福建

數(shù)學(xué)試題命制是數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)素質(zhì)的一個重要方面,富有挑戰(zhàn)性,頗具創(chuàng)新性，同時要求命題者深入學(xué)習(xí)學(xué)科本質(zhì),提升學(xué)科素養(yǎng).根據(jù)試題的考查要求,源自本質(zhì),科學(xué)合理地設(shè)置試題的條件和結(jié)論,往往能使試題的命制去模式化,更具創(chuàng)新性.本文就基于本質(zhì)的幾何試題命制,結(jié)合筆者近幾年參加的各級命題活動所命制的試題,談?wù)剛€人的觀點與想法,旨在拋磚引玉.

1.基于曲線定義

定義是數(shù)學(xué)的本質(zhì)之一,曲線的定義揭示了運動中的不變性,也蘊藏著定值關(guān)系,可以以定值為條件,設(shè)置有關(guān)的最值問題.

1.1 命題案例1

1.1.1 試題內(nèi)容

(2014·泉州市質(zhì)檢理·20)幾何特征與圓柱類似,底面為橢圓面的幾何體叫作“橢圓柱”.圖1所示的“橢圓柱”中,A′B′,AB和O′,O分別是上、下底面兩橢圓的長軸和中心,F1,F2是下底面橢圓的焦點.圖2是圖1“橢圓柱”的三視圖及尺寸,其中俯視圖是長軸在一條水平線上的橢圓.

(Ⅰ)若點M,N分別是上、下底面橢圓的短軸端點,且位于平面AA′B′B的兩側(cè).

(ⅰ)求證:OM∥平面A′B′N；

(ⅱ)求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值.

圖1

正視圖

俯視圖圖2

1.1.2 命題意圖

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、空間向量、三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想及應(yīng)用意識.

1.1.3 試題解析

(Ⅰ)(ⅰ)連接O′M,O′N,∵O′O⊥底面O′,O′M?底面O′,∴O′O⊥O′M.

∵O′M⊥A′B′,O′O?平面AA′B′B,A′B′?平面AA′B′B,A′B′∩O′O=O′,

∴O′M⊥平面AA′B′B.

同理,可證ON⊥平面AA′B′B,∴O′M∥ON.

又∵O′M=ON,∴四邊形ONO′M為平行四邊形,∴OM∥O′N.

又∵OM?平面A′B′N,O′N?平面A′B′N,∴OM∥平面A′B′N.

如圖,以O(shè)為原點,AB所在直線為x軸,ON所在直線為y軸，OO′所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

∵z軸⊥平面ABN,∴可取平面ABN的一個法向量n1=(0,0,1).

擴展性腹部創(chuàng)傷超聲重點評估（eFAST）指的是臨床醫(yī)師對創(chuàng)傷患者實施床旁超聲評估，判斷受損情況的方式，這項技術(shù)是基于FAST方案改進的一項新型方法，由于效果明顯，受到了很多患者和醫(yī)療工作者的認(rèn)可，在全世界范圍內(nèi)廣泛應(yīng)用[1]。我院為了對其實際效果進行深入探究分析，選取了部分患者作為觀察對象進行研究，現(xiàn)將報道整理如下。

證明：∵N′是點N在上底面的投影,∴N′N⊥上底面O′,

∵上下兩底面互相平行,∴N′N⊥下底面O,即N′N⊥平面ABN,

又∵NF1,NF2?平面ABN,∴NN′⊥NF1,NN′⊥NF2.

1.1.4命制心路

1.1.5 試題亮點

①背景新穎,交匯自然

試題類比圓柱的幾何體特征,引入“橢圓柱”,以“橢圓柱”為背景,實現(xiàn)立體幾何、解析幾何、不等式、三角函數(shù)等知識的自然融合交匯,使試題內(nèi)容飽滿,不見生搬硬套,渾然天成.

②回歸定義,重視本質(zhì)

定義是一些數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)的本質(zhì)之一,理解掌握定義是學(xué)好數(shù)學(xué)的首要條件.試題從橢圓的本質(zhì)定義出發(fā),得到定值條件,通過消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而求解出tan(α+β)的取值范圍,進而強調(diào)了數(shù)學(xué)定義的重要性.

③多元考查,注重通法

從考查的知識看,試題考查了直線與平面平行、二面角、橢圓、三角函數(shù)以及不等式等知識點,“雜而不亂”；從考查數(shù)學(xué)思想方法與能力要求看,考查的數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想,考查的能力包括空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識,試題的求解方法不偏不怪,注重通性通法,體現(xiàn)高考試題的命題理念.

