姜祖國
吳江中學(xué),江蘇 蘇州215200
學(xué)生在高中物理課程學(xué)習(xí)“單擺”之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“彈簧振子”,對簡諧運動模型、做簡諧運動物體的受力特征和能量特征已有所認(rèn)識,初步建立研究簡諧運動的一般思路。因此,在建立單擺規(guī)律的過程中有兩個目標(biāo),一是以培養(yǎng)學(xué)生的物理觀念作為終極目標(biāo);二是在教學(xué)具體實施過程中以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和科學(xué)探究能力作為具體目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、科學(xué)探究能力以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。因此,單擺的運動性質(zhì)可從以下四個角度研究。
單擺裝置:細(xì)線一端固定,另一端系一擺球,對擺線和擺球有以下要求:擺球要小而重,擺線要輕、細(xì)且不可伸長。單擺的重心近似為球心,單擺短時間內(nèi)運動空氣阻力可以忽略不計。
觀察擺球運動可定性得出單擺的運動、受力、能量轉(zhuǎn)化等特點。擺球在豎直平面沿圓弧做往復(fù)運動,擺球機械能守恒,動能與重力勢能之間進行能量轉(zhuǎn)化。
擺球從最低點到最高點的過程中,速度越來越小,反之,則越來越快。
與彈簧振子的運動有相似之處,記錄擺球位移與時間的關(guān)系進行研究,如果符合正弦曲線關(guān)系,則是簡諧運動。
2.3.1 獲取運動圖像
(1)器材
支架(高約兩米,高度可調(diào))、手機支架、擺線、直徑為1 cm的鋼質(zhì)擺球(中間有孔,且孔的一個端口較?。?、背景藍布、高分辨率智能手機一部、裝有會聲會影和GeoGebra軟件的電腦一臺。
(2)安裝
取1.5 m長擺線,一端從擺球的小孔穿過,在末端打一個結(jié),將線結(jié)一端多余的線剪掉,緩慢用力將線結(jié)拉入小孔。
以藍布為背景,安裝好支架,調(diào)整支架高度和位置,支架距離背景約40 cm。
將擺線的另一端用夾子夾在支架上,調(diào)整擺線至合適長度,用夾子夾牢。
固定手機支架,調(diào)整手機支架的位置與擺球間距離保持在20 cm左右,手機屏幕、擺球運動所在平面與背景平行,使擺球運動范圍在屏幕中央2/3區(qū)域內(nèi),調(diào)整手機高度,讓擺球的上沿與手機的相框上沿持平。
(3)錄像
啟動手機錄像功能,將擺球拉起一個小角度(4°左右),注意擺球運動平面、手機屏幕與背景平行,釋放擺球,讓擺球擺動,錄制幾個周期。
(4)圖像處理
將錄制好的視頻從手機相冊通過軟件發(fā)送到電腦端,打開會聲會影軟件,將視頻導(dǎo)入,從視頻所在的軌道上找到合適的起點,在“工具欄”點開“編輯”,點擊“錄制/捕獲”,點擊“快照”,則當(dāng)前幀照片被保存。每隔兩幀,再次打開“錄制/捕獲”選項,點擊“快照”,依次循環(huán)操作,直到擺球運動一個周期,也可以更多,捕獲的圖像按時間順序保存。
右鍵點擊所保存的圖片,選擇“文件夾”,將保存的圖片全部選中,復(fù)制,打開ppt,粘貼到ppt中,所有圖片上下左右均對齊。選中最外面的圖片,下拉一段距離,再選中所有圖片,鼠標(biāo)左鍵點擊工具欄圖片工具格式選項中的“對齊”,點擊縱向分布,再點擊右端對齊,則圖片縱向均勻分布。按此法調(diào)整“擺球”至合適位置,全部選中,點擊工具欄“組合”選項,再將組合好的圖像逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖1所示。圖像橫向間隔相等,橫向可等效為時間軸,縱向擺球的位置則表示擺球離開平衡位置的位移,整個圖像可表示擺球位移與時間的關(guān)系。最后,將圖片另存為jpg格式圖片文件。
圖1 擺球位移與時間的關(guān)系圖
2.3.2 圖像分析
