靳平，趙建楠

（山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006）

0 引言

設G為有限群，F(xiàn)是特征為素數(shù)p的代數(shù)閉域，在研究群代數(shù)FG上不可直和分解的模時，Green[1]對每個不可分模M定義了一個p-子群，稱之為M的頂點，證明了頂點子群是共軛唯一的，特別是借助頂點子群建立了著名的Green對應。在現(xiàn)代模表示的發(fā)展中，Green的頂點理論發(fā)揮了重要作用，獲得了廣泛而深刻的應用。因為單FG-模與其不可約Brauer特征標彼此唯一確定，故對每個不可約的Brauer特征標φ∈IBrp(G)均可相應地定義其頂點，由此得到Green頂點理論的特征標版本，為解決Brauer特征標的相關問題提供了一種強有力的技術工具。關于頂點的研究可以參考文獻[2-6]。

當G為π-可分群時，Isaacs在一系列文章中建立了特征標的π-理論[7-9]，把關于素數(shù)p的不可約Brauer特征標推廣為關于素數(shù)集合π的不可約π-部分特征標，簡稱為Iπ-特征標，全體記為Iπ(G)。特別地，如果取π={p}′為素數(shù)p在所有素數(shù)集合中的補集時，則 IBrp(G)=Iπ(G)，表明 Isaacs 的特征標π-理論包含了p-可解群的Brauer特征標理論。類似地，Isaacs和 Navarro 在[10]中也建立了Iπ-特征標的頂點理論，作為應用得到了Alperin權猜想的分塊計數(shù)定理。Lewis在[11]中也研究了Iπ-特征標的頂點理論。

鑒于模特征標的頂點理論之極端重要性，人們自然期望把該理論“提升”到復特征標的情形，即設法建立不可約復特征標χ∈Irr(G)的頂點理論。其重要性和價值是顯而易見的，因為在群表示理論中，誘導技術始終處于核心地位，但特征標的誘導過程又極其復雜，而頂點子群在誘導下保持不變，故可視為誘導過程的“不變量”，從而在某種程度上控制了誘導模式，可用來研究很多重要的特征標問題。事實上，Navarro[12]首先引入了不可約復特征標χ的正規(guī)原核(W，γ)，其中γ為W的一個π-可分解的特征標，即γ∈Fπ(W)，據(jù)此定義χ的一個頂點為特征標對 (Q，(γπ′)Q)，其中Q為W的一個 Hallπ′-子群，而γπ′為γ的π′-特殊的因子，并證明了如此“正規(guī)頂點”的共軛唯一性。類似地，使用次正規(guī)原核（見[7，13]）亦可定義χ的所謂“次正規(guī)頂點”，并建立相應的共軛唯一性。此外，Lewis[14]使用正規(guī)列也發(fā)現(xiàn)了一種頂點理論，并給出若干應用。值得指出的是，目前文獻中出現(xiàn)的若干頂點理論，無論是定義還是性質，一般而言是不相同的，但這些頂點子群和頂點特征標都是從某種類型的Fπ-誘導過程構造而來。關于原核理論可參考文獻[15]。

為了獲得頂點子群和頂點特征標的統(tǒng)一構造模式，Cossey[16]對π-可分群G的每個不可約復特征標χ∈Irr(G)，均定義了“廣義頂點”，即所有如此的特征標對(Q，α)，源自χ的某個Fπ-誘導對(W，γ)，使得Q∈ Hallπ′(W)而α=(γπ′)Q。簡單計，本文稱這些Cossey意義下的頂點為Cossey頂點。盡管Cossey給出反例說明這些廣義頂點一般不是共軛唯一的，但在某些附加條件下，Cossey在[16]中的主要定理即證明了上述頂點的共軛唯一性。因為Cossey定理的內(nèi)容是關于Brauer特征標的，我們將其改寫成下述更為一般的Iπ-特征標版本。

