李曉琴,張 田

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500)

隨著有限元理論和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，有限元數(shù)值模擬方法已成為研究各種受力情況下RC結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要手段之一。ABAQUS中的CDP模型因具有較好的屈服準(zhǔn)則、流動(dòng)法則和滯回準(zhǔn)則被廣泛用于各類RC結(jié)構(gòu)的抗震分析[1]。相對主要用于單調(diào)荷載下分析的脆性開裂模型[2]和彌散裂縫模型[3]，CDP模型通過引入損傷參數(shù)(dt、dc)和剛度恢復(fù)因子(wt、wc)來分別描述混凝土在卸載時(shí)表現(xiàn)出的剛度退化和應(yīng)力反轉(zhuǎn)時(shí)混凝土存在的剛度恢復(fù)現(xiàn)象[4]，該模型能較好地模擬循環(huán)荷載下混凝土的力學(xué)特性，如循環(huán)荷載下混凝土的開裂與壓碎、裂縫張開與閉合、拉壓應(yīng)力反轉(zhuǎn)和損傷累積等特征。然而，對于有限元分析，定義合理的材料參數(shù)是模擬結(jié)果正確反映真實(shí)結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的關(guān)鍵所在。

目前，大量學(xué)者對CDP模型的材料參數(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究，如Syed等[5]對混凝土本構(gòu)關(guān)系中的膨脹角Ψ與參數(shù)wt、wc的組合取值給模擬結(jié)果帶來的不確定性進(jìn)行了研究；Yu等[6-7]對CDP模型采用的非關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)勢和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則進(jìn)行了詳細(xì)討論；Alfarah等[8]基于混凝土破碎斷裂能Gc和開裂斷裂能GF闡述了混凝土單軸受壓、受拉材料參數(shù)的計(jì)算；聶建國等對CDP模型的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和裂縫模型等做了詳細(xì)介紹。事實(shí)上，在CDP模型中，除了以上的材料參數(shù)需要明確以外，損傷參數(shù)(dt、dc)和剛度恢復(fù)因子(wt、wc)的確定也需要關(guān)注，對于損傷參數(shù)進(jìn)行相關(guān)研究中，Alfarah等基于Gc和GF推導(dǎo)了新的拉壓損傷計(jì)算公式；Long等[9]采用累計(jì)耗散能與斷裂能的比值來建立損傷計(jì)算模型；方自虎等[10]基于軟化應(yīng)力與峰值應(yīng)力的比值建立了適合于高強(qiáng)混凝土模擬分析的損傷計(jì)算公式；Birtel等[11]基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了與混凝土塑性應(yīng)變有關(guān)的損傷計(jì)算公式；曹明[12]以能量等價(jià)原理為基礎(chǔ)，并結(jié)合GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中提供的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線建立了損傷參數(shù)計(jì)算公式。然而，在CDP模型眾多材料參數(shù)中，針對描述循環(huán)荷載下混凝土開裂-閉合行為的受壓剛度恢復(fù)因子wc的取值至今未有深入研究。目前一些關(guān)于wc的研究工作主要有：Syed等研究指出wc取值很難直接從試驗(yàn)中直接測試得到，wc取值需要通過對比模擬與試驗(yàn)結(jié)果來標(biāo)定；Zhao等[13]著重考慮wc對洞室結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)wc取值增大時(shí)洞室的損傷面積呈線性減?。槐M管Karimi等[14]取wc=0.3來模擬填充墻和拱形砌體墻在循環(huán)荷載下的力學(xué)響應(yīng)，雖然兩個(gè)有限元模型的模擬值與試驗(yàn)結(jié)果的均具有較好的吻合度，但對wc的取值原因尚未說明；Alfarah等[15]為了模擬RC結(jié)構(gòu)中嚴(yán)重破損區(qū)域處裂紋閉合時(shí)剛度恢復(fù)較小的現(xiàn)象，采用較小wc值定義構(gòu)件嚴(yán)重破損區(qū)域。顯然，對于wc的取值與應(yīng)用問題，目前還沒有足夠的研究以一致的解決方法，這給CDP模型準(zhǔn)確預(yù)測和模擬循環(huán)荷載下RC結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)帶來了困難，尤其是在模擬對象尚未完成試驗(yàn)的情況下。

