侯鐵軍，滿 宇，唐 巍

（1.青海交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，青海 西寧 810000；2.廣漢市生產(chǎn)力促進(jìn)中心，四川 廣漢 618300；3.四川鹽業(yè)地質(zhì)鉆井大隊(duì)，四川 自貢 643000）

0 引 言

裂紋斷裂準(zhǔn)則的研究主要致力于解決裂紋斷裂的強(qiáng)度大小和擴(kuò)展方向2 個(gè)問(wèn)題［1］。 為預(yù)測(cè)裂紋的起裂和擴(kuò)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能角度建立了不同的斷裂準(zhǔn)則，常用的斷裂推測(cè)主要有以下3 種：ERDOGAN 等［2］提出的最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則（MTS 準(zhǔn)則），SIH 等［3］提出的最小應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則（S 準(zhǔn)則）和PALANISWAMY 等［4］提出的最大能量釋放率理論（G 準(zhǔn)則）。 但這些準(zhǔn)則的分析結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間還存在一定差別，并沒(méi)有準(zhǔn)確地描述巖石的斷裂機(jī)理，如MTS 準(zhǔn)則與材料泊松比無(wú)關(guān)，不能區(qū)分平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的差異，尚未被普遍接受。 斷裂力學(xué)領(lǐng)域相關(guān)學(xué)者從不同的機(jī)理出發(fā)對(duì)斷裂判別準(zhǔn)則做了大量研究工作，文獻(xiàn)［5-6］推導(dǎo)出了裂紋尖端塑性區(qū)半徑，建立了R 準(zhǔn)則，指出裂紋將會(huì)沿著裂紋尖端到彈塑性邊界的最短路徑擴(kuò)展；任利等［7］基于Mises 屈服準(zhǔn)則，充分考慮裂尖應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的影響，建立了新的斷裂準(zhǔn)則；董晗等［8］發(fā)現(xiàn)巖石穿透斜裂紋在單軸壓縮條件下，大角度裂紋運(yùn)用MTS 準(zhǔn)則求得的理論起裂角與實(shí)際較為吻合，小角度裂紋運(yùn)用摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則得到的理論起裂角與實(shí)際較為吻合；蔣玉川等［9］從裂紋尖端的最小無(wú)量綱塑性區(qū)尺度和廣義合成偏應(yīng)力強(qiáng)度理論相角度建立了斷裂準(zhǔn)則。 上述研究大都從應(yīng)力機(jī)理出發(fā)建立的裂紋斷裂判別準(zhǔn)則，而忽略了應(yīng)變這一材料斷裂的判別條件。 此外，最新研究表明，巖石的斷裂受裂紋尖端奇異項(xiàng)應(yīng)力強(qiáng)度因子及常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力的共同控制［10-12］。 且越來(lái)越多的試驗(yàn)證明，不考慮T 應(yīng)力的斷裂準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大誤差［13-15］。 建立裂紋擴(kuò)展的臨界條件是斷裂力學(xué)研究中的重要任務(wù)，然而無(wú)論何種斷裂準(zhǔn)則都與裂紋尖端應(yīng)力-應(yīng)變場(chǎng)的分布特征有關(guān)。 筆者主要以裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的WILLIAMS 級(jí)數(shù)解和胡克定律為基礎(chǔ)，建立了考慮T 應(yīng)力影響的最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則，在裂紋尖端應(yīng)變場(chǎng)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)裂紋擴(kuò)展規(guī)律與巖石材料性質(zhì)和T 應(yīng)力的關(guān)系進(jìn)行了研究。

1 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)級(jí)數(shù)解

傳統(tǒng)的強(qiáng)度理論假設(shè)材料為連續(xù)介質(zhì)，顯然不適用于含裂紋結(jié)構(gòu)。 WILLIAMS 建立了以裂紋尖端頂端為原點(diǎn)的極坐標(biāo)下裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)（圖1）的冪級(jí)數(shù)展開式，取應(yīng)力級(jí)數(shù)解的前2 項(xiàng)，可表示為

圖1 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)變量Fig 1 Stress field variables at crack tip

