姜祖國

吳江中學(xué)，江蘇 蘇州215200

學(xué)生在高中物理課程學(xué)習(xí)“單擺”之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“彈簧振子”，對簡諧運動模型、做簡諧運動物體的受力特征和能量特征已有所認(rèn)識，初步建立研究簡諧運動的一般思路。因此，在建立單擺規(guī)律的過程中有兩個目標(biāo)，一是以培養(yǎng)學(xué)生的物理觀念作為終極目標(biāo)；二是在教學(xué)具體實施過程中以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和科學(xué)探究能力作為具體目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、科學(xué)探究能力以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。因此，單擺的運動性質(zhì)可從以下四個角度研究。

1 從能量的角度構(gòu)建單擺模型

單擺裝置：細(xì)線一端固定，另一端系一擺球，對擺線和擺球有以下要求：擺球要小而重，擺線要輕、細(xì)且不可伸長。單擺的重心近似為球心，單擺短時間內(nèi)運動空氣阻力可以忽略不計。

觀察擺球運動可定性得出單擺的運動、受力、能量轉(zhuǎn)化等特點。擺球在豎直平面沿圓弧做往復(fù)運動，擺球機械能守恒，動能與重力勢能之間進行能量轉(zhuǎn)化。

2 從運動的角度認(rèn)識單擺規(guī)律

2.1 現(xiàn)象觀察

擺球從最低點到最高點的過程中，速度越來越小，反之，則越來越快。

2.2 邏輯推理

與彈簧振子的運動有相似之處，記錄擺球位移與時間的關(guān)系進行研究，如果符合正弦曲線關(guān)系，則是簡諧運動。

2.3 實驗論證

2.3.1 獲取運動圖像

（1）器材

支架（高約兩米，高度可調(diào)）、手機支架、擺線、直徑為1 cm的鋼質(zhì)擺球（中間有孔，且孔的一個端口較?。?、背景藍(lán)布、高分辨率智能手機一部、裝有會聲會影和GeoGebra軟件的電腦一臺。

（2）安裝

取1.5 m長擺線，一端從擺球的小孔穿過，在末端打一個結(jié)，將線結(jié)一端多余的線剪掉，緩慢用力將線結(jié)拉入小孔。

以藍(lán)布為背景，安裝好支架，調(diào)整支架高度和位置，支架距離背景約40 cm。

將擺線的另一端用夾子夾在支架上，調(diào)整擺線至合適長度，用夾子夾牢。

固定手機支架，調(diào)整手機支架的位置與擺球間距離保持在20 cm左右，手機屏幕、擺球運動所在平面與背景平行，使擺球運動范圍在屏幕中央2/3區(qū)域內(nèi)，調(diào)整手機高度，讓擺球的上沿與手機的相框上沿持平。

（3）錄像

啟動手機錄像功能，將擺球拉起一個小角度（4°左右），注意擺球運動平面、手機屏幕與背景平行，釋放擺球，讓擺球擺動，錄制幾個周期。

（4）圖像處理

將錄制好的視頻從手機相冊通過軟件發(fā)送到電腦端，打開會聲會影軟件，將視頻導(dǎo)入，從視頻所在的軌道上找到合適的起點，在“工具欄”點開“編輯”，點擊“錄制/捕獲”，點擊“快照”，則當(dāng)前幀照片被保存。每隔兩幀，再次打開“錄制/捕獲”選項，點擊“快照”，依次循環(huán)操作，直到擺球運動一個周期，也可以更多，捕獲的圖像按時間順序保存。

右鍵點擊所保存的圖片，選擇“文件夾”，將保存的圖片全部選中，復(fù)制，打開ppt，粘貼到ppt中，所有圖片上下左右均對齊。選中最外面的圖片，下拉一段距離，再選中所有圖片，鼠標(biāo)左鍵點擊工具欄圖片工具格式選項中的“對齊”，點擊縱向分布，再點擊右端對齊，則圖片縱向均勻分布。按此法調(diào)整“擺球”至合適位置，全部選中，點擊工具欄“組合”選項，再將組合好的圖像逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖1所示。圖像橫向間隔相等，橫向可等效為時間軸，縱向擺球的位置則表示擺球離開平衡位置的位移，整個圖像可表示擺球位移與時間的關(guān)系。最后，將圖片另存為jpg格式圖片文件。