鑒于此，為解決上述問題，本研究針對wc的計(jì)算方法展開了理論研究和數(shù)值模擬，首先建立了考慮開裂斷裂能GF的指數(shù)型軟化應(yīng)力-開裂位移曲線，并在現(xiàn)有的拉/壓損傷計(jì)算模型中比選出適用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析的損傷計(jì)算模型。在此基礎(chǔ)上，以受拉殘存斷裂能密度gFR與開裂斷裂能密度gf之比的θ次方(θ≥1)建立了wc計(jì)算模型，該模型同時(shí)考慮了單元特征長度leq和dt對wc的影響，并以單個(gè)單元為例說明了參數(shù)θ對wc的影響。進(jìn)一步地，以循環(huán)荷載下嚴(yán)重破損RC節(jié)點(diǎn)為研究對象，基于現(xiàn)有混凝土裂縫特征與受拉損傷狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系[16]，提出了一種基于拉伸損傷水平dt的模型簡化處理方法，以此解決ABQUAS中CDP模型wc只支持某一常數(shù)所存在的局限性。通過對多組循環(huán)荷載下的RC節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)值模擬并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，驗(yàn)證了循環(huán)荷載下混凝土開裂-閉合行為計(jì)算方法的正確性以及循環(huán)荷載下有限元模型簡化處理方法的可行性。

1 CDP模型

圖1(a)顯示了混凝土單軸受拉時(shí)的力學(xué)行為，認(rèn)為混凝土包括彈性階段(0～σt0)和軟化階段(下降段)。當(dāng)混凝土超過破壞應(yīng)力σt0時(shí)，混凝土將進(jìn)入軟化和剛度退化階段。圖1(b)顯示了混凝土單軸受壓時(shí)的力學(xué)行為，認(rèn)為混凝土受壓時(shí)分別經(jīng)歷了彈性階段(0～σc0)、強(qiáng)化階段(σc0～σcu)和軟化階段。

(a) 受拉

現(xiàn)假定E0為材料的初始彈性剛度，則上述的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用式(1a)～(1b)描述。

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

(3a)

(3b)

試驗(yàn)表明，在單軸循環(huán)荷載下，荷載改變方向后材料的彈性剛度將得到部分恢復(fù)[20-21]。CDP模型引入剛度退化變量d描述混凝土的剛度退化行為，其中剛度退化變量d是關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)和拉壓損傷變量的函數(shù)。

E=(1-d)E0

(4)

(1-d)=(1-stdc)(1-scd)

(5)

式中：st和sc為考慮應(yīng)力方向和剛度恢復(fù)效應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)函數(shù)，根據(jù)式(6a)～(6b)確定。

st=1-wtr*(σ11) 0≤wt≤1

(6a)

sc=1-wc(1-r*(σ11)) 0≤wc≤1

(6b)

式中：wt和wc分別為受拉、受壓剛度恢復(fù)因子，分別表示混凝土從受拉過渡到受壓和從受壓過渡到受拉時(shí)混凝土剛度的恢復(fù)程度；r*(σ11)為混凝土單軸應(yīng)力因子，是主應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù)，由式(7)確定。

(7)

式中：σ11為混凝土的主應(yīng)力狀態(tài)，σ11>0表示受拉，σ11<0表示受壓。

以單軸工況為例，CDP模型關(guān)于循環(huán)荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。

圖2 單軸循環(huán)荷載作用下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(默認(rèn)剛度恢復(fù)因子wt=0、wc=1)Fig.2 The stress-strain relationship under uniaxial cyclic loading (wt=0,wc=1)

CDP模型的塑性流動(dòng)假定為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)，塑性勢G采用Drucker-Prager雙曲線函數(shù)描述。

