林樹尊

（福建省晉江市毓英中學(xué)，福建晉江 362251）

引 言

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，練習(xí)是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。通過課堂練習(xí)，學(xué)生能夠充分掌握已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。要想提高課堂練習(xí)的有效性，教師既要關(guān)注練習(xí)的針對(duì)性，又要重視練習(xí)的整體性。比如，對(duì)于新授課的練習(xí)，教師要關(guān)注情境的創(chuàng)設(shè)和問題的設(shè)計(jì)，以此幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；對(duì)于復(fù)習(xí)課的練習(xí)，教師要關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。下面本文從“一題多解”“ 變式探究”這兩個(gè)視角，結(jié)合具體的案例來探究課堂練習(xí)設(shè)計(jì)策略。

一、一題多解，提高學(xué)生發(fā)散思維能力

在高中數(shù)學(xué)課堂練習(xí)中，教師可以精選一些可以一題多解的習(xí)題，通過一題多解，開闊學(xué)生的思維，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從多個(gè)不同的角度對(duì)問題進(jìn)行分析的過程，也是學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)的基本思想的過程。

案例1：如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，則的值是____________。

圖1

解法1：設(shè)∠DAB=θ，則由余弦定理得：

思路3：（坐標(biāo)系視角）可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，把向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解。

解法3：如圖2所示，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(8，0)，D(x0，y0)，則所以所以

圖2

平面向量具有幾何和代數(shù)兩種形式。求兩個(gè)向量的數(shù)量積常用的方法是直接使用定義，如解法1，在本題的解答過程中涉及余弦定理，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯；如果定義行不通也可以考慮尋找基底把向量轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算，如解法2；也可以建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來求解，如解法3。通過對(duì)這一問題的解決，學(xué)生很好地培養(yǎng)了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、變式探究，提高學(xué)生核心素養(yǎng)

不同角度、不同背景的變式訓(xùn)練，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在探究中獲取知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。下面以人教A 版選修2—1 的一道習(xí)題為例進(jìn)行說明。

案例2：直線y=x-2 與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y=x-2 代入y2=2x

得x2-6x+4=0.所以x1+x2=6，x1·x2=4.

這是一道解析幾何的常規(guī)證明題。我們可以把題目中的直線與拋物線一般化，探究OA⊥OB時(shí)直線所要具備的充分必要條件。

變式1：若直線與拋物線22 (0)y=px p> 交于A，B兩點(diǎn)，求證：若OA⊥OB，則直線l經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0）.

證明：設(shè)直線l的方程為：x=ny+t，

所以直線l的方程為：x=ny+2p，直線經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0）.

有了變式1 的結(jié)論，我們?cè)侔杨}目中的核心條件kOAkOB=m(OA⊥OB)改成kOAkOB=m，就可以得到下列結(jié)論。

變式2：若直線l與拋物線22 (0)y=px p> 交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，求證：若kOAkOB=m，則直線l經(jīng)過定點(diǎn)

證明：由變式1 知y1·y2=?2pt，x1·x2=t2.

把變式2 中的過頂點(diǎn)推廣到拋物線上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立。

變式3：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為拋物線22 (0)y=px p> 上一定點(diǎn)，A，B是拋物線上異于P的兩動(dòng)點(diǎn)，求證：若k PA kPB=m(m≠ 0)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)

證明：由上面變式可知y1+y2=2pn，y1·y2=?2pt，

所以x1+x2=(ny1+t) + (ny2+t)=n(y1+y2) + 2t=2pn2+ 2t，

所以x1·x2=t2，由

所以直線AB的方程為：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)

變式3 中兩相交弦的斜率乘積為定值可以推出直線過定點(diǎn)，更進(jìn)一步，如果把斜率乘積改成斜率之和，可以發(fā)現(xiàn)直線仍然經(jīng)過定點(diǎn)。上面的練習(xí)及變式考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及有關(guān)性質(zhì)，從練習(xí)的具體直線與拋物線方程到由變式的抽象出一般的直線與拋物線方程的相關(guān)結(jié)論，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

課堂練習(xí)變式問題的設(shè)計(jì)，不僅可以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，還能提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。

結(jié) 語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向[1]。因此，對(duì)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂練習(xí)設(shè)計(jì)，教師應(yīng)深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究對(duì)象和本質(zhì)屬性，充分挖掘和發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的功能，結(jié)合學(xué)生的發(fā)展需求，為學(xué)生提供多樣化的練習(xí)形式和內(nèi)容，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。