④能力立意,倡導(dǎo)探索

《考試說明》中指出,“以能力立意命題”是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點和考試目標(biāo)所決定的.命題應(yīng)突出能力立意,對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用,力求突破固定的解答模式,要求考生抓住問題的實質(zhì),對試題提供的信息進行分檢、組合、加工,尋找解決問題的辦法.倡導(dǎo)開放探索,關(guān)注創(chuàng)新意識是新課程的理念之一.試題力求考查數(shù)學(xué)的各方面能力,采用恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問形式,引導(dǎo)學(xué)生積極探索,大膽實踐.

2.基于識圖能力

幾何學(xué)的研究對象是幾何圖形,看懂、看透圖形即“識圖”能力是關(guān)鍵,如何看懂圖形呢？對于識圖,應(yīng)注意條理性,從模糊到清晰,從整體到局部,既見“森林”又見“樹木”,可以更清楚地看懂、看透幾何圖形.幾何試題命制要求命題者對幾何圖形有深度的認(rèn)識.

2.1 命題案例2

2.1.1 試題內(nèi)容

()

2.1.2 命題意圖

本題是以新定義為背景,考查了雙曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率與傾斜角、三角函數(shù)等知識；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想及創(chuàng)新意識等；考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等.具有一定的難度,能夠起到“壓軸”的效果.

2.1.3 試題解析

由“確界角”的定義可知,曲線C相對于點O的“確界角”的兩邊所在直線就是它的漸近線或經(jīng)過點O的曲線的切線.

②當(dāng)x>0時,曲線y=xex-1+1存在過點O的切線,設(shè)切點P(x0,x0ex0-1+1),

令f(t)=t2et-1-1(t>0),則f′(t)=(t2+2t)et-1>0,

所以f(t)=t2et-1-1在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=0,

所以過點O曲線y=xex-1+1的切線的斜率k=2.設(shè)切線的傾斜角為β,則tanβ=2,

2.1.4 命制心路

①歸納——從具體到抽象,從特殊到一般

筆者在命題過程中,考慮到試卷的權(quán)重,需要一個考查有關(guān)雙曲線的試題,計劃安排在選擇題的最后一題,具有一定的“壓軸”效果.左思右想,分析了雙曲線的性質(zhì)與圖形特征,注意到雙曲線的漸近線刻畫了其“開口”的大小,從而產(chǎn)生一個想法,以漸近線的這個幾何特征下一個有關(guān)角的新定義,以這個定義為基礎(chǔ)考查雙曲線與其他知識融合交匯.

通過研究發(fā)現(xiàn),如果一條曲線在由一個定點引出的角的內(nèi)部,則這樣的角有無數(shù)多個,而且必定存在一個最小角.此時,突然想到這個最小角的特征與數(shù)學(xué)中的“上確界”的概念類似,從而引入了“確界角”的概念,初步作如下定義.

如圖(題中的圖),若曲線Γ在頂點為O的角α的內(nèi)部,A,B分別是曲線Γ上相異的任意兩點,且α≥∠AOB,我們把滿足條件的最小角α叫作曲線Γ相對于點O的“確界角”.

②演繹——從抽象到具體,從一般到特殊

2.1.5 試題亮點

①重視數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)重視數(shù)學(xué)的本質(zhì),試題的命制源于雙曲線,高于雙曲線.試圖從雙曲線的漸近線本質(zhì)特征出發(fā),自然地抽象出“確界角”的概念,達到“青出于藍而勝于藍”的效果.

②重視基本數(shù)學(xué)思想

試題考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及創(chuàng)新意識等數(shù)學(xué)思想與方法,體現(xiàn)了“多思少算”的高考命題理念.

③重視創(chuàng)新意識與自學(xué)能力

試題中提出了“確界角”的新概念,學(xué)生在作答時首先必須準(zhǔn)確理解這一新概念,并利用新概念進行解題.從而引導(dǎo)我們在教學(xué)活動中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與自學(xué)能力.

2.2 命題案例3

2.2.1 試題內(nèi)容

(2020·泉州市單科質(zhì)檢文·11)若橢圓E的頂點和焦點中,存在不共線的三點恰為菱形的中心和頂點,則E的離心率等于

()

2.2.2 命題意圖

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)等知識,考查運算求解能力等,考查數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等,導(dǎo)向關(guān)注直觀想象等核心素養(yǎng).