(8)

式中：Ψ為高圍壓下在p-q面上的膨脹角(對混凝土取值在25°～35°區(qū)間，本文模型采用30°)；ξ為偏心率(默認(rèn)值0.1)，表示該函數(shù)接近漸近線的速率(當(dāng)偏心率趨于零時(shí)，流動(dòng)勢趨于直線)。

(9)

式(9)中，各參數(shù)的計(jì)算公式如下

2 混凝土單軸受拉/抗壓本構(gòu)關(guān)系

混凝土的單軸受壓力學(xué)行可通過三段函數(shù)定義，第一段為線彈性階段式(11a)；第二段為強(qiáng)化段[22]式(11b)；第三段為軟化段[23]式(11c)、式(11d)。

σc=E0εc

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

對于混凝土的單軸拉伸力學(xué)行為，本研究基于混凝土的開裂斷裂能GF提出了適用于混凝土非線性分析的指數(shù)型軟化段應(yīng)力-開裂位移曲線(圖3)，其表示如下

圖3 應(yīng)力-開裂位移曲線Fig.3 The stress-crack opening relationship

σt=ftme-cw

(12)

式中：w為開裂位移，單位mm；ftm為混凝土抗拉強(qiáng)度平均值，根據(jù)式(13a)計(jì)算，單位MPa；c為軟化參數(shù)，與混凝土的強(qiáng)度等級有關(guān)。經(jīng)數(shù)據(jù)擬合后，參數(shù)c按式(13b)確定。

(13a)

(13b)

如圖3所示，軟化應(yīng)力-開裂位移曲線是根據(jù)開裂斷裂能GF(曲線陰影面積Area)、開裂應(yīng)力ftm和最大開裂位移w0這三參量確定的，能夠反映混凝土受拉應(yīng)力隨著開裂位移的增加而逐漸退化(軟化行為)和裂縫開展過程中的能量耗散等特征。此外，該應(yīng)力-開裂位移曲線適用于強(qiáng)度在12～120 MPa下的混凝土材料。

根據(jù)Bazant等[24]提出的裂縫帶理論，應(yīng)力-開裂位移曲線可根據(jù)式(14)[25]轉(zhuǎn)換成應(yīng)力-開裂應(yīng)變曲線。

(14)

混凝土的開裂斷裂能GF根據(jù)式(15)計(jì)算，混凝土受壓破碎斷裂能Gc根據(jù)式(16)[26]確定。

GF=0.073(fcm)0.18

(15)

(16)

3 混凝土拉/壓損傷參數(shù)評價(jià)與選用

由式(1a)～(1b)和式(4)～(5)可知，描述混凝土卸載時(shí)剛度弱化響應(yīng)的損傷參數(shù)包括受拉dt、受壓dc損傷參數(shù)。由于目前ABAQUS用戶手冊中沒有指明損傷變量的具體計(jì)算方法，因此現(xiàn)將已有的幾種損傷參數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行對比評價(jià)(表1)，以期選擇適用的損傷參數(shù)模型。

表1 損傷參數(shù)計(jì)算模型Tab.1 Calculation models of damage parameters

本研究以C30混凝土為例，采用上述5種計(jì)算模型確定的拉、壓損傷參數(shù)曲線如圖4所示。由圖4(a)可知，應(yīng)變等效模型[27]計(jì)算的受壓損傷參數(shù)dc在所有曲線的最上方，損傷發(fā)展最為激烈。方自虎模型[10]下的受壓損傷參數(shù)dc從峰值應(yīng)力開始計(jì)算，沒有考慮混凝土在強(qiáng)化階段的受壓損傷發(fā)展與累積。當(dāng)非彈性應(yīng)變小于0.005時(shí)，Birtel模型[11]與能量等效模型[28]計(jì)算的受壓損傷參數(shù)dc比較接近；當(dāng)非彈性應(yīng)變超過0.005時(shí)，Birtel模型[11]計(jì)算的受壓損傷參數(shù)dc比能量等效模型更大，說明損傷發(fā)展更快。從圖4(b)可知，應(yīng)變等效模型[27]和Birtel模型[11]計(jì)算的受拉損傷參數(shù)dt較接近且在所有曲線的最上方，損傷發(fā)展最為激烈。方自虎模型[10]計(jì)算的受拉損傷參數(shù)dt在所有曲線的最下方，損傷發(fā)展較慢，不能較好描述混凝土受拉時(shí)表現(xiàn)出來的脆性特性。能量等效模型[28]計(jì)算的受拉損傷參數(shù)dt介于其他3個(gè)模型之間，損傷發(fā)展偏緩慢。

