江 偉，吳榮華，袁 芳

(1.東華理工大學 放射性地質(zhì)與勘探技術(shù)國防重點學科實驗室，南昌 330013;2.安徽文達信息工程學院 計算機工程學院，合肥 231201;3.五邑大學 智能制造學部，廣東 江門 529020)

電力電子電路的理論研究落后于應(yīng)用研究，經(jīng)常是某電路已被廣泛應(yīng)用，?但它的理論模型還未徹底理解，由于該電路中有快速切換的開關(guān)器件，具有豐富的復(fù)雜動力學行為，比如次諧波振蕩、分岔、間歇和混沌等非線性現(xiàn)象[1-2]。逆變器是一種基本電力電子電路，廣泛應(yīng)用在不間斷電源、變頻調(diào)速和智能電網(wǎng)等工程領(lǐng)域，然而其屬于典型的非線性系統(tǒng)，在實際的工程應(yīng)用中，不可避免地會出現(xiàn)一系列非線性動力學行為，導致系統(tǒng)運行不穩(wěn)定，甚至崩潰[3]。因此，探索逆變器中的非線性動力學行為是非常有價值的，它能幫助電力電子工程師采取措施提高逆變器的穩(wěn)定性，還能為逆變器制造商的電路設(shè)計提供可靠的理論依據(jù)。

過去研究電子電路中的復(fù)雜動力學行為主要對象是DC-DC電路和PFC電路。近年來，對逆變器中的非線性行為研究已逐步開展，Robert等[4]首次分析了比例控制H橋逆變器中的非線性行為，發(fā)現(xiàn)DC-AC變換器中也存在復(fù)雜的動力學行為；王學梅等[5]以SPWM-H橋逆變器為研究對象，詳細分析了該系統(tǒng)中的快變與慢變不穩(wěn)現(xiàn)象及非線性行為；張金科等[6]基于分岔混沌理論，分析了開關(guān)頻率對SPWM-H橋逆變器的影響；陶彩霞等[7]研究了準比例諧振調(diào)節(jié)下三相LCL型并網(wǎng)逆變器在快時間尺度上的動力學行為。但上述文獻都只探索了線性控制H橋逆變器的穩(wěn)定性與非線性現(xiàn)象。

滑?？刂剖且环N典型的非線性控制方式，在一定工作范圍內(nèi)，具有良好的魯棒性、自適應(yīng)性及動態(tài)特性等特點，能有效提高非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，因而，在逆變器系統(tǒng)的控制中得到應(yīng)用[8-9]。由于滑模控制中存在抖振問題，抖振過大會使控制系統(tǒng)不穩(wěn)定，已有研究表明，趨近律方法能有效削弱滑模控制中的抖振幅度[10]。

本文采用改進指數(shù)趨近律減弱抖振現(xiàn)象，此方法使滑模運動具有良好的動態(tài)品質(zhì)，目前，改進指數(shù)趨近律的滑?？刂品绞皆陔姍C驅(qū)動控制領(lǐng)域已有一定的應(yīng)用，并取得了優(yōu)秀的控制效果。因此，將改進指數(shù)趨近律的控制方式引入到逆變器的滑?？刂浦杏袕V闊的應(yīng)用前景。然而，滑模控制的H橋逆變器是一種典型的非線性控制的時變系統(tǒng)，存在復(fù)雜的動力學行為。

鑒于此，以改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器為研究對象。分析該系統(tǒng)的運行過程及狀態(tài)，建立其離散模型。通過分岔圖和折疊圖分析隨不同控制參數(shù)k1與k2變化系統(tǒng)的動力學行為的演化過程。運用快變穩(wěn)定性定理對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能進行理論分析。進一步觀察輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響，為改進滑?？刂频腍橋逆變器的設(shè)計提供可靠的理論指導，具有一定的理論意義和實際工程價值。

1 改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器的工作原理及離散模型

改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器如圖1所示，該系統(tǒng)電路由主電路和控制電路組成，主電路包含直流電壓源E、開關(guān)管D1～D4、感性負載R和L?？刂齐娐分校褏⒖茧娏鱥ref和負載電流i的比較結(jié)果輸入到改進指數(shù)趨近律滑?？刂破髦?，得到的控制變量u再通過PWM驅(qū)動電路控制開關(guān)管的導通與截止。

圖1 H橋逆變器原理圖Fig.1 H-bridge inverter

滑模控制是不連續(xù)的，一定會產(chǎn)生抖振，從而引發(fā)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定。研究表明，通過改進指數(shù)趨近律可以削弱抖振，其控制變量u可表示為

u=k1e+k2e2sgn(e),k1>0,k2>0

(1)

