江蘇

章節(jié)的起始課承載了該章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò),不僅僅是簡單的新概念導(dǎo)入.教師應(yīng)該去了解編寫者的用意,在章節(jié)起始課中挖掘更多的內(nèi)容,精心設(shè)計(jì)起始課,讓起始課更加合理、充實(shí).起始章節(jié)的導(dǎo)入語背后蘊(yùn)藏著許多的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極佳素材.通過對這些文字的解讀,更能夠讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的必要性,通過知識(shí)概念的引入,也能更好地解釋身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.

新教材中將三角函數(shù)的章節(jié)前置,放在了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后,明顯是為了讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì).從一般函數(shù)到具體的函數(shù),逐漸加深對函數(shù)的理解,更加有效、深刻地提升對函數(shù)的學(xué)習(xí).而三角函數(shù)作為有別于之前的指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù),其最大特點(diǎn)是周期變化規(guī)律.在新教材第五章開篇語中,課本就已經(jīng)點(diǎn)明了主題，“三角函數(shù)是用于刻畫周期變化規(guī)律的一類特殊函數(shù)”,讓學(xué)生腦海中先呈現(xiàn)出三角函數(shù)所要研究的重點(diǎn)性質(zhì).

周期變化中最簡單的運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng).而任意角和弧度制這一節(jié)的開篇語就使用圓周運(yùn)動(dòng)作為切入點(diǎn),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其周期變化的本質(zhì)是由圓上點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成角度旋轉(zhuǎn),引發(fā)圓上點(diǎn)P的位置發(fā)生變化.在旋轉(zhuǎn)過程中又發(fā)現(xiàn)角度的旋轉(zhuǎn)超出了初中的認(rèn)知,所以需要進(jìn)一步擴(kuò)大角的范圍,進(jìn)而引入本節(jié)課的課題——任意角.

在初步了解了新教材編排及導(dǎo)入語、開篇語的用意后,筆者認(rèn)真準(zhǔn)備了一節(jié)任意角的新授課,現(xiàn)將該課的教學(xué)過程、設(shè)計(jì)意圖及教學(xué)后的思考做如下總結(jié),與讀者分享,希望得到指正！

1.教學(xué)目標(biāo)指定

1.1學(xué)情分析

學(xué)生在初中已學(xué)過角的概念,但是僅僅停留在靜態(tài)圖形的認(rèn)知上.原有對角度的認(rèn)知已經(jīng)不能完全解釋生活中所遇到的實(shí)際現(xiàn)象,角的擴(kuò)充成為了迫切需要解決的問題.當(dāng)然學(xué)生對任意角的概念還是比較陌生的,需要通過動(dòng)態(tài)演示,讓其感悟動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)形成角.

1.2教學(xué)目標(biāo)(重點(diǎn)、難點(diǎn))

從生活中的實(shí)際場景出發(fā),感受角的擴(kuò)充的必要性,理解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的價(jià)值,體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中處處充滿數(shù)學(xué).

教學(xué)重點(diǎn):將0°到360°范圍的角度擴(kuò)充到任意角.

教學(xué)難點(diǎn):任意角概念的形成與建構(gòu),如何表示終邊相同角的集合.

1.3教學(xué)策略的選擇

從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā),結(jié)合實(shí)際問題(例如體操和跳水運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)體、齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、時(shí)鐘指針的旋轉(zhuǎn)等),引發(fā)學(xué)生對現(xiàn)有角認(rèn)知的沖突,從而引出角度范圍的推廣問題.為了將任意角統(tǒng)一規(guī)范的表示出來,再次引入象限角,并研究終邊相同角的特征,建立“背景(實(shí)際問題)——定義(知識(shí)建構(gòu))——量化(相等角,角的加減)——表示(象限角,終邊相同角)——性質(zhì)(完善概念)”的研究路徑.過程中鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考,大膽探索,增強(qiáng)交流合作與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

2.教學(xué)過程

2.1整體把握三角函數(shù)的本質(zhì)(周期性)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中,三角函數(shù)被安排在“主題二函數(shù)”中,把“函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用”視為一個(gè)整體.其中三角函數(shù)是一類典型的周期函數(shù),周期性也是有別于其他初等函數(shù)的重要性質(zhì).課堂開篇點(diǎn)明主題有助于學(xué)生整體理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用等內(nèi)容.所有周期變化運(yùn)動(dòng)中最簡單的周期運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng),將圓周運(yùn)動(dòng)放在本節(jié)課內(nèi)容的前面,也是為了幫助學(xué)生建立簡單的周期概念,為后階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容埋下伏筆.

2.2復(fù)習(xí)回顧,喚起學(xué)生對角的認(rèn)知

問題:初中的角度是如何定義的?我們已經(jīng)學(xué)過了哪些角?它們的范圍分別是多少?

設(shè)計(jì)意圖:先回顧已有的角的概念,為后階段現(xiàn)實(shí)問題中的角度引發(fā)認(rèn)知沖突以及為任意角的推廣做好了鋪墊,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)認(rèn)知的規(guī)律.