2.2.3 試題解析

依題意,可知菱形對角線互相垂直,即在橢圓的頂點和焦點中找到不共線的三點能構(gòu)成一個直角三角形,結(jié)合橢圓的對稱性,只需考慮以下三種情況:

①如圖1,若以頂點D,焦點B為菱形頂點,C為中心,則DC⊥BC,由勾股定理得,(a2+b2)+a2=(a+c)2,由b2=a2-c2化簡得c2+ac-a2=0,

圖1 圖2

圖3

2.2.4 命制心路

2.2.5 試題亮點

試題表述簡潔,親切自然,但內(nèi)容豐富,有一定的思維量.條件中巧妙地利用菱形掩蓋了直角三角形的條件,解題者分析題意時需透過現(xiàn)象看本質(zhì),即透過菱形看到直角三角形,而且需利用橢圓的對稱性合理分類,簡化討論的情況.試題自然地考查分類與整合思想,考查了思維的條理性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.基于思想方法

坐標(biāo)法是解析幾何的本質(zhì)思想方法,是幾何問題代數(shù)化的重要方法,數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的重要思想.數(shù)與形的互譯是理解應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵能力.

3.1 命題案例4

3.1.1 試題內(nèi)容

(2020·泉州市單科質(zhì)檢文·20)已知拋物線E的頂點在原點,焦點在y軸上,過點A(1,0)且斜率為2的直線與E相切.

(Ⅰ)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過A的直線l與E交于P,Q兩點,與y軸交于點R,證明:|AR|2=|AP|·|AQ|.

3.1.2 命題意圖

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等,體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性,導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的關(guān)注.

3.1.3 試題解析

解:(Ⅰ)過點A(1,0)且斜率為2的直線方程為y=2(x-1),即y=2x-2,

所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y.

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

3.1.4 命制心路

3.1.5 試題亮點

試題巧妙地利用數(shù)形結(jié)合思想,將數(shù)量關(guān)系幾何化,將代數(shù)關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系,設(shè)置幾何關(guān)系的證明題,試題表述簡潔,內(nèi)容豐富,解法多樣,覆蓋較多的知識方法與思想,特別在試題的講評方面具有很高的價值功能.

4.試題命制感悟

經(jīng)歷了近十年的數(shù)學(xué)命題實踐,筆者在個人業(yè)務(wù)成長方面、試題命制方面等都有深刻的感觸.數(shù)學(xué)試題命制,可促動命題者深入研究考試說明、教材、學(xué)科本質(zhì)等,快速提升個人綜合業(yè)務(wù)素質(zhì).在數(shù)學(xué)命題方面,筆者也有一些經(jīng)驗與感想.

4.1 思想的正確導(dǎo)向性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出,高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實立德樹人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識,提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).試題命制首先應(yīng)重視試題的思想正確導(dǎo)向,充分發(fā)揮試題的育人功能.通過試題,陶冶情操,滲透德育與美育,引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀等,培養(yǎng)良好的思想品質(zhì)和思維品質(zhì).

4.2 試題的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性是試題命制的基本要求,試題素材與試題的邏輯等方面都應(yīng)保證不能出問題,確?？茖W(xué)嚴(yán)謹(jǐn).

4.3 試題表達的簡潔性

試題的表述應(yīng)盡量簡潔,言簡意賅,清楚地表述條件與設(shè)問.

4.4 條件呈現(xiàn)的條理性

試題的條件表述應(yīng)按照一定的順序呈現(xiàn),符合一般的認(rèn)知規(guī)律,讓解答者在閱讀的過程中可以更快讀懂題意.如立體幾何試題的條件呈現(xiàn),可按照從“定性”到“定量”、“從上到下”等順序,讓解答者在讀題過程中能夠順其自然地在腦海中浮現(xiàn)出相應(yīng)的幾何圖形.

4.5 定義表述的準(zhǔn)確性

命制創(chuàng)新型試題時,為了考查在新情境中閱讀理解新材料,從而進行完成某種推理,往往要引入新定義,對新定義的表述應(yīng)講究嚴(yán)謹(jǐn)性,言簡意賅,表達準(zhǔn)確.

4.6 設(shè)問的難度遞進性

若試題需設(shè)置多個小問題時,應(yīng)注意從易到難地設(shè)問,也適度地考慮前后承接關(guān)系,使得整道試題“順暢”,不顯拼湊、造作.

4.7 試題交匯的自然性

知識交匯,也是常見的試題命制的一種手法,試題中的知識交匯應(yīng)自然融合,不生硬,有渾然天成之感.

4.8 試題解法的多樣性