Cossey頂點定理設G為奇數(shù)階群，χ∈Irr(G)為一個π-提升的特征標，即χ0∈ Iπ(G)，則χ的所有Cossey頂點(Q，α)彼此共軛。

值得指出的是，Cossey在該文構造了兩個反例，用以說明G為奇數(shù)階群的條件，以及χ為π-提升的條件，均不可或缺。

本文的主要內(nèi)容是推廣上述Cossey頂點定理，設法減弱G為奇數(shù)階群的假設，在更為一般的π-可分群中建立Cossey頂點的共軛唯一性。事實上，我們可以證明如此的頂點盡管不是共軛唯一的，但相差一個符號特征標（即滿足δ2=1G的線性特征標δ）。方便起見，我們稱群G的兩個特征標對(Q，α)和(R，β)是“線性共軛的”，如果存在某個元素g∈G以及符號特征標λ∈Irr(G)，使得Qg=R且αg=λβ。顯然，當λ=1G為主特征標時，特征標對的線性共軛等同于共軛，即(Q，α)g=(R，β)，故線性共軛是共軛關系的推廣。當G為奇數(shù)階群時，則χ(1)為奇數(shù)，并且奇數(shù)階群的符號特征標只能是主特征標，由此可知本文主定理顯然推廣了上述Cossey頂點定理，相關的概念和符號見本文第二節(jié)。

定理A設G為π-可分群且2?π，χ∈Irr(G)為一個π-提升的特征標，并且χ(1)為奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點(Q，α)彼此是線性共軛的。

為了進一步說明我們引入線性共軛關系的合理性，可重返Iπ-特征標情形（自然也包含了p-可解群的Brauer特征標的頂點理論）。因為2?π，故群G的所有符號特征標在π-元素集合G0上的限制均平凡，由此表明線性共軛關系在Iπ-特征標理論中即等同于共軛關系。

推論B設G為π-可分群且2?π，χ∈Irr(G)為φ∈Iπ(G)的一個提升，并且χ(1)為奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點子群恰為φ的所有頂點子群。

本文所使用的群和特征標的符號與術語，分別采用Isaacs的兩本經(jīng)典教材[17]和[18]。關于特征標的π-理論，則參考Isaacs的最新專著[13]。

1 預備知識

我們先給出所需的特征標π-理論中若干基本概念和結果。

定義1設G為π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ(1)為π-數(shù)，并且對G的每個次正規(guī)子群S以及χ的每個不可約分量θ∈ Irr(S)，均有o(θ)為π-數(shù)，則稱χ為π-特殊的特征標，簡稱為Xπ-特征標，全體記為 Xπ(G)。

下述Fπ-特征標的定義和性質，在構造不可約復特征標的頂點時具有基本的重要性。

定義2設G為π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ=αβ，其中α∈Xπ(G)而β∈Xπ′(G)，則稱χ為G的一個π-可分解的特征標，簡稱為Fπ-特征標。G的所有 Fπ-特征標的集合記為 Fπ(G)。

根據(jù)Gajendragadkar乘積定理（見[13]中定理2.2），在上述定義中，如果χ∈Fπ(G)，則其因子α和β均由χ唯一確定，分別稱之為χ的π-特殊因子和π′-特殊因子。在本文中我們將依次記為χπ和χπ′。

我們需要π-特殊特征標的若干性質，特別是在限制和誘導下的動態(tài)。下述兩個結論亦可見原始文獻[8]，其中δ(G，H)為子群H在G中的π-標準符號特征標，其定義相當復雜，反映了H在G中的嵌入信息，相關性質亦可見Isaacs最新專著[13]。

下述結果表明π-特殊的特征標在誘導過程中出現(xiàn)了符號特征標的干擾現(xiàn)象，比較復雜，證明分別可見[13]中的定理2.29和定理7.25。

引理 1設G為π-可分群且 2?π，H≤G，ψ∈Irr(H)使得χ=ψG∈Irr(G)。

（1）如果χ∈ Xπ(G)，則δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)。

（2）如果δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)，并且 |G：H|為π-數(shù)，則χ∈Xπ(G)。

然而，盡管在下述引理中π-特殊的特征標在限制過程不出現(xiàn)符號特征標的干擾，但其證明仍然要借助符號特征標的深刻性質，證明可見文獻[13]中的定理7.26。