將式（1）改為以應(yīng)力強(qiáng)度因子和T 應(yīng)力表示的常見(jiàn)形式為

根據(jù)胡克定律可知，在極坐標(biāo)下裂紋尖端各應(yīng)變分量可表示為

2 最大周向應(yīng)變裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則

對(duì)于線彈性材料，最大周向應(yīng)變理論認(rèn)為：①裂紋起裂發(fā)生在裂紋尖端徑向沿周向應(yīng)變?chǔ)纽茸畲蟮姆较蛏?；②根?jù)周向應(yīng)變?chǔ)纽热〉脴O大值εθmax的條件確定裂紋擴(kuò)展方向θ0；③斷裂發(fā)生在沿裂紋尖端徑向距離rc處且周向應(yīng)變?chǔ)纽瘸^(guò)臨界值εc。 上述條件中，rc和εc是材料的固有屬性。 根據(jù)上述條件，最大周向裂紋擴(kuò)展應(yīng)變準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

以無(wú)限大平板內(nèi)含長(zhǎng)度為2d 的裂紋為研究對(duì)象，平板縱向分布均勻載荷σ，橫向載荷為kσ，k 為橫向載荷系數(shù)，裂紋傾角為β，如圖2 所示。 在該模型中應(yīng)力強(qiáng)度因子及T 應(yīng)力表達(dá)式為

圖2 無(wú)限大平板內(nèi)含傾斜直裂紋Fig.2 An angled crack in a biaxial compressive infinite plate

為方便下文討論，引入無(wú)量綱特征距離α 為

將式（3）、式（5）和式（6）代入式（4）可得裂紋起裂判別依據(jù)：

根據(jù)式（7）和式（8）即可得到泊松比、無(wú)量綱特征距離、裂紋傾角及圍壓系數(shù)等因素對(duì)脆性材料斷裂行為的影響。

3 最大周向應(yīng)變裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則解析

3.1 裂紋尖端應(yīng)變場(chǎng)

以無(wú)限大平板內(nèi)含裂紋模型為例，取縱向載荷σ ＝10 MPa，橫向載荷系數(shù)k ＝0，彈性模量E ＝20 GPa，泊松比μ＝0.2，并假設(shè)無(wú)量綱特征距離α＝0.5，將上述參數(shù)代入式（3）中，可得考慮T 應(yīng)力的裂紋尖端周向應(yīng)變分布，計(jì)算得到裂紋傾角分別為15°和60°時(shí)，裂紋尖端夾角-90°～90°內(nèi)周向應(yīng)變曲線，將不考慮T 應(yīng)力的周向應(yīng)變值列于圖中進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 裂紋傾角為15°時(shí)尖端周向應(yīng)變分布Fig.3 Crack tip circumferential strain distribution when crack dipping angle is 15°

圖4 裂紋傾角為60°時(shí)尖端周向應(yīng)變分布Fig.4 Crack tip circumferential strain distribution when crack dipping angle is 60°

由圖3 和圖4 可知，考慮T 應(yīng)力后，裂紋尖端周向應(yīng)變分布產(chǎn)生顯著變化，且周向應(yīng)變?nèi)〉脴O值的裂尖角度，即裂紋初始起裂角同樣發(fā)生改變，若忽略T 應(yīng)力，會(huì)得出錯(cuò)誤的裂紋尖端應(yīng)變場(chǎng)分布特征，進(jìn)而得到帶有很大誤差的裂紋初始起裂角。

3.2 T 應(yīng)力對(duì)裂紋起裂角的影響

將3.1 節(jié)無(wú)限大平板內(nèi)含裂紋模型參數(shù)代入式（3）中，可得不同裂紋傾角情況下，沿裂紋尖端旋轉(zhuǎn)1 周的周向應(yīng)變曲線，計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。

圖5 不同裂紋傾角下裂紋尖端周向應(yīng)變分布Fig.5 Circumferential strain distribution at crack tip with different dip angles

提取不同裂紋傾角下的裂紋尖端周向應(yīng)變最大值對(duì)應(yīng)的角度，即為不同裂紋傾角時(shí)材料的初始起裂角，進(jìn)而可以得到最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化規(guī)律，如圖6 所示。 由圖6 可知，裂紋起裂角均隨著裂紋傾角的增大而減小，當(dāng)裂紋傾角為0 時(shí)，不考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的裂紋起裂角為66°，而考慮T 應(yīng)力的預(yù)測(cè)結(jié)果為90°；當(dāng)0°＜β＜45°時(shí)，若不考慮T 應(yīng)力，預(yù)測(cè)結(jié)果偏小，當(dāng)45°＜β＜90°時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。

圖6 裂紋起裂角與裂紋傾角的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curves between critical angle and crack orientation angle

