范希智

(武漢理工大學 物理系，武漢 430070)

引 言

1987年,YABLONOVITCH在研究抑制自發(fā)輻射時提出了光子晶體的概念[1]。幾乎同時，JOHN在討論光子局域時也獨立地提出了這個概念[2]。光子晶體是將不同介電常數(shù)(或折射率)的介質(zhì)材料在空間按一定的周期排列而形成的一種人為的“晶體”結(jié)構(gòu)。

光子晶體的提出展示了一種新的控制光子的機制，促進了光子技術(shù)的進一步研究，給通訊技術(shù)、光電子技術(shù)等領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用帶來了新的生機和活力，使得用光子取代電子來傳輸、處理和存儲信息的設(shè)想更有希望實現(xiàn)[3]。

光子晶體中的折射率(或介電常數(shù))是空間的周期函數(shù)，與半導(dǎo)體材料中的電子在周期性勢場作用下形成能帶結(jié)構(gòu)相類似，在光子晶體中傳播的光子能量也會有能帶結(jié)構(gòu)[9]，能帶與能帶之間會出現(xiàn)光子帶隙(或稱禁帶)，因此，又可將光子晶體稱為光子帶隙材料或光子半導(dǎo)體。頻率(波長)落在帶隙中的光子不能在光子晶體中傳播，這些光不能進入光子半導(dǎo)體即光子晶體，將被全部反射。

表面看來，1維光子晶體的原始構(gòu)成材料的折射率只在一個方向上呈周期性變化，因而結(jié)構(gòu)簡單，實際上它是一種周期性結(jié)構(gòu)的分層薄膜材料，可采用鍍膜方法制備[10]。早在光子晶體概念提出之前，人們已經(jīng)開始對這種1維周期結(jié)構(gòu)薄膜進行研究，主要用于各種光學器件的增透、反射等的鍍膜領(lǐng)域，因此1維光子晶體是一種研究較為成熟的光子晶體，可用于可見光及紅外波段。

表征材料光學性能的參量是折射率，而光子帶隙材料即光子晶體的折射率有什么特性？從光學角度看，光子晶體的帶隙是怎樣的情況？本文中將利用分析光學薄膜的干涉矩陣法及相關(guān)的概念來討論二次元1維光子晶體的帶隙及其對應(yīng)的折射率之特征。

1 理論分析

構(gòu)成1維光子晶體的原始材料的折射率只在1維方向上周期性地變化，一個周期可以由幾層不同折射率的原始材料組成。二次元1維光子晶體的周期是最簡單的，僅由A和B兩種原始材料組成，它們的折射率分別為nA和nB，整個光子晶體是由很多個同樣的周期重復(fù)排列而成，如ABAB…ABAB，記為(AB)L，L為周期數(shù)。由于原料的折射率變化是嚴格周期性的，因此這種光子晶體可稱之為1維本征光子晶體或1維無摻雜光子晶體。目前，這種光子晶體一般附著于玻璃等透明襯底上而不能獨立存在，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

Fig.1 Model of 1-D photonic crystals structure

分析光子晶體的光學特性的方法有許多[3,11-18]，而對于1維光子晶體來說，采用傳輸特征矩陣法是非常合適的[12,15,19]，假定光波從折射率為n0的入射介質(zhì)入射到由均勻、各向同性、非磁性的介質(zhì)組成的1維光子晶體(多層膜系)的表面上，光子晶體制作在折射率為ng的透明襯底上(如圖1中所示的玻璃襯底)，則由傳輸特征矩陣法得到光子晶體表面的能量反射率為:

(1)

式中,η0為入射介質(zhì)的導(dǎo)納,Y是光子晶體與襯底的組合體的等效導(dǎo)納。

與圖2相比，產(chǎn)物在2 997，1595和1 513 cm-1處的3個苯環(huán)特征吸收峰依然存在，1 595和1 419 cm-1處為—NO2的伸縮振動特征吸收峰，2 234 cm-1處腈基—C N的伸縮振動特征吸收峰消失。圖3中，在3198 cm-1處出現(xiàn)了N—H的伸縮振動特征吸收峰，在1595 cm-1處出現(xiàn)了—C═N的伸縮振動特征吸收峰；由于官能團為共振式，在779，705 cm-1處的2個峰為—NH2的伸縮振動特征吸收峰。上述譜圖的特征吸收峰證明產(chǎn)物為對硝基苯甲脒。

