夏夢(mèng)頤，王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 福建 福州 350116)

0 引言

在對(duì)模糊集理論[1]進(jìn)行深入研究后，Atanassov[2]提出了直覺(jué)模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)概念，定義了隸屬度、非隸屬度和猶豫度來(lái)描述客觀事物的模糊性和不確定性，為直覺(jué)模糊集理論的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因直覺(jué)模糊集具有良好的包容性及表達(dá)性，所以被廣泛應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域，例如航空軍貿(mào)、應(yīng)急決策、醫(yī)療診斷、人力資源等[3-6]。

直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題中，屬性權(quán)重對(duì)決策結(jié)果具有重大影響，其分配可分為兩類(lèi)情況。一是權(quán)重完全已知的情況，即屬性權(quán)重是決策者主觀給出的：梅曉玲[7]構(gòu)造新的記分函數(shù)并引入相似度概念，利用已知權(quán)重對(duì)動(dòng)態(tài)直覺(jué)模糊決策問(wèn)題中的方案進(jìn)行加權(quán)集成并排序；李磊等[8]依據(jù)最小化最大妥協(xié)度的決策準(zhǔn)則，考慮含有決策主體權(quán)重的決策情景，給出個(gè)體偏好值的集結(jié)算法及決策方法。二是權(quán)重部分未知或完全未知的情況：汪峰等[9]給出了一種改進(jìn)的直覺(jué)模糊熵定義，通過(guò)建立非線性規(guī)劃模型得到屬性權(quán)重并利用協(xié)相關(guān)度對(duì)方案進(jìn)行排序；張洋銘等[10]采用投影法和直覺(jué)模糊熵確定權(quán)重信息，然后運(yùn)用直覺(jué)模糊物元多屬性決策方法進(jìn)行實(shí)例分析。而在現(xiàn)實(shí)情況中，決策問(wèn)題往往伴隨著決策者的主觀偏好和決策問(wèn)題的客觀條件，若單獨(dú)考慮一方來(lái)確定屬性權(quán)重分配，會(huì)使決策結(jié)果較為片面，不符合實(shí)際情況。

在決策信息集結(jié)方面，采用層次分析法、理想點(diǎn)法、選擇法等方法處理直覺(jué)模糊決策信息存在一定的局限性，容易造成決策信息部分流失的問(wèn)題。證據(jù)推理是由Yang等[11]在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上提出的一種融合不確定信息的方法。因其能夠很好保留整體決策信息的特點(diǎn)，在直覺(jué)模糊多屬性決策領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用。包甜甜等[12]通過(guò)直覺(jué)模糊集統(tǒng)一不同類(lèi)型的屬性值，提出了一種基于前景理論和證據(jù)推理的混合多屬性決策方法；代文鋒等[13]將證據(jù)推理方法運(yùn)用于直覺(jué)模糊多屬性群決策問(wèn)題，彌補(bǔ)了現(xiàn)有直覺(jué)模糊信息融合的不足；劉文清等[14]在對(duì)不完全信息進(jìn)行補(bǔ)缺后，運(yùn)用證據(jù)推理方法融合直覺(jué)模糊決策信息，選擇最優(yōu)方案。

綜上所述，本文將在綜合考慮屬性客觀性和決策者主觀性的前提下，提出一種新的權(quán)重優(yōu)化公式，對(duì)屬性權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化分配，使權(quán)重值更符合實(shí)際情況。其次，利用證據(jù)推理方法集結(jié)不確定性決策信息，再通過(guò)新的記分函數(shù)對(duì)方案進(jìn)行排序。最后，用算例對(duì)比分析本文方法的可行性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 直覺(jué)模糊集

直覺(jué)模糊集由模糊集發(fā)展而來(lái)，是模糊集發(fā)展的一個(gè)分支，能夠很好地描述不確定信息。

定義1[2]假設(shè)直覺(jué)模糊集α={〈x,μα(x),να(x)〉|x∈Φ}，該式的含義可表述為非空集合Φ中有元素x屬于α，且其隸屬度為μα(x)，非隸屬度為να(x)，猶豫度為πα(x)=1-μα(x)-να(x)，其中μα:Φ→[0,1],να:Φ→[0,1]，且必須滿足0≤μα(x)+να(x)≤1,?x∈Φ。μα(x)和να(x)組成的有序?qū)?μα(x),να(x))稱為直覺(jué)模糊數(shù)。

定義2[1]設(shè)α={〈x,μα(x),να(x)〉，x∈Φ}，β={〈x,μβ(x),νβ(x)〉，x∈Φ}是兩個(gè)直覺(jué)模糊集，若μα(x)≥μβ(x)，να(x)≤νβ(x)，則α≥β，當(dāng)且僅當(dāng)μα(x)=μβ(x)，να(x)=νβ(x)時(shí)，α=β。

1.2 證據(jù)推理

證據(jù)推理由證據(jù)理論發(fā)展而來(lái)，克服了證據(jù)理論中存在的悖論現(xiàn)象，能夠較好融合各類(lèi)不確定信息并盡可能保留決策信息不流失，被廣泛應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域。