(a) θ=1

(a) 受壓損傷

以上的對比的四種損傷計(jì)算模型，主要是基于混凝土材料而建立的。然而，對于RC結(jié)構(gòu)分析，有必要考慮受力鋼筋對混凝土損傷發(fā)展的影響，特別是對于受拉的情況。此外，ABAQUS用戶手冊還指出，對RC結(jié)構(gòu)分析時(shí)應(yīng)適當(dāng)考慮鋼筋與混凝土協(xié)同工作的“拉伸硬化”效應(yīng)。考慮到直接建立針對RC結(jié)構(gòu)的損傷計(jì)算模型難度較大，因此本研究暫未深入研究損傷計(jì)算模型，而是通過對比現(xiàn)有的損傷計(jì)算模型的發(fā)展形態(tài)，選擇損傷隨非彈性應(yīng)變和開裂應(yīng)變發(fā)展速度處于中間水平的Sidoroff能量等效模型作為基準(zhǔn)模型，以此來計(jì)算RC結(jié)構(gòu)中混凝土的受壓dc、受拉dt損傷參數(shù)。

4 開裂-閉合受壓剛度恢復(fù)因子wc計(jì)算模型

4.1 wc計(jì)算模型的建立

CDP模型中通過引入受拉wt、受壓wc剛度恢復(fù)因子來描述混凝土在循環(huán)荷載下混凝土裂縫張開、閉合及裂縫之間的相互作用，以期更好模擬循環(huán)荷載下混凝土的反應(yīng)。試驗(yàn)研究表明當(dāng)混凝土從受壓進(jìn)入到受拉狀態(tài)，若進(jìn)入受拉前已有受壓微裂縫形成時(shí)，應(yīng)力反轉(zhuǎn)時(shí)混凝土的受拉剛度不能恢復(fù)；當(dāng)混凝土從受拉進(jìn)入受壓狀態(tài)時(shí)，隨著裂縫的閉合混凝土的受壓剛度可以恢復(fù)。因此，在本文研究中，不考慮混凝土從受壓進(jìn)入受拉狀態(tài)時(shí)的剛度恢復(fù)效果(wt=0為默認(rèn)值)，重點(diǎn)關(guān)注混凝土從受拉進(jìn)入為受壓狀態(tài)時(shí)的剛度恢復(fù)程度(其中wc=1為默認(rèn)值)。圖5給出了混凝土從受拉進(jìn)入到受壓狀態(tài)時(shí)受壓剛度恢復(fù)因子wc的變化。

圖5 受壓剛度恢復(fù)因子wc的影響Fig.5 Effect of the compression stiffness recovery factor wc

關(guān)于圖5中wc的變化討論，本研究先假定混凝土在初始受拉時(shí)沒有受壓損傷(無受壓塑性應(yīng)變)，有dc=0，代入式(5)和式(6b)得

(1-d)=(1-scdt)=

1-(1-wc(1-r*(σ11)))dt

(17)

由式(17)知，當(dāng)混凝土受拉(σ11>0)時(shí)，有r*(σ11)=1，因此d=dt。當(dāng)混凝土受壓(σ11<0)時(shí)，有r*(σ11)=0，因此d=(1-wc)dt。若wc=0，則d=dt，此時(shí)材料剛度沒有恢復(fù)；wc=1，有d=0，材料完全恢復(fù)壓縮剛度；0