引理 2設G是π-可分群且 2?π，χ∈Xπ(G)。如果H≤G且ψ=χH∈Irr(H)，則ψ∈Xπ(H)。

下述引理的主要用途是減弱奇數(shù)階群的條件，見[13]中推論 5.4。

引理 3設G為π-可分群且2?π，如果φ∈Iπ(G)為實數(shù)值的，并且φ(1)為奇數(shù)，則φ為主特征標，即φ=1G0。

我們需要關于Xπ-特征標的一個擴張定理，屬于其經(jīng)典擴張定理的簡單推論。

引理4設G為π-可分群，U≤G且|G：U|為π′-數(shù)。如果β∈Xπ(U)可擴張到G上，則存在唯一的χ∈ Xπ(G)使得χU=β。

證明任取H為U的一個Hallπ-子群，從條件|G：U|為π′-數(shù)可知H也是G的一個Hallπ-子群。根據(jù)Gajendragadkar限制定理（見[13]中定理2.10），則α=βH不可約，故α亦可隨β擴張到G上。再由[13]中推論3.15，可知α在G上存在唯一的擴張χ∈Xπ(G)。此時仍從限制定理可知χU∈Xπ(U)，并且χU和β均為α在U上的Xπ-擴張，迫使χU=β。

現(xiàn)在給出Cossey頂點的定義。簡單計，如果χ∈Irr(G)可從子群U誘導 ，即χ=ψG，其 中ψ∈Irr(U)，則稱(U，ψ)為χ的一個誘導對。進而，如果還有ψ∈Fπ(U)，則稱(U，ψ)為χ的一個Fπ-誘導對。

定義3設G為π-可分群，χ∈Irr(G)為G的一個不可約復特征標，任取(U，ψ)為χ的一個Fπ-誘導對 ，令Q∈ Hallπ′(U)，則稱 (Q，(ψπ′)Q)為χ的 一 個Cossey頂點。

根據(jù)π-特殊特征標的Gagendragadkar限制定理（見[13]中定理 2.10），可知 Fπ-特征標ψ的π′-特殊的因子ψπ′，在U的 Hallπ′-子群Q上的限制 (ψπ′)Q仍為不可約的，故上述Cossey頂點為G的一個特征標對。

最后需要說明的是，因為χ∈Irr(G)總存在本原誘導對（即ψ為本原特征標），而本原誘導對顯然是Fπ-誘導對，故χ的Cossey頂點總是存在的，但一般而言缺乏共軛唯一性。此外，在本文定理A的證明中，我們還要用到Navarro在[12]中建立的正規(guī)原核理論，鑒于其復雜性，在此不擬敘述相關的概念和結果，所引用的結論均可參考該文。

2 主要結果

設G是π-可分群，如果χ∈Irr(G)是φ∈Iπ(G)的一個提升，簡單計，我們稱χ為π-提升的特征標，記為χ∈Lπ(G)。

引理5設G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)為奇數(shù)。如果(U，ψ)為χ的一個 Fπ-誘導對，則ψ(1)為π-數(shù)。

證明因為ψ為 Fπ-特征標，故ψ=ψπψπ′，令β=ψπ′，我們只需證β(1)=1。事實上，從ψG=χ∈Lπ(G)可知

表明β0∈Iπ(U)。熟知π′-特殊的特征標β在U0的取值只能是有理數(shù)，從而β0為實數(shù)值的。注意到β0(1)=β(1)可整除χ(1)，故為奇數(shù)，應用引理 3，則β0為主特征標，所以β(1)=1。

在考慮Fπ-誘導對時，我們需要研究π′-特殊因子的限制性質。

引理6設G是π-可分群且2?π，χ∈Fπ(G)且χ(1)為π-數(shù)。如果(U，ψ)為χ的一個Fπ-誘導對，則(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′。