其中，e=iref-i。

由圖1可知，該逆變器系統(tǒng)有2種狀態(tài)，D1、D4導通，D2、D3截止，此為工作狀態(tài)1，負載電流上升；D2、D3導通，D1、D4截止，此為工作狀態(tài)2，負載電流下降。取負載電流i作為狀態(tài)變量，則兩種狀態(tài)的模態(tài)方程分別如式(2)和(3)所示。

(2)

(3)

式中：i是負載電流；v是負載電壓。

通過改進指數(shù)趨近律滑模控制器的調(diào)節(jié)，逆變器會在2種模態(tài)之間來回切換，由于利用PWM驅(qū)動電路控制，一個開關(guān)周期TS內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)只切換一次。工作波形如圖2所示，TS=1/fS表示控制器的開關(guān)周期，fS是開關(guān)頻率，tn表示在第n個開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)1運行的時間，TS-tn表示在第n個開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)2運行的時間，則第n個開關(guān)周期狀態(tài)1的占空比為dn=tn/TS。取參考電流為正弦波(iref=Asin(2πft)，且f?fS)，逆變器處于正弦逆變狀態(tài)。

圖2 負載電流工作波形Fig.2 Load current operating waveforms

為研究逆變器系統(tǒng)的非線性動力學行為，運用頻閃映射的方法建立系統(tǒng)的離散模型，其核心思想是以開關(guān)周期TS作為頻閃采樣的時間間隔，用狀態(tài)變量在第n個開關(guān)周期的采樣值來表示該變量在第n+1個開關(guān)周期的采樣值。根據(jù)式(2)和(3)，可建立改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器的迭代方程

(4)

式中:a=E/R；τ=L/R；in、in+1分別為負載電流i在采樣時刻nTS和(n+1)TS值。

通過對改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器工作原理的分析，并結(jié)合占空比的有界性，dn為

(5)

其中，δ是第n個開關(guān)周期起始時刻參考電流采樣值iref,n與負載電流采樣值in之間的差值，則

δ=iref,n-in

(6)

iref,n=Asin(2πfnTS)

(7)

因此，式(4)和(5)構(gòu)成了該逆變器系統(tǒng)的離散模型。

2 改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器非線性動力學行為分析

建立改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器系統(tǒng)的離散模型，電路參數(shù)設(shè)置為：E=160 V，R=10 Ω，L=3 mH，fS=30 kHz，iref=5sin(40πt)，即f=20 Hz。通過分岔圖和折疊圖等方法分析該系統(tǒng)隨控制參數(shù)變化時系統(tǒng)產(chǎn)生的非線性動力學行為。

2.1 分岔圖

分岔圖可以有效觀察系統(tǒng)的非線性動力學行為，它不僅能呈現(xiàn)出系統(tǒng)非線性動力行為的演化過程，還能分析出系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界點。

固定k1=0.25，取k2為分岔參數(shù)，繪制系統(tǒng)隨控制參數(shù)k2變化時不同位置采樣的分岔圖，如圖3所示。

圖3(a)給出了系統(tǒng)在輸出波形峰值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k2≤0.12時，分岔圖呈現(xiàn)出穩(wěn)定單一的曲線，系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的單周期狀態(tài)；當0.12

(a) 峰值附近采樣

圖3(b)給出了系統(tǒng)在輸出波形谷值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k2≤0.19時，分岔圖呈現(xiàn)出單一曲線，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期1狀態(tài)；當0.19

通過分析圖3可得結(jié)論：固定k1=0.25，隨控制參數(shù)k2由0增大到2的過程中，改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器由穩(wěn)定單周期工作狀態(tài)演變?yōu)橐环N特殊分岔狀態(tài)，即多種倍數(shù)周期同時存在的狀態(tài)。

固定k2=0.4，取k1為分岔參數(shù)，繪制系統(tǒng)隨控制參數(shù)k1變化在不同位置采樣的分岔圖，如圖4所示。

(a) 峰值附近采樣

圖4(a)給出了系統(tǒng)在輸出波形峰值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k1≤0.38時，分岔圖呈現(xiàn)出2條曲線，系統(tǒng)工作在周期2狀態(tài)；當0.38

圖4(b)給出了系統(tǒng)在輸出波形谷值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k1≤0.08時，分岔圖呈現(xiàn)出周期4窗口，系統(tǒng)工作在周期4狀態(tài)；當0.08

通過分析圖4可得結(jié)論：固定k2=0.4，隨控制參數(shù)k1由0增大到2的過程中，改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器由多周期同時存在的特殊分岔狀態(tài)演化為混沌狀態(tài)，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學行為。