為對比不同wc取值(0≤wc≤1)對混凝土剛度恢復(fù)程度和混凝土單元強(qiáng)度大小，本研究以幾何尺寸為150 mm、強(qiáng)度為C30的立方體混凝土單元為例，分別模擬了混凝土相同dt下wc為0、0.5和1時(shí)混凝土單元從受拉進(jìn)入為受壓狀態(tài)時(shí)的力學(xué)行為(圖6)。

圖6 相同dt下不同wc對混凝土“由拉進(jìn)入壓”后的力學(xué)行為影響Fig.6 Concrete compressive behaviour after cracking under the same dt with different wc values

由圖6可知，隨著wc取值增大，混凝土單元的彈性模量逐漸增大，單元的峰值強(qiáng)度也逐漸遞增，并且混凝土單元在相同變形處卸載時(shí)材料的卸載響應(yīng)也更加緩慢。wc=1時(shí)對應(yīng)的彈性模量為26 209 MPa，分別是wc=0.5(15 722 MPa)和wc=0(5 211 MPa)的1.67倍和5.03倍。wc=1時(shí)對應(yīng)的單元峰值強(qiáng)度為20.1 MPa，分別是wc=0.5(12.1 MPa)和wc=0(4.0 MPa)的1.67倍和5.03倍。可見，wc的取值會(huì)直接影響到混凝土單元的彈性模量與峰值強(qiáng)度。

綜上可知，wc值影響混凝土的剛度恢復(fù)程度主要體現(xiàn)在彈性模量和峰值強(qiáng)度兩方面。因此，為了準(zhǔn)確預(yù)測循環(huán)荷載作用下RC結(jié)構(gòu)的宏觀承載力，有必要建立確定wc取值的計(jì)算模型，以期獲得合理的wc值描述循環(huán)荷載下混凝土裂縫開裂后閉合行為后的剛度恢復(fù)效應(yīng)。如圖5所示，對于循環(huán)荷載下的混凝土，當(dāng)受拉混凝土在軟化段B點(diǎn)卸載時(shí)，可認(rèn)為混凝土的微裂縫將沿著卸載路徑B→C逐漸閉合。通?；炷猎诶鷫哼^渡區(qū)存在一個(gè)剛度恢復(fù)過程，即受拉應(yīng)力卸載至C點(diǎn)時(shí)微裂縫并不會(huì)完全閉合。為簡便，本研究假設(shè)微裂紋在C點(diǎn)處完全閉合，并將多邊形BCEF的面積視為一種材料性質(zhì)，即裂縫完全閉合點(diǎn)(C點(diǎn))處對應(yīng)的受拉殘存斷裂能密度gFR。進(jìn)一步地，本研究基于混凝土受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(圖5)，以受拉殘存斷裂能密度gFR與開裂斷裂能密度gf比值的θ次方(θ為實(shí)數(shù))建立了wc計(jì)算模型，其表示如下

(18)

式中：θ(θ≥1)為受壓剛度恢復(fù)修正參數(shù)；gf為混凝土開裂斷裂能密度(gf=GF/leq)，單位N/mm2；s1與s2分別為三角形BCD與多邊性BDEF區(qū)對應(yīng)的面積(受拉殘存斷裂能密度)，單位N/mm2；s1與s2根據(jù)式(19)進(jìn)行計(jì)算。

s1=

(19a)

(19b)

式中：wt為B點(diǎn)對應(yīng)的開裂位移，單位mm；dt為描述卸載支路(B→C)上的受拉損傷參數(shù)；c為式(13)中的軟化參數(shù)。

4.2 wc計(jì)算模型的演化規(guī)律討論

以C30立方體混凝土單元為例，并選擇能量等效模型[28]計(jì)算混凝土的受拉損傷參數(shù)dt。圖7給出了wc計(jì)算模在不同θ取值下wc與dt的變化規(guī)律圖。