(2)

式中,B和C構(gòu)成光子晶體與襯底的組合傳輸矩陣的矩陣元素，表示為：

(3)

式中,ηj和ηg分別是第j層膜和襯底介質(zhì)的導(dǎo)納。在垂直入射的情況下，導(dǎo)納與折射率相等：ηi=c/vi(i=0,j,g),vi為入射介質(zhì)中、第j層膜中和襯底介質(zhì)中的光速，c為真空中光速。當ηg=1時，Y是純光子晶體的導(dǎo)納;在可見光、近紅外波段，Y為光子晶體的折射率。

(4)

式中，Tj為第j層薄膜的特征傳輸矩陣,δj為第j層膜的位相厚度，定義為:

(5)

式中，λ為入射光波的波長,dj為第j層膜的厚度,θj為夾角,nj為第j層膜的折射率,nj=c/vj。

對于圖1所示的結(jié)構(gòu)，每個周期內(nèi)有兩層膜，則周期的傳輸矩陣變?yōu)?

(6)

矩陣元分別為：

(7)

很明顯，關(guān)系式m11m22+m12m21=1成立。則對于結(jié)構(gòu)如圖1所示的1維光子晶體，(3)式變?yōu)椋?/p>

(8)

式中,L是指數(shù)，表示周期，即存在2L層膜。令E表示單位矩陣，即:

(9)

由(8)式遞推得：ML=UL-1(χ)M-UL-2(χ)E，從而有:

ML=

(10)

式中,UL-1(χ)、UL-2(χ)是第L-1階次、第L-2階次第2類切比雪夫多項式。于是(3)式變?yōu)椋?/p>

(11)

代入(2)式得:

(12)

由上式可見，等效導(dǎo)納Y是復(fù)數(shù)。而Y的實部為:

Yreal=

(13)

利用第2類切比雪夫多項式通項表示式和各階次第2類切比雪夫多項式之間的遞推關(guān)系[20]，(13)式變?yōu)椋?/p>

Yreal=

(14)

由上面的討論可知，等效導(dǎo)納Y及其實部Yreal都是波長λ的函數(shù)，即Y=Y(λ)，Yreal=Yreal(λ)。結(jié)合第2類切比雪夫多項式的特性，通過(14)式或(13)式可見，1維光子晶體的周期數(shù)達到一定數(shù)值時，等效導(dǎo)納的實部Yreal(λ)在某波長范圍內(nèi)的取值將趨近于或等于零。

2 實驗討論

設(shè)構(gòu)成1維光子晶體周期的兩種介質(zhì)A和B分別是氟化鎂(MgF2)和硫化鋅(ZnS)，它們的折射率分別為nA=1.38(MgF2)，nB=2.35(ZnS)。每個介質(zhì)層的光學厚度均為某一參考波長λ0的1/4，即nAdA=nBdB=λ0/4，dA和dB是介質(zhì)層的幾何厚度，與波長λ0對應(yīng)的頻率是ω0。晶體由有限個周期組成，設(shè)周期數(shù)為10，即介質(zhì)層的總數(shù)為20層。將1維光子晶體制作在折射率ng=1.0的襯底上，并設(shè)光從真空垂直入射到光子晶體表面，則入射介質(zhì)的折射率n0=1.0 (ng=1.0即為真空，如前所述，光學薄膜型光子晶體不能獨立存在，一般附著于玻璃等襯底上，這樣會形成光子晶體與襯底的組合體，這里設(shè)ng=1.0是為了討論純光子晶體的情況)。圖2a中為這種1維光子晶體的Yreal(λ)曲線。該曲線是根據(jù)(14)式或(13)式利用數(shù)值計算而繪制的，此時取λ0=510nm，由圖可見，大約在440nm～630nm的范圍內(nèi)，等效導(dǎo)納實部Yreal(λ)是等于零(趨近于零)的。

當實部等于零時，等效導(dǎo)納Y即變成純虛數(shù)，在此情況下，(1)式中的Y就是純虛數(shù)，這樣反射率R=1.0，在相應(yīng)波長范圍內(nèi)的入射光被全部反射，按照光子晶體帶隙的定義，這個波長范圍就是帶隙。圖2b中的光子晶體的反射率曲線是根據(jù)(1)式～(5)式進行數(shù)值計算而繪制的。由圖可見，反射率R=1.0,波長范圍也是大約在440nm～630nm之間。