3.3 無(wú)量綱特征距離對(duì)裂紋起裂角的影響

同樣，假設(shè)μ＝0.2，可得不同無(wú)量綱下的裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化規(guī)律，如圖7 所示。 當(dāng)裂紋傾角為0°時(shí)，不同無(wú)量綱條件下，考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的裂紋起裂角均為-90°；當(dāng)0°＜β＜45°時(shí)，裂紋起裂角預(yù)測(cè)結(jié)果隨α 的增大而增大，且對(duì)裂紋傾角的變化更加敏感；當(dāng)45°＜β＜90°時(shí)，裂紋起裂角預(yù)測(cè)結(jié)果隨α 的增大而減小，但隨裂紋傾角的增大，裂紋起裂角的變化幅度逐漸減小。

圖7 無(wú)量綱特征距離對(duì)裂紋起裂角的影響Fig.7 Effect of dimensionless feature distance on crack initiation angle

4 最大周向應(yīng)變裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則驗(yàn)證

T 應(yīng)力和α 對(duì)裂紋起裂角有重要影響，采用考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則判斷巖石裂紋的斷裂特征能夠彌補(bǔ)基于應(yīng)力的裂紋擴(kuò)展判別準(zhǔn)則的不足。 為驗(yàn)證最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則的有效性，將不考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則的起裂角預(yù)測(cè)值、不同α 時(shí)的預(yù)測(cè)值及WILLIAMS 和EWING［18］不同裂紋傾角的裂紋起裂角試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（圖8）。

圖8 巖石裂紋起裂角隨裂紋傾角的變化曲線Fig.8 Curve of initiation angle and crack orientation angle

聚甲基丙烯酸甲酯材料（PMMA）具有良好的均質(zhì)性和硬脆性，可排除材料性質(zhì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。WILLIAMS 和EWING 將該材料制成含傾斜裂紋的平板，開展了不同裂紋傾角的拉伸試驗(yàn)，所用設(shè)備為WE300 型萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)試驗(yàn)過(guò)程采用位移控制，加載速率為0.01 mm／min，保證裂紋的擴(kuò)展始終處于準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)，得到不同裂紋傾角平板的初始起裂角的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖8 所示。 由圖8 可知，考慮T 應(yīng)力修正之后的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)更加吻合，且預(yù)測(cè)結(jié)果基本分布在無(wú)量綱參數(shù)為0.1 ～0.2。 若不考慮T 應(yīng)力的影響，理論預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)結(jié)果存在很大誤差，當(dāng)β＜45°時(shí)，預(yù)測(cè)值偏小，當(dāng)β＞45°時(shí)，預(yù)測(cè)值偏大，且裂紋傾角越小，誤差越大；當(dāng)裂紋傾角較大時(shí)，Ⅰ型斷裂占主導(dǎo)地位，此時(shí)T 應(yīng)力較小，裂紋擴(kuò)展主要受奇異項(xiàng)應(yīng)力強(qiáng)度因子控制，因此，不考慮T 應(yīng)力的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)結(jié)果誤差較小，而當(dāng)裂紋傾角較小時(shí)，Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位，T 應(yīng)力偏大，裂紋擴(kuò)展受T 應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度因子的共同作用，T 應(yīng)力的影響不可忽略，因此誤差偏大。

5 結(jié) 論

1）當(dāng)裂紋傾角為0 時(shí)，不考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)裂紋起裂角為66°，而考慮T 應(yīng)力后預(yù)測(cè)結(jié)果為90°；當(dāng)45°＜β＜90°時(shí)，裂紋起裂角預(yù)測(cè)結(jié)果隨α 的增大而減??；當(dāng)0°＜β＜45°時(shí)，裂紋起裂角預(yù)測(cè)結(jié)果隨α 的增大而增大，且對(duì)裂紋傾角的變化更加敏感。

2）不考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則預(yù)測(cè)值存在很大誤差，且在II 型斷裂占主導(dǎo)地位時(shí)，誤差更大；考慮T 應(yīng)力后，預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)更加吻合；T 應(yīng)力的加入使裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)解析式對(duì)裂紋尖端應(yīng)力分布的描述更加精確，因而提高了對(duì)裂紋擴(kuò)展特征預(yù)測(cè)精度；脆性材料裂紋擴(kuò)展受到裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子及常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力的共同控制。

3）考慮T 應(yīng)力的最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則描述了I 型和II 型斷裂應(yīng)力強(qiáng)度因子、斷裂韌性KⅠ和KⅡ、T 應(yīng)力以及臨界裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑和泊松比對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，彌補(bǔ)了基于應(yīng)力的裂紋擴(kuò)展判別準(zhǔn)則的不足，研究結(jié)果可為水力壓裂、煤層開采等巖土工程中的裂紋擴(kuò)展問(wèn)題提供理論支撐和指導(dǎo)。