圖7 θ值對受拉損傷參數(shù)-受壓剛度恢復(fù)因子wc的影響Fig.7 Effects of θ to the compressive stiffness recovery factor wc

如圖7所示，wc與dt呈非線性遞減關(guān)系；在相同dt數(shù)值下，wc數(shù)值會(huì)隨著θ取值增大而減小?？梢姡葧?huì)直接影響到wc-dt曲線的衰減速度。

同樣以C30混凝土為例，模擬并對比了混凝土在不同dt下wc分別取默認(rèn)值(wcd1/2/3=1)和本研究提議的計(jì)算值下的滯回行為(圖8)。關(guān)于計(jì)算值選取如圖7所示，以θ=1、3下的wc-dt曲線為基礎(chǔ)，模擬了dt為0.58、0.75和0.83下混凝土卸載后再反向加載時(shí)剛度恢復(fù)效應(yīng)。

4.3 wc計(jì)算模型在RC節(jié)點(diǎn)模型中的應(yīng)用

以上工作中，已完成了循環(huán)荷載下混凝土開裂后閉合行為的wc計(jì)算模型的建立，并對其演化規(guī)律進(jìn)行討論。由于ABAQUS中CDP模型下的wc只支持某一常數(shù)定義，不能描述混凝土在不同dt下具有不同的剛度恢復(fù)效應(yīng)。為解決這一問題，本研究選擇循環(huán)荷載下嚴(yán)重破損的RC節(jié)點(diǎn)作為研究對象，基于現(xiàn)有混凝土裂縫特征與受拉損傷狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，提出了一種基于拉伸損傷水平dt的模型簡化處理方法。以0≤dt1≤0.75和0.75≤dt2≤dtm(dtm≤1)將RC節(jié)點(diǎn)簡單劃分為輕微損傷和損傷-破壞區(qū)兩個(gè)區(qū)域，并分別采用特征受壓剛度恢復(fù)因子wcz1和wcz2來定義兩個(gè)區(qū)域的材料屬性。輕微損傷和損傷-破壞區(qū)域范圍分別采用構(gòu)件的非塑性鉸和塑性鉸區(qū)域進(jìn)行度量，采用由Paulay等[29]提議的塑性鉸長度計(jì)算公式確定RC構(gòu)件的塑性鉸區(qū)域(式20)。

Lp=0.08L+0.022fyd

(20)

式中：Lp為塑性鉸長度；L為構(gòu)件剪跨；d受拉鋼筋直徑，單位mm;fy為受拉鋼筋強(qiáng)度，單位MPa。

受拉損傷參數(shù)dt的區(qū)間劃分和不同區(qū)域的受壓特征剛度恢復(fù)因子wcz1與wcz2的計(jì)算方法如圖9所示，受拉損傷分區(qū)分為0≤dt≤0.75與0.75≤dt≤dtm(dtm≤1)兩個(gè)區(qū)間，根據(jù)面積等效的原則計(jì)算每個(gè)區(qū)間對應(yīng)的wcz1與wcz2，其中參數(shù)wcz1與wcz2分別用來定義圖11(a)中對應(yīng)的黑色與灰色區(qū)域。

圖9 特征受壓剛度恢復(fù)因子Fig.9 Characteristic value of the compressive stiffness recovery factor

5 循環(huán)荷載下RC節(jié)點(diǎn)的數(shù)值模擬應(yīng)用研究

5.1 有限元模型

以Yang等[30]研究中的CL1節(jié)點(diǎn)為研究對象，采用ABAQUS軟件進(jìn)行三維有限元建模分析。混凝土采用實(shí)體單元C3D8R模擬，鋼筋采用桁架單元T3D2模擬，并采用Embedded命令將鋼筋內(nèi)置于混凝土單元內(nèi)?；炷敛捎肅DP模型，鋼筋選用由Clough提出的材料模型(圖10)模擬[31-32]，該模型通過削減鋼筋的卸載剛度來替代RC結(jié)構(gòu)中因鋼筋與混凝土間的黏結(jié)滑移效而導(dǎo)致的強(qiáng)度退化和剛度退化。

