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        基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》及《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的高考命題方案研究項(xiàng)目成果展示

        2021-05-28 06:57:52廣東山東江蘇
        關(guān)鍵詞:余弦定理拋物線本題

        廣東 山東 江蘇

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        A.若|PF|=6,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4

        C.若△POF的外接圓與C1的準(zhǔn)線相切,則該圓面積為9π

        【解題關(guān)鍵點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)分析】

        本題首先根據(jù)F(2,0),求出p=4,所以C1:y2=8x,準(zhǔn)線為x=-2,然后利用拋物線的幾何性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算容易得出A正確,B不正確.

        【命題技術(shù)體現(xiàn)】

        試題以拋物線為背景,考查了拋物線的綜合應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng)

        【命題趨勢(shì)及考點(diǎn)分布】

        圓錐曲線與方程是平面解析幾何的核心內(nèi)容,也是高考考查的重點(diǎn),主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本方法的靈活運(yùn)用.本題給定拋物線的方程,借助過(guò)焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線與拋物線的焦點(diǎn),創(chuàng)設(shè)距離之和的最值問(wèn)題,充分利用給定條件,本題既可通過(guò)定義法和解析法將條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建思維平臺(tái),也使解析幾何的思想方法在解答過(guò)程中得以展示.試題突出拋物線的定義和性質(zhì),同時(shí)用到韋達(dá)定理和均值不等式求最值.本題創(chuàng)設(shè)解析幾何中的情境,注重通性通法,全面考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,為考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決問(wèn)題提供了展示的空間,重點(diǎn)考查解析法,考查學(xué)生利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.主要難點(diǎn)在于推理運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

        【變式】已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為

        ()

        A.16 B.14

        C.12 D.10

        (1)求A;

        (2)若b+c=2a,求△ABC的面積.

        【解析】(1)利用三角形正弦定理把條件轉(zhuǎn)化為角A的關(guān)系式,再通過(guò)三角變換可求得A的大??;(2)利用三角形正余弦定理求出bc,再利用三角形面積公式即可.

        由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA?a2=(b+c)2-3bc?bc=12,

        【命題思路】第1問(wèn),考查三角函數(shù)公式,具體考查兩角和的正弦公式,考查數(shù)學(xué)邏輯推理能力,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng);第2問(wèn)以三角形為背景,考查三角形有關(guān)工具的理解、掌握和應(yīng)用,具體考查三角形正弦定理、余弦定理和面積公式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,落實(shí)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).體現(xiàn)出《高考評(píng)價(jià)體系》綜合性的考查.

        【命題趨勢(shì)及考點(diǎn)分布】三角內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中重要的組成部分,屬于高考必考內(nèi)容,試卷中多數(shù)為兩道小題或一道大題,考查內(nèi)容多為解三角形、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)、三角求值等,多為基礎(chǔ)題,難度不大.

        ()

        【參考答案】A

        (1)求角C的值;

        【解析】本題主要考查三角函數(shù)、平面向量、余弦定理、兩角和與差的余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn),根據(jù)平面向量的數(shù)量積列出一個(gè)三角函數(shù)的等式,通過(guò)變換這個(gè)等式探究第一問(wèn)的答案,在求角之前應(yīng)注意角的取值范圍;第二問(wèn),利用第一問(wèn)的結(jié)論,有了角C的大小,要求三角形面積只需求出ab的值,利用余弦定理和面積公式聯(lián)立,解出a+b.

        (2)由c2=a2+b2-2abcosC,得a2+b2-ab=9,①

        由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25,

        因?yàn)閍,b∈R*,

        所以a+b=5.

        (1)求常數(shù)a的值;

        (2)若方程f(x)=k在[0,π]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

        【解析】(1)首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及條件確定實(shí)數(shù)a的值即可;(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,結(jié)合函數(shù)圖象即可確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

        據(jù)此可得a+2=3,所以a=1.

        滿足題意時(shí)y=k與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

        3.(決勝新高考9月聯(lián)考C卷,19題)數(shù)學(xué)源于生活,數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界;其實(shí)現(xiàn)實(shí)生活中充滿著等比數(shù)列,1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案,他的做法如下:從一個(gè)正三角形開(kāi)始,把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊(如圖1,2,3,4等).反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程,就得到雪花曲線.

