨便做題，久而久之養(yǎng)成了不嚴(yán)謹(jǐn)、不規(guī)范的習(xí)慣，導(dǎo)致在考試中處理解答題時(shí)失分較多.因此，我們平時(shí)練習(xí)時(shí)一定要規(guī)范完成，養(yǎng)成良好習(xí)慣，打好扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功.

二是要?dú)w類.古人云:學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆，可見歸類總結(jié)在學(xué)習(xí)過程的重要性.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)如果只練不總結(jié)，這樣學(xué)得很累，效果一定不佳，只有在學(xué)習(xí)的過程中不斷總結(jié)，才可以迅速提高學(xué)習(xí)效率，提升解題能力.如函數(shù)中有一類關(guān)于“任意”和“存在”的問題，這類問題常常體現(xiàn)為“相等”和“不相等(即大于或小于)”問題.通過歸類，可用自己的語言總結(jié)出解法.如，相等問題可歸納總結(jié)為:任意的值域包含于存在之中(詳見例7)；不等式問題可歸納總結(jié)為:都是任意處理，再將存在改寫為其對(duì)立面(詳見例8).

【例7】設(shè)過曲線f(x)=-ex-x上的任意一點(diǎn)處的切線l1，總存在過曲線g(x)=ax+2cosx上的一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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A.[-1,2] B.(-1,2]

C.[-1,2) D.(-1,2)

因?yàn)?2≤-2sinx2≤2，所以a-2≤a-2sinx2≤a+2.

顯然，通過以上歸納總結(jié)，降低了處理此類問題的難度，并且使學(xué)生能夠輕松掌握，達(dá)到事半功倍之效.

三是要糾錯(cuò).會(huì)學(xué)習(xí)的學(xué)生，基本上都有個(gè)錯(cuò)題本.學(xué)生們?cè)谧鰯?shù)學(xué)練習(xí)題時(shí)，只注重做新的練習(xí)題，而忽略反思平時(shí)做錯(cuò)的題目，好多學(xué)生根本沒有記錯(cuò)題的習(xí)慣.實(shí)際上，將易錯(cuò)問題利用錯(cuò)題本記錄下來，經(jīng)常演練，反復(fù)思考，可以有效避免以后再出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤！

錯(cuò)因探究:太大意啦，只注意到△ABC，而沒有考慮它是銳角三角形.

錯(cuò)因探究:雖然細(xì)心、認(rèn)真，但還沒有達(dá)到足夠的細(xì)心、認(rèn)真，沒有充分利用一個(gè)三角形為銳角三角形的充要條件.

反思感悟:(1)本題極易出錯(cuò)，不但要對(duì)cosA+sinC準(zhǔn)確變形，而且要準(zhǔn)確分析內(nèi)角A的取值范圍.

【例10】(Ⅰ)已知0

當(dāng)然，還可以考慮其他的思路:先消元再放縮；或者對(duì)求證式中的“1”先利用題設(shè)條件作等量代換，再實(shí)施放縮等等.但最終均因沒有徹底解決目標(biāo)問題，而深感無奈！

反思感悟:(1)對(duì)于本題第二問，大部分學(xué)生的思路可能都是直接針對(duì)該問具體分析的，而沒有注意考慮第一問與第二問之間的緊密聯(lián)系，即缺乏靈活運(yùn)用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)去分析、解決問題的思想意識(shí).最終，導(dǎo)致第二問不能順利獲證，認(rèn)為較難.

(2)由于許多數(shù)學(xué)解答題設(shè)計(jì)多問的目的就是降低試題的難度，而各問之間又往往存在著某種緊密的聯(lián)系，因此將“聯(lián)系”的觀點(diǎn)靈活運(yùn)用于解題中，往往能夠出奇制勝，將問題簡潔明了地解決.