圖10 鋼筋本構(gòu)關(guān)系Fig.10 The reinforcement constitutive relationship

CL1節(jié)點(diǎn)的幾何尺寸和配筋詳細(xì)見文獻(xiàn)[30]，混凝土150 mm立方體抗壓強(qiáng)度fcu-150為35.5 MPa，縱向鋼筋和橫向鋼筋的屈服強(qiáng)度分為528 MPa和407 MPa。根據(jù)試驗(yàn)的邊界條件，將梁兩端50mm區(qū)段采用剛體約束，并指定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)中心為梁端面的形心位置處；柱子底部采用固定鉸約束；柱頂先施加豎直向下的軸壓荷載(1 420 kN)，然后在柱頂面施加平行于梁軸線方向的水平循環(huán)位移荷載，循環(huán)加載制度如圖11所示，每級加載位移循環(huán)2次。采用ABAQUS/Standard模塊中的Newton-Raphson算法求解，通過增量步施加荷載，經(jīng)過若干次平衡迭代逐步獲得解答。有限元元模型邊界和網(wǎng)格如圖12所示。

圖11 CL1節(jié)點(diǎn)加載制度Fig.11 Loading system for CL1 joint

(a) 混凝土

5.2 受壓剛度恢復(fù)修正參數(shù)θ取值討論

如4.2節(jié)所述，對一個(gè)確定的有限元模型，受壓剛度恢復(fù)修正參數(shù)θ是一個(gè)確定的常量。從wc-dt曲線中可以看出θ的取值會(huì)直接影響到wc-dt曲線的衰減速度。因此，本研究將參數(shù)θ作為參數(shù)變量進(jìn)行數(shù)值模擬研究，并分別取θ等于1、2和3時(shí)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過對比有限元的模擬結(jié)果來標(biāo)定θ的取值范圍，以期得到較好的模擬結(jié)果。CL1節(jié)點(diǎn)在不同θ取值下模擬結(jié)果見圖13和圖14。

圖13 不同θ取值下的模擬結(jié)果對比Fig.13 Comparison of the FE results with the different values of θ

(a) θ=2

由圖13可知，當(dāng)θ增大時(shí)RC節(jié)點(diǎn)的峰值承載力降低，整個(gè)滯回環(huán)的面積減小，節(jié)點(diǎn)的耗能能力降低。相反地，θ太小可能會(huì)高估RC節(jié)點(diǎn)的承載力和耗能能力。當(dāng)θ取2或3時(shí)，模擬結(jié)果在峰值承載力和滯回環(huán)面積方面相差較小，說明數(shù)值模擬結(jié)果趨于穩(wěn)定。經(jīng)有限元分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ≥3時(shí)，混凝土wc-dt曲線衰減加快，從而導(dǎo)致wc1和wc2過小，這會(huì)使得模擬結(jié)果嚴(yán)重低估結(jié)構(gòu)的承載力甚至導(dǎo)致有限元模型分析不收斂?？梢?，θ取值應(yīng)該控制在1～3之間(1≤θ≤3)比較合理。

如圖14所示，通過對比θ=2(或3)下的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ=3時(shí)的模擬結(jié)果更加逼近試驗(yàn)結(jié)果。因此，對于循環(huán)荷載下RC節(jié)點(diǎn)，θ=3可作為確定wc計(jì)算模型的默認(rèn)值。

5.3 循環(huán)荷載下不同RC節(jié)點(diǎn)數(shù)值模擬

基于以上循環(huán)荷載下混凝土開裂閉合行為相關(guān)演化算法，包括受壓剛度恢復(fù)因子wc演化規(guī)律的合理性和簡化有限元計(jì)算方法的可行性，進(jìn)一步對其他類型框架十字節(jié)點(diǎn)CL2、邊節(jié)點(diǎn)E1[33]和門式閉合節(jié)點(diǎn)F0[34]作為算例進(jìn)行有限元建模分析，有限元模型的單元類型與材料模型的選擇、算法控制與CL1節(jié)點(diǎn)模型保持一致，模擬結(jié)果見圖15。