在電腦上打開GeoGebra軟件,在工具欄“編輯”中點擊插入圖像,選擇文件,將保存的圖像文件打開到繪圖區(qū),選擇工具欄中的描點,采用五點法在幾個特殊位置的擺球中心位置點C、D、G、E、F點,則在“代數(shù)區(qū)”自動顯示出每個點的坐標(biāo)。在代數(shù)區(qū)的底端工具欄輸入正弦擬合函數(shù)fitsin[C、D、G、E、F],鍵入 enter鍵,軟件生成擬合曲線(圖2),并在“代數(shù)區(qū)”顯示出曲線的函數(shù)。函數(shù)的振幅、初相位及豎直方向偏移量與圖像大小、位置有關(guān),如實驗中獲得的函數(shù)
圖2 數(shù)學(xué)軟件擬合的正弦函數(shù)圖
擺球的位置為實驗值,從圖中可見,實驗值與擬合的正弦曲線完美吻合。由于位移x與時間t成正比,因此,擺球的位移與時間為正弦關(guān)系,這說明擺球做簡諧運動。
對上述函數(shù)關(guān)系式進行微分可得出擺球速度與時間的關(guān)系,同樣方法可得出擺球加速度與時間的關(guān)系,因此,利用上述方法可以全面研究擺球的運動情況。
將擺球從平衡位置拉開一個微小距離x,并對擺球進行受力分析(圖3),擺球所受的合外力為F=mgsinθ。因此,從回復(fù)力的角度證明單擺做簡諧運動,難點是尋找物體位移大小x與sinθ的關(guān)系。
圖3 擺球受力分析圖
表1中k為正弦值與弧度值的比值,比較發(fā)現(xiàn):隨著角度的減小,正弦值趨近弧度值,k趨近1。因此,擺角較小時可近似有:sinθ=θ。
表1 弧度值與正弦值的關(guān)系
角度變化時,弧長與位移同時變化,在幾何畫板中可定量研究弧長與位移的關(guān)系。如圖4所示,取擺長Oa為L,L=12 cm,量出圓心角分別為30°、25°、20°、15°、10°、5°時圓弧 ab 長 s、a 點到 b點的位移x,并計入表2中。比較發(fā)現(xiàn):隨著擺角的減小,圓弧的長度趨近位移大小。
表2 弧長與位移的關(guān)系
圖4 弧長與位移的關(guān)系圖
在表2中,通過觀察可以發(fā)現(xiàn)隨著角度的減小,弧長與位移越來越接近,當(dāng)角度小于5°時,二者可以近似相等。
取位移方向為正,合外力方向與位移方向相反,當(dāng)擺角較小時,根據(jù)上述分析近似可得
從受力的角度分析,當(dāng)擺球的擺角小于5°時,可以把單擺看成簡諧運動。
從表達式可以得出:周期T只與擺長有關(guān)。
實驗一質(zhì)量相同、擺長相同的兩個單擺球,讓它們從不同高度處同時釋放。實驗發(fā)現(xiàn):擺球總是同時到達最低點。說明單擺周期和振幅無關(guān)。
實驗二 擺球質(zhì)量不同,擺長相同,從同一高度釋放。實驗發(fā)現(xiàn):擺球同步運動。說明單擺周期和擺球質(zhì)量無關(guān)。
實驗三 用擺球質(zhì)量相同、擺長不同的單擺進行實驗,發(fā)現(xiàn)擺長短的振動快。說明周期和擺長相關(guān)。
實驗四定量研究周期和擺長的關(guān)系。選取擺球質(zhì)量相同,控制擺長進行多組實驗。
要求:(1)從最低點計時,誤差小。(2)從 0 開始計數(shù),計數(shù)為1時為半個周期,計數(shù)為40時為20個周期,計數(shù)次數(shù)多可以減小相對誤差。
將測量值輸入Excel表格中,并算出其余幾組值,如表3所示。
表3 周期與擺長的關(guān)系
插入 T-l1/2、T-l、T-l2、T2-l四幅圖像(圖 5)。
圖5 周期與擺長的函數(shù)關(guān)系
觀察發(fā)現(xiàn)T∝l1/2成正比。通過T2-l圖線的斜率可計算得出重力加速度為9.85 m/s2,與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?.81 m/s2相比,在誤差范圍內(nèi)相等,單擺的周期公式成立。
綜上所述,新課程背景下教師只有轉(zhuǎn)變觀念,建立教學(xué)新程序,引領(lǐng)學(xué)生從能量、運動與相互作用等角度對物理情境展開分析,才能發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維,促進學(xué)生科學(xué)探究能力和核心素養(yǎng)的提升。