2.2 折疊圖

折疊圖可以直觀反映出系統(tǒng)的非線性動力學行為，其繪制方法如下：選取任意初值代入系統(tǒng)的離散模型進行迭代，對每個正弦周期采樣M個點(M=fS/f=1 500)，將穩(wěn)定后的數(shù)個正弦周期按采樣時刻對齊后折疊。圖5給出當k1=0.25時，k2分別取0.05、0.15、0.25、0.4、0.53和0.65時，該系統(tǒng)的折疊圖。

(a) k2=0.05

由圖5(a)可知，當k2=0.05時，從波峰到波谷的過程中，折疊圖表現(xiàn)出一條光滑、穩(wěn)定的正弦曲線，系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的周期1狀態(tài)。

由圖5(b)可知，當k2=0.15時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出兩條曲線，系統(tǒng)在此處于倍周期分岔狀態(tài)，在波谷附近表現(xiàn)出一條曲線，系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的單周期狀態(tài)。

由圖5(c)可知，當k2=0.25時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現(xiàn)出兩條曲線，系統(tǒng)工作在周期2狀態(tài)。

由圖5(d)可知，當k2=0.4時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出兩條曲線，系統(tǒng)工作在倍周期分岔狀態(tài)，在波谷附近表現(xiàn)出采樣點密集填充一定區(qū)域，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

由圖5(e)可知，當k2=0.53時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出兩條混沌帶，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)，在波谷附近表現(xiàn)出被采樣點雜亂無章填充，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

由圖5(f)可知，當k2=0.65時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出采樣點雜亂無章填充一定區(qū)域，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)，在波谷附近呈現(xiàn)三條曲線，系統(tǒng)工作在周期3狀態(tài)，折疊圖在其它區(qū)域還表明系統(tǒng)會工作在周期2和周期4狀態(tài)。

研究表明，圖5折疊圖分析的結(jié)論與圖3分岔圖所分析的結(jié)論是一致的，固定控制參數(shù)k1，改變控制參數(shù)k2的取值，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學行為。

當固定k2=0.4，分別取控制參數(shù)k1為0.05、0.2、0.44、0.55、0.65和1.5，繪制出該系統(tǒng)的折疊圖，如圖6所示。

(a) k1=0.05

由圖6(a)可知，當k1=0.05時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出兩條曲線，系統(tǒng)工作在周期2狀態(tài)，在波谷附近的局部放大圖，可以看出是四條曲線，系統(tǒng)工作在周期4狀態(tài)。

由圖6(b)可知，當k1=0.2時，折疊圖在波峰附近表現(xiàn)出兩條曲線，系統(tǒng)工作在周期2狀態(tài)，在波谷附近表現(xiàn)出被采樣點密集填充，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

由圖6(c)可知，當k1=0.44時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現(xiàn)出采樣點密集填充某一區(qū)域，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

由圖6(d)可知，當k1=0.55時，折疊圖在波峰附近出現(xiàn)兩條混沌帶，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)，在波谷附近表現(xiàn)出采樣點密集填充一定區(qū)域，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

由圖6(e)可知，當k1=0.65時，折疊圖在波峰附近出現(xiàn)兩條混沌帶，系統(tǒng)在此處于混沌狀態(tài)，在波谷附近的局部放大圖，可以看出是六條曲線，系統(tǒng)工作在周期6狀態(tài)。

由圖6(f)可知，當k1=1.5時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現(xiàn)出采樣點雜亂無章填充一定區(qū)域，系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

研究表明，圖6折疊圖分析的結(jié)論與圖4分岔圖所分析的結(jié)論是一致的，固定控制參數(shù)k2，改變控制參數(shù)k1的取值，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學行為。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對H橋逆變器系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行理論分析，通常采用Jacobian矩陣法和Lyapunov指數(shù)法，這兩種方法均需要對系統(tǒng)迭代方程求導。然而，改進指數(shù)趨近律滑?？刂艸橋逆變器系統(tǒng)的離散模型具有不可導部分，因此，上述兩種方法已無法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為更加深入對改進指數(shù)趨近律滑模控制H橋逆變器的非線性動力學行為進行理論分析，并且進一步驗證分岔圖和折疊圖分析所得結(jié)論的一致性。因此，采用快變穩(wěn)定性定理分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此方法的核心思想是：取電流下降段過零點附近的M個開關(guān)周期，分別用每個開關(guān)周期的占空比和下一個開關(guān)周期的占空比作差再除以兩者差的絕對值，把計算出的M個數(shù)進行累加即得到P[11]。P的計算公式如下

(8)

其中，dn、dn+1分別是第n和n+1個開關(guān)周期的占空比。當P=M，系統(tǒng)工作在穩(wěn)定狀態(tài)；當P

將式(5)代入式(8)可得改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器穩(wěn)定性的計算公式P為

P=

(9)