證明令λ=χπ′。已知χ(1)為π-數(shù)，故λ為線性特征標，并且|G：U|及ψ(1)均為π-數(shù)。注意到

為π-特殊的特征標，根據(jù)引理 1，則乘積ξ=δ(G，U)ψλ-1U也是π-特殊的特征標。因為ψ=ψπψπ′為Fπ-特征標，條件 2?π表明符號特征標δ(G，U)顯然是π′-特殊的，故δ(G，U)ψπ′λ-1U仍為π′-特殊的。由此表明ξ也是 Fπ-特征標，并且ξ∈ Xπ(U)，迫使ξπ′=1U，即δ(G，U)ψπ′λ-1U=1U，等價于λU=δ(G，U)ψπ′。

下面考慮Fπ-誘導對何時提供一個Fπ-特征標。

引理 7設G是π-可分群且 2?π，χ∈Irr(G)。再設ψ∈Fπ(U)使得 (δ(G，U)ψ)G=χ。如果 |G：U|為π-數(shù)，并且ψπ′可擴張到G上，則χ∈ Fπ(G)。

證明根據(jù)引理4，從條件ψπ′可擴張到G上，可知其存在一個π′-特殊的擴張γ，即γU=ψπ′。我們有

由此表明α=(δ(G，U)ψπ)G不可約，并且從引理 1（2）可知α∈Xπ(G)，故χ=αγ恰為一個Fπ-特征標。

我們需要考慮Fπ-特征標的Clifford對應何時也是一個 Fπ-特征標。

引理8設G是π-可分群且2?π，χ∈Fπ(G)且χ(1)是π-數(shù)。任取N?G，并且θ∈Irr(N)在χ的下方 ，令ψ∈Irr(Gθ|θ)是χ的 Clifford 對 應 ，則ψ∈Fπ(Gθ)且ψ(1)也是π-數(shù)。

證明因為χ為Fπ-特征標，故其正規(guī)分量θ也是 Fπ-特征標。已知χ(1)是π-數(shù)，亦即λ=χπ′為線性特征標。熟知 (N，θπ)≤(G，χπ)且 (N，θπ′)≤(G，λ)，從而θπ′=λN為G-不變的 ，迫使Gθ=Gθπ∩Gθπ′=Gθπ。設ξ∈Irr(Gθ)為χπ關于θπ的 Clifford 對應，則ξG=χπ。因為 2?π，從引理 1（2）可知δ(G，Gθ)ξ為π-特殊的特征標。顯然π′-特殊的線性特征標λ在任何子群（例如Gθ）上的限制仍為π′-特殊的特征標，并且

注意到λ也在θπ′上方，故ξλGθ也在θ上方，根據(jù)Clifford對應的唯一性，我們有

但上述已證δ(G，Gθ)ξ為 Xπ-特征標，由于π-標準符合特征標δ(G，Gθ)自動是π′-特殊的，故δ(G，Gθ)λGθ也是π′-特殊的，表明ψ即為一個Fπ-特征標。最后，從χ(1)=|G：Gθ|ψ(1)可知ψ(1)也是π-數(shù)。

以下是Fπ-誘導對的一個替換技術，即把Fπ-誘導對放置在某些正規(guī)子群的上方。

引理9設G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)。如果N?G使得χN的不可約分量均為 Fπ-特征標，任取χ的一個 Fπ-誘導對(U，ψ)，均有|NU：U|為π-數(shù)。

證明設 (N，θ)≤(G，χ)，按假設θ∈Fπ(N)。因為N?G，故存在χ的正規(guī)原核(W，γ)使得

熟知χ的正規(guī)原核(W，γ)均為其一個Fπ-誘導對，根據(jù)引理 5，則γ(1)和ψ(1)均為π-數(shù)。此時從θ(1)整除γ(1)可知θ(1)也是π-數(shù)。特別地，θ0∈Iπ(N)具有π-次數(shù)，并且從ψG=χ可知(ψ0)G=χ0∈Iπ(G)，表明(U，ψ0)是χ0的一個π-次數(shù)誘導對。再使用[13]中引理5.21，即得 |NU：U|也是一個π-數(shù)。

我們還需要下述技術性引理，給出了Fπ-特征標的判別方法。

引理10設G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)。再設G=NH，其中N?G且H≤G，使得χN的任意不可約分量θ均為Fπ-特征標，并且χ=ψG，對某個ψ∈Fπ(H)，則χ∈Fπ(G)，進而(χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。