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        (1)若圖1中三角形的邊長(zhǎng)為1,求圖4中圖形的邊長(zhǎng)是多少?

        (2)在(1)的前提下,記第n個(gè)圖(圖n)中的圖形的邊長(zhǎng)為an,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

        【解題關(guān)鍵點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)】

        第(1)問(wèn)觀察圖形,直接猜想即可;第2問(wèn)觀察猜想得到an的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減得到答案,易錯(cuò)點(diǎn)是錯(cuò)位相減法掌握不到位,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

        【命題技術(shù)體現(xiàn)】

        以雪花圖案的構(gòu)造為背景,考查等比數(shù)列的定義,錯(cuò)位相減的求和公式,同時(shí)考查歸納猜想的數(shù)學(xué)思想,考查運(yùn)算求解、邏輯推理能力,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程的主線“幾何與代數(shù)”中的內(nèi)容之一,縱觀近十年全國(guó)高考文理共46套試卷,數(shù)列多數(shù)年份考“一大”(10分)或“兩小”10分.其中,選擇、填空題常作為中檔題或壓軸題來(lái)考查,當(dāng)然也有屬于基礎(chǔ)題呈現(xiàn)的.解答題考查內(nèi)容一般包括等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、一般數(shù)列的通項(xiàng)與求和、Sn與an的關(guān)系,常要用到基本量、性質(zhì),其中基本量占很大比例.從命題的內(nèi)容來(lái)看,數(shù)列的解答題第(1)問(wèn)主要考查求通項(xiàng)公式,第(2)問(wèn)常常考查數(shù)列的求和等.其中,求通項(xiàng)公式主要研究等差數(shù)列、等比數(shù)列兩類問(wèn)題;已知遞推關(guān)系、Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)經(jīng)常會(huì)考查等差等比數(shù)列的判斷或證明;求和主要研究等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)求和等四類問(wèn)題,個(gè)別與不等式、最值相結(jié)合.從命題的難度來(lái)看,題目基本都集中在17題上,個(gè)別年份出現(xiàn)在18題或19題,以簡(jiǎn)單題為主,難度保持穩(wěn)定.

        【命題趨勢(shì)】

        從命題的內(nèi)容來(lái)看,等差數(shù)列、等比數(shù)列所占比例非常大,相鄰兩項(xiàng)之間的遞推公式與已知Sn與an關(guān)系式求通項(xiàng)公式也是重要的考查內(nèi)容.從命題的呈現(xiàn)方式來(lái)看,全國(guó)卷非常重視基礎(chǔ)知識(shí)基本方法的滲透,絕大多數(shù)題背景簡(jiǎn)單,直接利用通項(xiàng)公式與求和公式去求解.從命題的難度來(lái)看,基本保持穩(wěn)定,以中檔題為主.難點(diǎn)主要集中在相鄰兩項(xiàng)之間的遞推公式與Sn和an的關(guān)系式上,特別是與函數(shù)最值相結(jié)合問(wèn)題.從解題方法來(lái)看,大部分題可以直接使用基本量進(jìn)行運(yùn)算,難題可以從條件入手,靈活運(yùn)用遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,需要較強(qiáng)的計(jì)算能力.

        【變式】

        設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).

        (1)求{an}的公比;

        (2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

        【解析】(1)設(shè){an}的公比為q,a1為a2,a3的等差中項(xiàng),

        所以2a1=a2+a3,

        即2a1=a1q+a1q2,又a1≠0,

        所以q2+q-2=0,因?yàn)閝≠1,所以q=-2.

        (2)由a1=1,q=-2可求得nan=n·(-2)n-1,設(shè)nan的前n項(xiàng)和為Tn,則

        Tn=1·(-2)0+2·(-2)1+3·(-2)2+…+n·(-2)n-1,

        -2Tn=1·(-2)1+2·(-2)2+3·(-2)3+…+(n-1)·(-2)n-1+n·(-2)n,

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