定義4[16]證據(jù)推理法中，設(shè)有n個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)構(gòu)成辨識(shí)框架Θ，記為Θ={Hn，n=1,2,…,N}；各個(gè)屬性是決策問(wèn)題方案集中的證據(jù)，記為ei(i=1,2,…,I)。則證據(jù)ei的評(píng)價(jià)結(jié)果可以表示為

S(ei)={(Hn,βn,i),n=1,2,…,N},i=1,2,…,I，

(1)

2 問(wèn)題描述

(2)

3 決策方法

3.1 基于直覺(jué)模糊熵和相似度的屬性權(quán)重優(yōu)化

優(yōu)化權(quán)重需要考慮兩個(gè)部分，一是決策者主觀確定的權(quán)重，二是屬性自身客觀確定的權(quán)重。一般而言，主觀權(quán)重都是根據(jù)決策者經(jīng)驗(yàn)或者環(huán)境條件直接給出的，而客觀權(quán)重由決策信息的具體情況決定。在直覺(jué)模糊數(shù)的背景下，可以通過(guò)直覺(jué)模糊熵和直覺(jué)模糊相似性兩方面來(lái)綜合考慮屬性的客觀權(quán)重。

直覺(jué)模糊熵是對(duì)直覺(jué)模糊集不確定性的定量描述，用以衡量直覺(jué)模糊集的模糊程度。直覺(jué)模糊熵越大，說(shuō)明該直覺(jué)模糊集不確定程度越高。張毛銀等[17]對(duì)比分析了現(xiàn)有計(jì)算直覺(jué)模糊熵方法存在的不足，利用核概念來(lái)描述隸屬度與非隸屬度之間產(chǎn)生的偏差，再結(jié)合猶豫度提出了一種新的直覺(jué)模糊熵計(jì)算方法。

(3)

其中：ηj(Ai)=|μj(Ai)-νj(Ai)|表示直覺(jué)模糊數(shù)〈μj(Ai),νj(Ai)〉的核；πj(Ai)=1-μj(Ai)-νj(Ai)表示直覺(jué)模糊數(shù)〈μj(Ai),νj(Ai)〉的猶豫度。由此可以得出屬性Cj的直覺(jué)模糊熵為E(Cj)。

直覺(jué)模糊相似度是對(duì)兩個(gè)直覺(jué)模糊集相似性的定量描述，用以衡量直覺(jué)模糊集的相似程度。直覺(jué)模糊相似度越高，說(shuō)明不同直覺(jué)模糊集越相似。Song等[18]對(duì)比發(fā)現(xiàn)已有的直覺(jué)模糊相似度測(cè)量方法會(huì)出現(xiàn)與直覺(jué)相反的結(jié)果，通過(guò)界定隸屬度與非隸屬度的上下界并結(jié)合猶豫度，提出了一種符合人們直覺(jué)判斷的新的直覺(jué)模糊相似度測(cè)量方法。

(4)

其中：α≠β，表示比較兩個(gè)不同屬性的相似度，所以某個(gè)特定屬性Cj的相似度需要將包含該屬性的相似度比較進(jìn)行結(jié)合，

(5)

(6)

3.2 基于證據(jù)推理的直覺(jué)模糊信息融合

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

結(jié)合證據(jù)推理融合公式，將所有屬性對(duì)應(yīng)的決策信息進(jìn)行融合。

(12)

(13)

(14)

(15)

故可得到方案Ai的評(píng)價(jià)結(jié)果，表示為S(Ai)={(Hq,βq,i),q=1,2}，其中不確定性表示為βH,i，

(16)

(17)

將融合信息進(jìn)行整理得到方案Ai的直覺(jué)模糊數(shù)為〈μi,νi〉，其中：μi=β1,i；νi=β2,i。

3.3 基于新的記分函數(shù)的方案大小排序

直覺(jué)模糊數(shù)可以通過(guò)記分函數(shù)比較大小。在綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三者的情況下，本文引用了一種新的記分函數(shù)計(jì)算方法[19]，較為客觀合理地確定不同直覺(jué)模糊數(shù)的大小。記分函數(shù)越大，說(shuō)明相應(yīng)的直覺(jué)模糊數(shù)越優(yōu)。

定義5[19]設(shè)任意直覺(jué)模糊集α={〈x,μα(x),να(x)〉|x∈Φ}，稱

(18)

為直覺(jué)模糊集的記分函數(shù)，其中：

H是直覺(jué)模糊交叉熵[20]，用來(lái)表示隸屬度和非隸屬度的交互情況。

將上述步驟得到的方案Ai的直覺(jué)模糊數(shù)為〈μi,νi〉，通過(guò)此方法得到相應(yīng)的記分函數(shù)φ(Ai)，比較大小，得出最優(yōu)方案。

通過(guò)上述方法，本文的決策流程為步驟1～4。

步驟1運(yùn)用公式(3)～(5)，分別計(jì)算出屬性Cj直覺(jué)模糊熵E(Cj)和直覺(jué)模糊相似度T(Cj)。

步驟3將直覺(jué)模糊數(shù)與證據(jù)推理模型相結(jié)合，運(yùn)用公式(7)～(17)對(duì)不同屬性的決策信息進(jìn)行融合，得到方案Ai的直覺(jué)模糊數(shù)為〈μi,νi〉。