(a) 十字節(jié)點(diǎn)CL2

通過骨架曲線，可以得到RC節(jié)點(diǎn)的極限荷載，有限元結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比如表2。

表2 不同RC節(jié)點(diǎn)的極限荷載對比Tab.2 Comparison of the ultimate loads for the different type of the RC joints

由表2可知，有限元計(jì)算的極限承載力普遍小于試驗(yàn)值，誤差在2.8%～11.7%。綜合考慮模擬骨架曲線與試驗(yàn)骨架曲線的整體變化趨勢以及承載力誤差范圍，有限元模型均能較好的反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際力學(xué)響應(yīng)。由此可見，本文建立的wc演化算法和循環(huán)荷載下簡化有限元計(jì)算方法的可行性，也驗(yàn)證了θ=3時(shí)能獲得較好的模擬結(jié)果。

6 結(jié) 論

(1) 本研究基于混凝土開裂斷裂能GF提出了適用于混凝土非線性分析的指數(shù)型軟化段應(yīng)力-開裂位移曲線，該曲線是根據(jù)GF、開裂應(yīng)力ftm和最大開裂位移w0這三參量確定的，能夠反映混凝土受拉應(yīng)力隨著開裂位移的增加而逐漸退化(軟化行為)和裂縫開展過程中的能量耗散等特征。此外，該應(yīng)力-開裂位移曲線適用于強(qiáng)度在12～120 MPa下的混凝土材料。

(2) 通過對比評價(jià)現(xiàn)有的混凝土拉dt、壓損傷參數(shù)dc計(jì)算模型，選擇了適用于RC結(jié)構(gòu)分析的能量等效dt和dc計(jì)算模型。

(3) 基于混凝土軟化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系建立了受拉殘存斷裂能密度gFR與開裂斷裂能密度gf比值的θ次方(θ為實(shí)數(shù))的wc計(jì)算模型，該計(jì)算模型同時(shí)考慮了單元特征長度leq和dt對變量wc的影響，同時(shí)本文還討論了wc計(jì)算模型的演化規(guī)律和受壓剛度恢復(fù)修正參數(shù)θ的取值。

(4) 基于現(xiàn)有混凝土裂縫特征與受拉損傷狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，提出了一種基于拉伸損傷水平dt的模型簡化處理方法。以0≤dt1≤0.75和0.75≤dt2≤dtm(dtm≤1)將循環(huán)荷載下嚴(yán)重破損的RC節(jié)點(diǎn)簡單劃分為輕微損傷(非塑性鉸區(qū))和損傷-破壞(塑性鉸區(qū))兩個(gè)區(qū)域，分別采用特征受壓剛度恢復(fù)因子wcz1和wcz2來定義兩個(gè)區(qū)域的材料屬性。采用ABAQUS對CL1節(jié)點(diǎn)進(jìn)行建模分析，討論了受壓剛度恢復(fù)修正參數(shù)θ的取值(1≤θ≤3)。經(jīng)過分析討論后以θ=3可作為確定wc計(jì)算模型的默認(rèn)值。

(5) 通過對循環(huán)荷載下的十字節(jié)點(diǎn)、邊節(jié)點(diǎn)和門式框架RC節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值模擬并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，有限元計(jì)算的極限承載力與試驗(yàn)值的誤差在2.8%～11.7%，綜合考慮模擬骨架曲線與試驗(yàn)骨架曲線的整體變化趨勢以及承載力誤差范圍，有限元模型均能較好的反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際力學(xué)響應(yīng)，驗(yàn)證了循環(huán)荷載下混凝土開裂-閉合行為計(jì)算方法的正確性以及有限元模型簡化處理方法的可行性。