圖1 擺球位移與時間的關(guān)系圖

2.3.2 圖像分析

在電腦上打開GeoGebra軟件，在工具欄“編輯”中點擊插入圖像，選擇文件，將保存的圖像文件打開到繪圖區(qū)，選擇工具欄中的描點，采用五點法在幾個特殊位置的擺球中心位置點C、D、G、E、F點，則在“代數(shù)區(qū)”自動顯示出每個點的坐標(biāo)。在代數(shù)區(qū)的底端工具欄輸入正弦擬合函數(shù)fitsin[C、D、G、E、F]，鍵入 enter鍵，軟件生成擬合曲線（圖2），并在“代數(shù)區(qū)”顯示出曲線的函數(shù)。函數(shù)的振幅、初相位及豎直方向偏移量與圖像大小、位置有關(guān)，如實驗中獲得的函數(shù)

圖2 數(shù)學(xué)軟件擬合的正弦函數(shù)圖

2.4 結(jié)論

擺球的位置為實驗值，從圖中可見，實驗值與擬合的正弦曲線完美吻合。由于位移x與時間t成正比，因此，擺球的位移與時間為正弦關(guān)系，這說明擺球做簡諧運動。

對上述函數(shù)關(guān)系式進行微分可得出擺球速度與時間的關(guān)系，同樣方法可得出擺球加速度與時間的關(guān)系，因此，利用上述方法可以全面研究擺球的運動情況。

3 從受力角度認(rèn)識單擺做簡諧運動的條件

3.1 受力分析

將擺球從平衡位置拉開一個微小距離x，并對擺球進行受力分析（圖3），擺球所受的合外力為F=mgsinθ。因此，從回復(fù)力的角度證明單擺做簡諧運動，難點是尋找物體位移大小x與sinθ的關(guān)系。

圖3 擺球受力分析圖

3.2 正弦值與弧度值的關(guān)系

表1中k為正弦值與弧度值的比值，比較發(fā)現(xiàn)：隨著角度的減小，正弦值趨近弧度值，k趨近1。因此，擺角較小時可近似有：sinθ=θ。

表1 弧度值與正弦值的關(guān)系

3.3 弧長與位移的關(guān)系

角度變化時，弧長與位移同時變化，在幾何畫板中可定量研究弧長與位移的關(guān)系。如圖4所示，取擺長Oa為L，L=12 cm，量出圓心角分別為30°、25°、20°、15°、10°、5°時圓弧 ab 長 s、a 點到 b點的位移x，并計入表2中。比較發(fā)現(xiàn)：隨著擺角的減小，圓弧的長度趨近位移大小。

表2 弧長與位移的關(guān)系

圖4 弧長與位移的關(guān)系圖

在表2中，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)隨著角度的減小，弧長與位移越來越接近，當(dāng)角度小于5°時，二者可以近似相等。

3.4 綜合分析

取位移方向為正，合外力方向與位移方向相反，當(dāng)擺角較小時，根據(jù)上述分析近似可得

從受力的角度分析，當(dāng)擺球的擺角小于5°時，可以把單擺看成簡諧運動。

4 單擺的周期公式

4.1 科學(xué)推理

從表達(dá)式可以得出：周期T只與擺長有關(guān)。

4.2 科學(xué)論證

實驗一質(zhì)量相同、擺長相同的兩個單擺球，讓它們從不同高度處同時釋放。實驗發(fā)現(xiàn)：擺球總是同時到達(dá)最低點。說明單擺周期和振幅無關(guān)。

實驗二 擺球質(zhì)量不同，擺長相同，從同一高度釋放。實驗發(fā)現(xiàn)：擺球同步運動。說明單擺周期和擺球質(zhì)量無關(guān)。

實驗三 用擺球質(zhì)量相同、擺長不同的單擺進行實驗，發(fā)現(xiàn)擺長短的振動快。說明周期和擺長相關(guān)。

實驗四定量研究周期和擺長的關(guān)系。選取擺球質(zhì)量相同，控制擺長進行多組實驗。

要求：（1）從最低點計時，誤差小。（2）從 0 開始計數(shù)，計數(shù)為1時為半個周期，計數(shù)為40時為20個周期，計數(shù)次數(shù)多可以減小相對誤差。

將測量值輸入Excel表格中，并算出其余幾組值，如表3所示。

表3 周期與擺長的關(guān)系

插入 T-l1/2、T-l、T-l2、T2-l四幅圖像（圖 5）。

圖5 周期與擺長的函數(shù)關(guān)系

4.3 結(jié)論

觀察發(fā)現(xiàn)T∝l1/2成正比。通過T2-l圖線的斜率可計算得出重力加速度為9.85 m/s2，與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?.81 m/s2相比，在誤差范圍內(nèi)相等，單擺的周期公式成立。

5 小結(jié)

綜上所述，新課程背景下教師只有轉(zhuǎn)變觀念，建立教學(xué)新程序，引領(lǐng)學(xué)生從能量、運動與相互作用等角度對物理情境展開分析，才能發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維，促進學(xué)生科學(xué)探究能力和核心素養(yǎng)的提升。