步驟4運(yùn)用直覺(jué)模糊數(shù)的記分函數(shù)φ(α)確定方案Ai的大小，通過(guò)排序選出最優(yōu)方案。

4 算例分析

假設(shè)某作戰(zhàn)隊(duì)伍需要購(gòu)買(mǎi)一批武器進(jìn)行戰(zhàn)斗，有3家武器供應(yīng)商提供了相應(yīng)的武器方案Ai，i=1,2,3。武器購(gòu)買(mǎi)專家主要從3個(gè)方面考察武器方案的優(yōu)越性：突擊能力C1、反應(yīng)能力C2、機(jī)動(dòng)能力C3，均用直覺(jué)模糊數(shù)表示考察結(jié)果。專家A1的考察結(jié)果分別為C1=<0.5,0.3>，C2=<0.6,0.2>，C3=<0.5,0.1>；專家A2的考察結(jié)果分別為C1=<0.6,0.1>，C2=<0.5,0.4>，C3=<0.5,0.3>；專家A3的考察結(jié)果分別為C1=<0.7,0.2>，C2=<0.6,0.2>，C3=<0.5,0.2>。其中，專家給出各屬性權(quán)重為ω=(0.3,0.3,0.4)。

步驟1對(duì)屬性權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)合公式(3)～(5)，先后計(jì)算出各屬性的直覺(jué)模糊熵E(Cj)，E(C1)=0.446，E(C2)=0.510，E(C3)=0.546；直覺(jué)模糊相似度T(Cj)，T(C1)=0.978，T(C2)=0.986，T(C3)=0.985。

步驟3利用證據(jù)推理對(duì)各個(gè)方案中的不同屬性的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行融合，根據(jù)公式(7)～(17)計(jì)算得出各個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)，A1=〈0.595,0.193〉，A2=〈0.542,0.312〉，A3=〈0.616,0.239〉。

步驟4根據(jù)定義4給出的記分函數(shù)運(yùn)算方法，計(jì)算出各個(gè)方案的記分函數(shù)，進(jìn)行排序比較，選出最具有優(yōu)越性的方案。解得，φ(A1)=1.469，φ(A2)=1.239，φ(A3)=1.450，A1?A3?A2，故A1方案最優(yōu)。

結(jié)合專家給出各屬性權(quán)重為ω=(0.3,0.3,0.4)，利用文獻(xiàn)[14]的方法，得到三種方案的直覺(jué)模糊評(píng)價(jià)分別為A1=〈0.592,0.184〉，A2=〈0.577,0.266〉，A3=〈0.648,0.186〉，最后通過(guò)貼近度計(jì)算得到C(A1)=0.667，C(A2)=0.634，C(A3)=0.698，又因?yàn)橘N近度越大，方案越優(yōu)，故A3方案最優(yōu)。

兩種方法的比較如表1所示。

表1 文獻(xiàn)[14]方法與本文方法結(jié)果對(duì)比

經(jīng)過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本文方法得到結(jié)果與文獻(xiàn)[14]方法得到結(jié)果存在差異，其主要原因有兩點(diǎn)：一是文獻(xiàn)[14]沒(méi)有考慮權(quán)重的客觀性，而是直接采用了文中的主觀權(quán)重進(jìn)行證據(jù)推理計(jì)算，使得運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)偏差；二是文獻(xiàn)[14]的方案排序方法是比較直覺(jué)模糊數(shù)的貼近度，其計(jì)算公式中缺少對(duì)直覺(jué)模糊數(shù)猶豫度的考量，無(wú)法表現(xiàn)排序的全面性，使得排序結(jié)果出現(xiàn)偏差。綜上所述，本文方法從權(quán)重和排序兩方面對(duì)解決直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化，所選方案更符合實(shí)際需求，更為客觀合理。

5 結(jié)論

因直覺(jué)模糊集的兼容性，可以把不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為直覺(jué)模糊數(shù)且不出現(xiàn)信息缺失的情況，所以直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題涵蓋范圍很廣。本文提出了一種基于直覺(jué)模糊數(shù)和證據(jù)推理的多屬性決策方法。該方法將直覺(jué)模糊熵、直覺(jué)模糊相似度以及主觀權(quán)重相結(jié)合，通過(guò)熵權(quán)法優(yōu)化修正屬性權(quán)重，使各屬性權(quán)重分配更為合理。其次，利用證據(jù)推理方法融合直覺(jué)模糊信息，避免信息缺失的情況。最后，引入一種新的記分函數(shù)，綜合考慮方案的隸屬度、非隸屬度和猶豫度對(duì)方案進(jìn)行排序，選擇出最優(yōu)方案。算例驗(yàn)證了本文方法的可行性，通過(guò)與其他方法的對(duì)比凸顯了本文方法的優(yōu)越性，在直覺(jué)模糊多屬性決策領(lǐng)域具有一定的應(yīng)用價(jià)值。