這里討論的是光學薄膜型的1維光子晶體，如前所述，其等效導(dǎo)納即為其等效折射率，在光垂直入射時即為光子晶體的折射率[10]。在帶隙范圍內(nèi)1維光子晶體的(等效)折射率是虛(等效)折射率。正是由于虛(等效)折射率的出現(xiàn)，處于帶隙內(nèi)的入射光被全部反射，實現(xiàn)光子晶體的功用。

圖2是1維10周期的MgF2/ZnS光子晶體在光垂直入射下出現(xiàn)帶隙與虛折射率(復(fù)折射率的實部為零)相對應(yīng)的情形。同樣，根據(jù)(14)式或(13)式利用數(shù)值計算而繪制這種光子晶體光在斜入射下的Yreal(λ)曲線，取入射角為θ0=30°，如圖3a和圖3b所示。在相同的入射角下，根據(jù)(1)式～(5)式進行數(shù)值計算而繪制光子晶體斜入射時的反射率R(λ)曲線，如圖3c和圖3d所示。

Fig.2 The curve of real part of the effective admittance and the reflectivity of 1-D photonic crystal with MgF2/ZnS

光在斜入射情形下，可分成p光和s光分別進行討論，圖3a和圖3b中分別是p光和s光的Yreal(λ)曲線：Yp,real(λ),Ys,real(λ)；圖3c和圖3d中分別是p光和s光的R(λ)曲線：Rp(λ),Rs(λ)。由圖中R(λ)曲線可見，無論s光還是p光，都出現(xiàn)反射率是100%的波長區(qū)域，即出現(xiàn)帶隙，p光和s光的帶隙范圍大約在420nm～580nm和410nm～600nm，而在對應(yīng)的波長區(qū)域內(nèi)，Yp,real(λ)=0，Ys,real(λ)=0，如圖3a和圖3b中的Yreal(λ)曲線所示，這說明在帶隙內(nèi)，光子晶體表現(xiàn)出具有虛等效折射率的情況，這表明在斜入射下，也會出現(xiàn)帶隙與虛折射率(復(fù)折射率的實部為零)相對應(yīng)的情形。

Fig.3 The curve of real part of the effective admittance and the reflectivity of 1-D photonic crystal with MgF2/ZnS at incident angle of θ0=30°

由此可見，光子晶體出現(xiàn)帶隙，其復(fù)折射率的實部為零，即折射率成為虛折射率。至于光子晶體帶隙大小，它與構(gòu)成光子晶體的原始材料的折射率及光子晶體之虛等效折射率材料的關(guān)系，要根據(jù)(1)式～(10)式和第2類切比雪夫多項式的定義出發(fā)進行詳細的討論，限于篇幅，作者將于另文發(fā)表分析和結(jié)果，這里從略。

3 結(jié) 論

1維光子晶體在能帶結(jié)構(gòu)上存在著帶隙，頻率或波長處于帶隙的光波不能通過或進入1維光子晶體而被全部反射。1維光子晶體的等效折射率(等效導(dǎo)納)是復(fù)數(shù)，隨入射光波波長而變化，對于帶隙范圍內(nèi)的光波而言，1維光子晶體的等效折射率的實部等于或趨近于零，此時變成虛等效折射率，在垂直入射下即是虛折射率。

作者以氟化鎂(MgF2)和硫化鋅(ZnS)構(gòu)成的多周期的二次元1維光子晶體為例，分析了這種情況，可以知道,對于頻率或波長處于帶隙的光波而言，1維光子晶體表現(xiàn)為其等效折射率是虛等效折射率，換言之，1維光子晶體是虛等效折射率材料。金屬可以近似看作虛折射率材料，全反射發(fā)生時，光疏媒質(zhì)看作是虛等效折射率材料，而這里討論的1維光子晶體可以既是虛折射率材料，又是虛等效折射率材料，前者是光垂直入射的情形，后者則是斜入射下的情形。無論哪種，都是處于1維光子晶體的帶隙范圍內(nèi)，由此看來，光子晶體帶隙的光學本質(zhì)是：在帶隙范圍內(nèi)光子晶體變成虛等效折射率材料。