彭瓊瑩
(浙江省臺州市黃巖區(qū)西江小學教育集團 浙江 臺州 318000)
排水法這個數(shù)學模型是從我們求不規(guī)則物體的體積引入的,通過轉化的思想將先前獲得的求規(guī)則物體體積的知識用于解決新的、不熟悉的不規(guī)則物體的體積。以橡皮泥跟石頭兩種不同的物體的體積為例,引導學生經(jīng)歷排水法解決問題的過程。
求不規(guī)則物體的體積的基本方法有兩個:一是等積變形把不規(guī)則物體的體積轉化成規(guī)則物體的體積;二是用排水法測量不規(guī)則物體的體積。通過轉化的思想達到問題的解決。從橡皮泥入手,讓學生理解等積變形的數(shù)學思想,然后再到石頭產(chǎn)生思維沖突,通過直觀的實驗操作,讓學生明白水面上升是因為投入了石頭,石頭占據(jù)了水的空間位置,所以增加的體積就是石頭的體積,“水和物體的體積-水的體積=物體的體積”。
然而,這只是排水法的初步模型,建立在容器足夠大,物體完全浸沒在水中的情況,而實際的解題中,排水法卻存在很多情形:
1.1 容器足夠大。這是最初步的模型,在這種情況下,水上升的體積就是物體的體積。
水和物體的體積-水的體積=水上升的體積=物體的體積
例如:有一個長方體容器,長5厘米,寬4厘米,高3厘米,容器水深2厘米,現(xiàn)有一個棱長為2厘米的正方體,浸到底部,水面如何變化?
根據(jù)已有信息,通過對比水深跟正方體的棱長,很明顯正方體可以完全浸沒,水上升的體積就是物體的體積。上升水的形狀取決于容器的形狀,應是長為5厘米,寬為4厘米的長方體,利用長方體體積公式,求高得出2×2×2÷5÷4=0.4(厘米),水面上升了0.4厘米。
1.2 容器不夠大。在這種情況下,水面同樣上升,然而由于容器本身不夠大,導致一部分上升的水溢出了,所以此時物體的體積由水上升的體積和溢出水的體積兩部分組成。
水上升的體積+溢出水的體積=物體的體積
例如:有一個長方體容器,長5厘米,寬4厘米,高3厘米,容器水深2厘米,現(xiàn)有一個棱長為3厘米的正方體,浸到底部,水如何變化?
從題中可以看出,這個容器水面最多只能上升1厘米,即可容納水的空間只剩5×4×(3-2)=20(立方厘米),而這個正方體的體積是3×3×3=27(立方厘米),從容器高度來說能完全浸沒正方體,但是造成水上升的體積已經(jīng)超過了容器所能容納的空間,水上升后會溢出。所以水面上升1厘米,并且溢出3×3×3-20=7(立方厘米)的水。
2.1 容器足夠大。有時候物體未必能完全浸沒在水中,此時,影響水面高度的并不是物體的整體,而只是物體浸沒在水中的部分。但是究竟有多少浸沒在水中?這不等于水原來的高度,因為但凡物體有所浸入水中,占據(jù)了水原有的空間位置,都會導致水面上升,那么浸沒的高度必定大于水原來的高度。此時物體浸沒的高度就是個未知數(shù),用原來的思路解題就顯得麻煩。
此時不妨換個思路,在數(shù)學解題策略里,有一個抓不變量的思維方法。規(guī)則物體不能完全浸沒水中,當容器足夠大時,若讓物體沉入水底,此時水的體積是不變的,只不過被物體擠壓,改變了形狀,變成了空心柱體,水的底面積變小了,所以高度上升。
水的體積=(原來的底面積-物體的底面積)×水面現(xiàn)在的高度
例如:有一個長方體容器,長5厘米,寬4厘米,高3厘米,容器水深1厘米,現(xiàn)有一個棱長為3厘米的正方體,浸到底部,水如何變化?
2.2 容器不夠大。容器不夠大時,物體只能浸沒到容器口,多余的部分仍然會溢出,不過這種情況不能直接判斷,仍然需要計算來證明。
例如:有一個長方體容器,長5厘米,寬4厘米,高3厘米,容器水深2厘米,現(xiàn)有一個棱長為4厘米的正方體,浸到底部,水如何變化?
從題中可以看出,這個容器水面最多只能上升1厘米,可容納水的空間是4×5×(3-2)=20(立方厘米)。容器的高度是3厘米,正方體最多只能浸沒到3厘米處,能讓水產(chǎn)生4×4×3=48(立方厘米)的變化,超過了容器可容納的空間,水上升1厘米厚,還會溢出48-20=28(立方厘米)。
排水法的模型最初是由求不規(guī)則物體引入的,但最終卻不僅僅停留在求不規(guī)則物體體積完全浸沒的情況。題目的變形可分為兩大類,如下圖:
完全浸沒 物體的體積=水上升的體積(+水溢出的體積)不完全浸沒 物體浸入水中的體積=水上升的體積(+水溢出的體積)由于通常浸入水中的部分未知,可設未知數(shù)用方程解答,當物體規(guī)則且浸入水底時,可抓住水體積不變形狀變來研究水面的變化:水的體積=(原來的底面積-物體的底面積)×水面現(xiàn)在的高度
數(shù)學題中一些細節(jié)的更改,會讓題意產(chǎn)生很大變化,要想對排水法融會貫通,還需要通過同類題不同數(shù)據(jù)的對比練習強化學生的判斷,建立起排水法系統(tǒng)的數(shù)學模型。