證明如果χ∈Fπ(G)，則從引理5可知χ(1)為π-數(shù)，再從引理 6 得到 (χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。由此表明我們只需證明第一個結論即χ∈Fπ(G)，為此，我們依次對|G：H|和|N|做歸納法。

如果N=1，則G=H，此時χ=ψ為 Fπ-特征標，結論成立，故可設N＞1。任取N/K是G的一個主因子，令D=N∩H，我們區(qū)分幾種情形。

（1）假設KD=N。此時G=NH=KDH=KH且 |K|＜ |N|，因為χK的不可約分量均為 Fπ-特征標，故從歸納假設可知χ也是Fπ-特征標，所證結論成立。

（2）假設KD＜N。令X=KD，則K≤X＜N。根據(jù)引理 9，則 |G：H|為π-數(shù)，故 |N：D|也是π-數(shù)，從而 |N：X|＞ 1為π-數(shù)，導致N/K為π-群。但已知2?π，所以N/K為奇數(shù)階群，從而可解，故主因子N/K只能是交換群，迫使X?N。顯然H可正規(guī)化X，而G=NH，我們有X?G，只有X=K。此時D≤K＜N。

（3）假設D＜K＜N。注意到χK的所有分量均和θK的不可約分量共軛，故均為Fπ-特征標，并且從χ∈ Lπ(G)為π-提升的，可知ψKH也是π-提升的，即ψKH∈Lπ(KH)。因為|KH：H|＜ |G：H|，從歸納假設可知ψKH為 Fπ-特征標。進而，再從 |G：KH|＜ |G：H|，仍從歸納假設推出χ為Fπ-特征標，結論成立。如圖1所示。

圖1 Fπ-特征標Fig.1 Fπ-Character

（4）假設K=D。由Mackey公式，存在某個η∈Irr(K)同時在θ和ψ的下方，此時η顯然是Fπ-特征標。根據(jù)引理5可知ψ(1)為π-數(shù)，但上述已證|G：H|為π-數(shù)，故χ(1)=|G：H|ψ(1)也是π-數(shù)，導致θ(1)和η(1)也都是π-數(shù)。由此表明θπ′和ηπ′均為線性特征標，并且θπ′顯然是ηπ′到N上的典范擴張。進而，不難看出ψπ′也是線性特征標，從而也是ηπ′的一個擴張。特別地，從G=NH可知ηπ′必然是G-不變的，迫使θπ′也是G-不變的。 根據(jù)特征標限制的對應定理（見[13]中引理2.11），則特征標限制給出了從 Irr(G|θπ′)到 Irr(H|ηπ′)的一個雙射，據(jù)此可知ψπ′∈ Irr(H|ηπ′)可擴張到G上。

根據(jù)[13]中引理2.35，在此情形下，我們有δ(G，H)=det(((1H)G)H)。令λ=det((1H)G)，則λH=δ(G，H)，即符號特征標δ(G，H)在此約化環(huán)境中可擴張為G的線性特征標λ。此時

使用引理7，則λχ為G的一個Fπ-特征標，從而χ也是Fπ-特征標。至此完成證明。

有了上述準備，現(xiàn)在可證本文定理A。方便起見，我們重述如下。

定理1設G是π-可分群且2?π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇數(shù)，則χ的所有Cossey頂點構成一個線性共軛類。

證明我們對|G|作歸納，分兩種情形討論。

（1）χ是G的一個Fπ-特征標。

因為χ∈Lπ(G)，根據(jù)引理5，則χ(1)是π-數(shù)。設(U，ψ)為χ的任意一個Fπ-誘導對，則|G：U|也是π-數(shù)，故U的Hallπ′-子群Q自動為G的Hallπ′-子群。再根據(jù)引理6，可知(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′，所以(χπ′)Q=λ(ψπ′)Q，其中λ=(δ(G，U))Q，表明χ的兩個 Cossey頂點(Q，(χπ′)Q)和 (Q，(ψπ′)Q)是線性共軛的，故所證結論成立。