2.3借助生活情景,初步體驗(yàn)旋轉(zhuǎn)角

情景1:觀看視頻,在跳水運(yùn)動(dòng)中,中國運(yùn)動(dòng)員騰空旋轉(zhuǎn)的慢動(dòng)作,向前翻騰兩周半、向后翻騰一周半.

情景2:觀察兩個(gè)相互咬合的機(jī)械齒輪旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)視頻.

情景3:利用鐘表校準(zhǔn)時(shí)間,若時(shí)鐘快了一小時(shí)10分鐘或慢了兩小時(shí),該如何調(diào)整?

學(xué)生分組討論,探討上述情景中涉及的角度,并與之前所學(xué)的角度進(jìn)行比較.

設(shè)計(jì)意圖:情景中都隱藏著角的概念,但又與學(xué)生原有的認(rèn)知有沖突,如何從情景中提出問題,這也是新課程理念下學(xué)生需要具備的素養(yǎng)，即用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界.當(dāng)遇到的問題與原有知識(shí)體系發(fā)生矛盾時(shí),也能激發(fā)學(xué)生探求新知識(shí)的欲望.

2.4交流探究,建構(gòu)任意角的概念

教師繼續(xù)追問,從上述實(shí)例中不難發(fā)現(xiàn)原有知識(shí)體系中的角度的范圍太小,不能完全解釋生活中所遇到的“角”,所以應(yīng)該對原有角的概念重新定義,將角的范圍擴(kuò)大.但如何重新定義角才能使它更全面、更科學(xué)呢?下面學(xué)生進(jìn)行分組探究,最后師生共同得出如下總結(jié):

(1)初中原有角的概念是靜態(tài)的,共起點(diǎn)的兩條射線所圍成的圖形,這樣的靜態(tài)圖形無法解釋超過360°的角,應(yīng)當(dāng)從旋轉(zhuǎn)的角度去重新定義角度的概念,以解決角度范圍的問題；

(2)旋轉(zhuǎn)的大小確定了,但是在原有的問題情景中都涉及了旋轉(zhuǎn)方向,(結(jié)合正負(fù)數(shù)的類比)確立的旋轉(zhuǎn)方向決定角度的正負(fù).

教師最終指導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行任意角概念的刻畫.

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過情景容易總結(jié)出通過旋轉(zhuǎn)角擴(kuò)充角的大小,同時(shí)借助順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)區(qū)分角的正負(fù),從而真正地對任意角進(jìn)行自主定義,這樣生成概念的過程也能引導(dǎo)學(xué)生真正做到“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.

2.5統(tǒng)一規(guī)范,引入象限角、軸線角

教師讓學(xué)生畫出450°的角,并展示學(xué)生所畫的圖形,指出問題(由于角度的大小超過了360°，所以要標(biāo)注旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),同時(shí)由于是正角,其旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針),在展示的過程中引導(dǎo)學(xué)生觀察,同樣的角度,為何得到的圖象各異?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)——始邊位置的不同,進(jìn)而引出象限角及軸線角.

設(shè)計(jì)意圖:在未規(guī)定起始位置時(shí),同樣大小及旋轉(zhuǎn)方向,所得的角并未達(dá)到統(tǒng)一規(guī)范,使學(xué)生對角的認(rèn)知再次跳出原有大小、方向的框架,嘗試統(tǒng)一、規(guī)范的在直角坐標(biāo)系內(nèi)去表示角.

2.6引發(fā)思考,歸類終邊相同角

設(shè)計(jì)意圖:通過所畫的象限角,讓學(xué)生自主感悟終邊相同角應(yīng)當(dāng)具備的條件,同時(shí)也呼應(yīng)本節(jié)課開篇內(nèi)容,再次強(qiáng)調(diào)角度所具有的周而復(fù)始(周期性)的特質(zhì),為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).教學(xué)過程中，教師培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、提煉總結(jié)的能力,激發(fā)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維去解釋世界”.

2.7歸納提煉、總結(jié)運(yùn)用

課末師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容及過程,歸納總結(jié)所學(xué)的知識(shí):任意角(正角、負(fù)角、零角)、象限角(始邊、終邊所在位置)、與終邊相同角的集合.過程中涉及由靜態(tài)的圖形到動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)生成任意角,類比實(shí)數(shù)的正負(fù)推廣正負(fù)角,統(tǒng)一規(guī)范的定義了象限角、軸線角,從終邊相同角的“形”去總結(jié)其“數(shù)”的結(jié)構(gòu).

教學(xué)中遵循知識(shí)的認(rèn)知過程,讓學(xué)生經(jīng)歷“研究問題的背景——定義生成——性質(zhì)特征歸類總結(jié)——思考應(yīng)用”的研究主線來學(xué)習(xí)新概念“任意角”,在學(xué)習(xí)過程中也不斷地灌輸著周期性這一理念,幫助學(xué)生構(gòu)建起周期函數(shù)這一概念,為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

3.章節(jié)起始課教學(xué)的若干思考

章節(jié)起始課中,教師不僅要導(dǎo)入新概念教學(xué)環(huán)節(jié),更重要的是整體把握本章節(jié)所要研究的問題輪廓,讓學(xué)生架構(gòu)起該章節(jié)內(nèi)容的知識(shí)體系,將原有的知識(shí)內(nèi)容與新知識(shí)進(jìn)行融合,讓學(xué)生感悟新概念產(chǎn)生的必要性,同化新概念.使抽象的形象化、形象的具體化、復(fù)雜的簡明化,建立新概念與原有知識(shí)的聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)的正向遷移；并用有效的方法降低學(xué)生在新概念理解上的難度,使學(xué)生能對概念系統(tǒng)化、概括化.在此過程中教師也應(yīng)當(dāng)注意以下幾個(gè)方面.

