江蘇

解三角形試題將幾何圖形與代數(shù)運算融為一體，既有對任意三角形的邊長與角度關(guān)系的內(nèi)部探索，其結(jié)論(正余弦定理、面積公式等)又具有極強的應(yīng)用價值，也是每年高考必考內(nèi)容之一.縱觀近幾年的全國卷，不難發(fā)現(xiàn)，解三角形試題在命題特點和解題方法上均有一定的規(guī)律性、重復性和借鑒性.本文將對近九年(2012-2020)高考數(shù)學全國卷中的解三角形試題進行分析探究，以期對大家在相關(guān)內(nèi)容的復習備考上有所啟發(fā)與幫助.

一、題型、題號及主要涉及內(nèi)容

從考查內(nèi)容的表層來看，涉及的核心知識點有正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基本內(nèi)容.但往往并不是直接考查公式的應(yīng)用，而是需要對其靈活變形、交融使用；同時，還會與三角函數(shù)、不等式、平面向量、三角恒等變換、誘導公式、數(shù)列等知識相互交匯、聯(lián)合命題，這是解三角形問題的重點考查內(nèi)容，也是高考的熱點.從題型的設(shè)置來看，包括選擇、填空和解答題，一般來講，每年只考一道試題，若是解答題，則放在第17題(第一個大題)的位置，一般難度不大.若不是解答題，則會出一道選擇或填空題，一般題號靠后，難度較大，以全國卷一理科為例，可總結(jié)如下表.

年份題號考點內(nèi)容分值201217正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換、誘導公式12201317正弦定理、余弦定理、三角恒等變換12

二、命題特點

(一)著力知識點的主體性、穩(wěn)定性和交融性

以正弦定理、余弦定理、面積公式和三角恒等變換為歷年考查的主體內(nèi)容，這一點比較穩(wěn)定.但是各個知識點并非孤立命題，著力公式間的相互融合，特別是正余弦定理和面積公式.正弦定理的主要作用是實現(xiàn)邊角之間的互化，也就是說，當?shù)仁降膬啥耸沁叺凝R次時，可直接將邊轉(zhuǎn)化為對角的正弦，反之，同樣可以轉(zhuǎn)化，這在歷年的高考全國卷中幾乎都有所體現(xiàn).

2012全

sinB+sinC

2013全

國卷二→a=bcosC+csinB→sinA=sinBcosC+sinCsinB

2014全

國卷一→(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC→(sinA+sinB)(sinA-sinB)=

(sinC-sinB)sinC

2016全

國卷一→2cosC(acosB+bcosA)=c→2cosC(sinAcosB+

sinBcosA)=sinC

2017全

2019全

國卷一→(sinB-sinC)2=

sin2A-sinBsinC→(b-c)2=a2-bc

2020全

國卷二→sin2A-sin2B-sin2C=

sinBsinC→b2+c2-a2=-bc

高考真題已知考查特點2012全國卷一邊a及角A由面積求周長(邊長)2013全國卷二邊b及角B周長、面積均未知,求面積的最大值2014全國卷一邊a及角A周長、面積均未知,求面積的最大值2016全國卷一邊c及角C由面積求周長

續(xù)表

(二)注重考查三角形面積公式的靈活應(yīng)用

(三)圖形題更具靈活性

正余弦定理實際上是一個工具，其核心價值就是解三角形.通過對近幾年全國卷中解三角形試題的整理，發(fā)現(xiàn)有時題目會將平面圖形直接呈現(xiàn)出來，這類問題往往對學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)要求較高.

分析:所謂解三角形，就是已知三角形中的一些量求另外一些量的過程，但首先要確定的是解哪個三角形，這就要認真觀察題目的條件及問題中主要涉及了哪些量，由已知量還能確定哪些量，這些量又集中在哪個三角形中，然后再結(jié)合正余弦定理進行求解.本題作為填空題的壓軸題，難度稍大，涉及的三角形較多，首先要在△ACE中，利用余弦定理求得CE，可得出CF，利用勾股定理計算出BC，BD，可得出BF，然后在△BCF中利用余弦定理可求得cos∠FCB.

三、備考建議

(一)構(gòu)建知識框架，凸顯“單元”、“主題”背景

主題、單元式教學作為當前新課改強調(diào)的一個重點內(nèi)容，著力于知識的整體關(guān)聯(lián)性、思維的系統(tǒng)性和方法的普適性，在實際教學中可切實防止“割裂式、碎片化、獨立性”的教學行為.新教材(以2019新人教A版為例)中對于解三角形內(nèi)容的設(shè)置，是在“平面向量及其應(yīng)用”這一大單元背景下，“平面向量的應(yīng)用”一節(jié)的一個分支.

實際

背景→向量的

概念→向量運算及

其幾何意義→平面向量基本定

理及坐標表示→向量的

應(yīng)用

鑒于“解三角形”一節(jié)內(nèi)容是建立在“平面向量及其應(yīng)用”這一“大背景”下構(gòu)建的知識模塊，因此，應(yīng)深挖兩者之間的邏輯關(guān)系.事實上，無論是余弦定理還是正弦定理，教材中對知識本身的構(gòu)建均利用了向量的工具性作用.這也從側(cè)面反映了新教材更重視知識的產(chǎn)生過程、邏輯關(guān)系和數(shù)學的應(yīng)用價值，這也是在對本章內(nèi)容復習的過程中，需著重強調(diào)的內(nèi)容.

(二)夯實基礎(chǔ)，點亮知識盲區(qū)、透視公式內(nèi)涵

(三)滲透思想方法,發(fā)展核心素養(yǎng)