（2）χ不是G的Fπ-特征標。

仍設(U，ψ)為χ的任意一個Fπ-誘導對，并且Q為U的一個 Hallπ′-子群，按定義(Q，(ψπ′)Q)即為χ的一個Cossey頂點。根據(jù)[12]中推論2.3和推論2.4，存在一個特征標對(N，θ)≤(G，χ)，使 得N?G且θ∈Fπ(N)，并且Gθ＜G。設η∈Irr(Gθ|θ)為χ的Clifford對應，從ηG=χ可知(η0)G=χ0∈Iπ(G)，迫使η0∈Iπ(Gθ)，即η∈ Lπ(Gθ)。顯然η(1)整除χ(1)，故為奇數(shù)。因為 |Gθ|＜ |G|，故歸納假設推出η的所有Cossey頂點彼此是線性共軛的。以下我們將證明χ的上述 Cossey 頂點 (Q，(ψπ′)Q)和η的一個Cossey頂點也是線性共軛的，據(jù)此完成所證。

事實上，根據(jù)引理 9，則 |NU：U|是π-數(shù)。再由引理 5，可知ψ(1)也是π-數(shù)。令ξ=ψNU，則ξ(1)=|NU：U|ψ(1)也是π-數(shù)。又因為ξG=(ψNU)G=ψG=χ∈ Lπ(G)，不難看出ξ0∈Iπ(NU)，即ξ∈ Lπ(NU)。使用引理 10，則ξ∈ Fπ(NU)并且(ξπ′)U=δ(NU，U)ψπ′，再限制到Q上得到 (ξπ′)Q=(δ(NU，U))Q(ψπ′)Q。因為Q也是NU的一個Hallπ′-子群，故上式表明ξ的Cossey頂點(Q，(ξπ′)Q)和χ的Cossey頂點(Q，(ψπ′)Q)是線性共軛的。我們只需證ξ的Cossey頂點(Q，(ξπ′)Q)和η的一個Cossey頂點也是線性共軛的，為了簡化符號，可進一步假設NU=U，此時ξ=ψ且N≤U。如有必要，再把θ替換為其某個共軛，使得θ在ψ的下方，在此情形下，我們有(N，θ)≤(U，ψ)≤(G，χ)。

設Uθ=Gθ∩U為θ在U中的慣性群，并且γ∈Irr(Uθ|θ)為ψ關于θ的Clifford對應，則γU=ψ。特別地，從ψ(1)為π-數(shù)，可知 |U：Uθ|也是π-數(shù)。注意到Q是U的Hallπ-子群，做適當?shù)墓曹椞鎿Q，可進一步要求Q≤Uθ。根據(jù)引理8，從ψ∈Fπ(U)具有π-次數(shù)可知γ∈Fπ(Uθ)也有π-次數(shù)，并且γG=(γUθ)G=ψG=χ，表明(Uθ，γ)也是χ的一個 Fπ-誘導對。再由引理 6，則(ψπ′)Uθ=δ(U，Uθ)γπ′。進而，我們有(ψπ′)Q=δ(U，Uθ)Q(γπ′)Q，據(jù)此可知χ的兩個 Cossey 頂點(Q，(ψπ′)Q)和(Q，(γπ′)Q)是線性共軛的。剩下的只需證明 (Q，(γπ′)Q)和η的一個 Cossey 頂點也是線性共軛的，簡單計，我們可用(U，ψ)代替(Uθ，γ)，即進一步假設θ是U-不變的，迫使U≤Gθ。注意到ψG=χ不可約，故ψGθ也不可約，不僅在θ的上方，而且在χ的下方，根據(jù)Clifford對應的唯一性，迫使，表明 (U，ψ)也是η的一個 Fπ-誘導對，故(Q，(ψπ′)Q)按定義也是η的一個 Cossey頂點，至此完成證明。

按引言中定理A后面的說明，符號特征標在奇數(shù)階元素的取值均為1，故在π-元素集合G0上的限制均平凡（因為2?π，從而G0中的元素均為奇數(shù)階），所以在Iπ-特征標情形，特征標對線性共軛即等同于通常的共軛關系，故從定理A可直接導出推論B。