其中，σn=iref,n-in；σn+1=iref,n+1-in+1。

取N0=1 839，M=25，其它參數(shù)保持不變，對式(9)進行數(shù)值運算，得到快變穩(wěn)定性定理判斷結(jié)果，如圖7所示。圖7(a)給出了當k1=0.25時，P關(guān)于k2的曲線圖，當0≤k2≤0.12時，P等于M，系統(tǒng)工作在穩(wěn)定狀態(tài)，否則系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，因此當k1=0.25時，k2=0.12是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點；圖7(b)給出了當k2=0.4時，P關(guān)于k1的曲線圖，可知k1值由0增加到2的過程中，P一直小于M，系統(tǒng)一直工作在不穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) k1=0.25

研究表明，圖7理論分析所得結(jié)論與圖3和圖4分岔圖的分析結(jié)論完全相同，進一步驗證了數(shù)值仿真分析結(jié)論是正確的，使得研究結(jié)論更具有說服力。

4 外部參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響

研究表明，改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器的穩(wěn)定性能不僅與控制器參數(shù)有關(guān)，還與外部參數(shù)電壓E、電感L以及電阻R等外部參數(shù)有關(guān)。鑒于此，分別以輸入電壓E、負載電阻R和電感L為分岔參數(shù)，繪制出該逆變器系統(tǒng)分別隨電路分岔參數(shù)變化的分岔圖，如圖8所示。

(a) 分岔參數(shù)為E

根據(jù)圖7對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，可知當k1=0.25時，k2的穩(wěn)定運行參數(shù)域為[0,0.12]，因此，當k1=0.25，k2=0.1，其它參數(shù)固定不變。以輸入電壓E為分岔參數(shù)，令此電路參數(shù)由50 V向450 V變化，步長為1 V，在輸出波形峰值附近采樣負載電流值并保留采樣點，繪制出隨輸入電壓E變化系統(tǒng)的分岔圖，如圖8(a)所示。隨輸入電壓E的增大，該逆變器系統(tǒng)的工作狀態(tài)由穩(wěn)定的單周期狀態(tài)演化到倍分岔周期狀態(tài)，當E=345 V時，進入混沌狀態(tài)。

根據(jù)圖8(a)分岔圖的分析，可得輸入電壓E的穩(wěn)定運行參數(shù)域為[0,170]，因此，固定E=160 V，取電阻R=5～35 Ω，電感L=0～4 mH，保持其它參數(shù)不變，繪制分別隨電阻R和電感L變化系統(tǒng)的分岔圖。由圖8(b)可知，隨著電阻R增大該逆變器系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學行為。隨著電阻R的增加，該逆變器系統(tǒng)由穩(wěn)定的單周期狀態(tài)演變到周期3狀態(tài)，不久突變進入混沌狀態(tài)，最后增加到23 Ω時，出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，進入周期2狀態(tài)。圖8(c)給出了該逆變器系統(tǒng)隨電感L變化的分岔圖，由此圖可知，隨著電感L的增大，該系統(tǒng)工作狀態(tài)由倍周期分岔狀態(tài)演化到周期4狀態(tài)，然后進入混沌狀態(tài)，隨后轉(zhuǎn)變到周期2狀態(tài)，最后當電感L等于2.5 mH時，系統(tǒng)進入穩(wěn)定的單周期狀態(tài)，系統(tǒng)表現(xiàn)出非常豐富的復(fù)雜動力學行為。

通過分析圖8分岔圖可知，輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部參數(shù)的變化對改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器穩(wěn)定性產(chǎn)生重要的影響。因此，為提升改進指數(shù)趨近律滑?？刂颇孀兤飨到y(tǒng)的工作穩(wěn)定性，在實際產(chǎn)品的設(shè)計中應(yīng)選擇合理的電路參數(shù)。

5 結(jié) 論

研究表明，改進指數(shù)趨近律滑模控制的H橋逆變器中存在復(fù)雜的非線性動力學行為。根據(jù)該系統(tǒng)的工作過程，得出系統(tǒng)在改進指數(shù)趨近律滑?？刂葡碌碾x散模型，運用分岔圖與折疊圖分析在不同控制參數(shù)k1與k2變化下系統(tǒng)復(fù)雜動力學行為的演變過程。然后，通過快變穩(wěn)定性定理分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)理論分析與分岔圖和折疊圖分析的結(jié)論完全一致。最后，采用分岔圖分析輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響。研究結(jié)論表明，改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器會產(chǎn)生豐富的動力學行為，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能不僅與控制參數(shù)k1與k2有關(guān)，還與輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數(shù)有密切的關(guān)系。研究的結(jié)論對改進指數(shù)趨近律滑?？刂频腍橋逆變器的設(shè)計、分析和調(diào)試都具有一定的理論指導意義。