3.1加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的總體分析

數(shù)學(xué)概念是每節(jié)新課的重點(diǎn)內(nèi)容,如何引出概念是教師課堂上要重點(diǎn)關(guān)注的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)情景中對問題的衍生,是學(xué)生所遇問題的一次新的探索.開篇語中往往會(huì)將本節(jié)課、本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行高度概括,教師應(yīng)該從高角度去分析這些概念,幫助學(xué)生搭好知識(shí)體系的框架.當(dāng)然在具體解讀各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)概念的時(shí)候,教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析,揭示每一個(gè)詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義,使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性.

數(shù)學(xué)概念的用語、用詞一般都非常嚴(yán)密、精煉,具有高度的概括性,概括總結(jié)新知識(shí)時(shí),教師可以先讓學(xué)生用熟悉的語言表述,然后再規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厝蛯W(xué)生修正，提煉出精準(zhǔn)的概念表述,長期訓(xùn)練也會(huì)大大增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,真正將學(xué)生所要具備的核心素養(yǎng)落到實(shí)處.

3.2注意概念的對比和直觀化

高中數(shù)學(xué)的概念形成有時(shí)也是對初中概念的衍生,當(dāng)初中的知識(shí)與現(xiàn)有的現(xiàn)象發(fā)生矛盾的時(shí)候,務(wù)必要將原有的知識(shí)進(jìn)行擴(kuò)充才能更準(zhǔn)確的解釋生活中的現(xiàn)象.這樣的對比也能更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

數(shù)學(xué)中有許多概念是平行相關(guān)的,如果能將它們有機(jī)地聯(lián)系在一起進(jìn)行類比,就可以得到由此及彼、溫故而知新的效果.有些數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系緊密、差別較小、形式相似,容易被學(xué)生混淆.對這些概念,要讓學(xué)生比較它們的內(nèi)涵和外延,在比較中加以鑒別,澄清模糊.數(shù)學(xué)教材一般都是從正面闡述概念,這容易使學(xué)生形成思維定式,妨礙對概念的深刻理解.因此,教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從正反兩方面去認(rèn)識(shí)概念.比如,可以利用若干反例,讓學(xué)生從反面去認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵和外延.

如在復(fù)數(shù)概念的教學(xué)中,可以通過設(shè)計(jì)相應(yīng)問題串的形式讓學(xué)生加深對復(fù)數(shù)的理解:①復(fù)數(shù)作為“數(shù)”與實(shí)數(shù)的區(qū)別；②復(fù)數(shù)具有二元數(shù)的特性,是否可以和點(diǎn)的坐標(biāo)、向量相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)；③復(fù)數(shù)與坐標(biāo)點(diǎn)及向量有聯(lián)系,那復(fù)數(shù)又會(huì)有哪些運(yùn)算性質(zhì).通過這些問題串的設(shè)計(jì),學(xué)生自然會(huì)將復(fù)數(shù)的概念與原有知識(shí)體系中的實(shí)數(shù)、解析幾何、向量等內(nèi)容聯(lián)系形成新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

3.3幫助學(xué)生形成知識(shí)體系

數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中,不僅僅只是單一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí),教師要幫助學(xué)生去揭示新概念與舊知識(shí)間的聯(lián)系.通過以舊帶新加深對知識(shí)內(nèi)容的理解,過程中促進(jìn)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的提升,很多時(shí)候?qū)W生在處理綜合問題時(shí)感到困難重重,就是因?yàn)椴荒艽?lián)知識(shí),不能把握問題的本質(zhì)內(nèi)容.面對本節(jié)課所要教授的概念,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過圖表、思維導(dǎo)圖等方式構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，厘清它們的區(qū)別與聯(lián)系,讓學(xué)生既從橫向又在縱向上加深對新概念的理解.整個(gè)章節(jié)起始課中，教師的主要任務(wù)是優(yōu)化單元教學(xué)的局部設(shè)計(jì),同時(shí)厘清知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系.學(xué)生的任務(wù)則是把攝取和理解的概念印入頭腦中,以便在需要時(shí)能及時(shí)地提取出來加以運(yùn)用,最終達(dá)到構(gòu)建起良好的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的.

4.結(jié)束語

章節(jié)起始課不僅是知識(shí)的開端,它還有著承上啟下的作用,教師應(yīng)該以它為抓手更好地滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng).通過深度解讀這部分內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)的深加工,挖掘問題的本質(zhì),引發(fā)對知識(shí)的深度思考,增強(qiáng)其自身的思維能力,從簡單的知識(shí)學(xué)習(xí)走向思維能力的發(fā)展.