陳曉文，魏小琴，湯明玥，鄧涵凌

(1.川北醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)影像學(xué)院，南充 637000；2.川北醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，南充 637000)

引 言

激光束在大氣中的傳輸研究對(duì)光通訊、衛(wèi)星遙感等實(shí)際應(yīng)用有一定指導(dǎo)意義[1]，值得科研工作者對(duì)其展開相關(guān)研究。然而，復(fù)雜的大氣環(huán)境需要找到一個(gè)合適的湍流模型來(lái)進(jìn)行描述，前期科研工作者們均采用常規(guī)的Kolmogorov功率譜來(lái)研究湍流[2-5]，但實(shí)際湍流中含有各向異性統(tǒng)計(jì)特征的區(qū)域，由湍流廣義指數(shù)和廣義幅度因子描述的非Kolmogorov湍流功率譜[6]所得結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)更相符，具有一定的普適性。因此，國(guó)內(nèi)外同行們對(duì)激光束在非Kolmogorov湍流模型中的傳輸特性研究產(chǎn)生了濃厚的興趣，并于近期展開了一些相關(guān)研究[7-12]。研究發(fā)現(xiàn)，光束在湍流中傳輸?shù)墓鈴?qiáng)分布、相干度、擴(kuò)展等均對(duì)湍流廣義指數(shù)表現(xiàn)出非單調(diào)的變化。光束擴(kuò)展是激光束傳輸特性中值得重點(diǎn)關(guān)注的一個(gè)方面，目前已有大量的文獻(xiàn)[13-18]中對(duì)激光束在湍流中的擴(kuò)展展開了相關(guān)研究，并得到了一些有意義的結(jié)論?？臻g衍射及湍流介質(zhì)是造成光束擴(kuò)展的兩個(gè)主要因素，那么值得進(jìn)一步討論的是，可以考慮把光束的傳輸路徑分割為3個(gè)區(qū)域：主要因空間衍射導(dǎo)致光束擴(kuò)展的區(qū)域、空間衍射和湍流共同影響光束擴(kuò)展的區(qū)域及主要由湍流導(dǎo)致光束擴(kuò)展的區(qū)域。因此，本研究中利用湍流距離將光束的傳輸路徑分割為3個(gè)區(qū)域，并對(duì)3個(gè)區(qū)域的范圍及不同區(qū)域內(nèi)光束的擴(kuò)展進(jìn)行詳盡的討論。

另一方面，空心光束的中心光強(qiáng)分布為零，具有特殊的性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用[19-20]。空心光束在生物醫(yī)學(xué)、激光加工及微觀粒子的冷卻與囚禁等方面應(yīng)用廣泛，關(guān)于空心光束的產(chǎn)生、特性仍是目前研究的熱點(diǎn)。為此，科研工作者們就湍流對(duì)空心光束傳輸特性的影響開展了大量研究[21-22]。然而，迄今為止，關(guān)于空心光束在湍流中的區(qū)域分割研究尚未涉及。

綜上所述，本文中依據(jù)湍流距離，將空心光束在湍流中的傳輸路徑分割為3個(gè)區(qū)域，詳盡討論了3個(gè)區(qū)域的范圍與光束參量和湍流參量之間的關(guān)系，同時(shí)直觀地展示了光束在3個(gè)區(qū)域內(nèi)的擴(kuò)展情況。此外，詳細(xì)討論了光束參量的選取與湍流是否在瑞利區(qū)間內(nèi)就對(duì)光束擴(kuò)展構(gòu)成影響之間的關(guān)系。

1 光束理論模型

空心光束的理論模型可由兩束不同束寬(w0和w0η分別為兩束光束的束寬，且0<η<1)的平頂光束之差構(gòu)成。那么，空心光束的復(fù)振幅可寫為：

(1)

式中，η為光束遮攔比；M,N為光束階數(shù);αm,αn,pm和pn的表達(dá)式詳見參考文獻(xiàn)[3]。

則空心光束在z=0處的光強(qiáng)表達(dá)式為[3]：

I0(r1′,r2,0)=U0*(r1′,0)U0(r2′,0)=

I01(r1′,r2′,0)+I02(r1′,r2′,0)-

I03(r1′,r2′,0)-I04(r1′,r2′,0)

(2)

式中，U0是環(huán)狀光束的復(fù)振幅，U0*是U0的共軛；r1′和r2′分別是U0函數(shù)、U0*函數(shù)中z=0處垂直于傳輸方向平面上的空間位置。其中，

(3)

(4)

式中，x1′和y1′是r1′中的直角坐標(biāo)；x2′和y2′是r2′中的直角坐標(biāo)；m′，n′是分別對(duì)應(yīng)x2′和y2′的取值階數(shù)。將(3)式中的w0換為ηw0，得到I02(r1′,r2′,0)；將(4)式中的w0與ηw0互換，得到I04(r1′,r2′,0)。

為展示空心光束在z=0處光強(qiáng)分布等高線圖，可令(3)式中r1′=r2′，并選取光束參量w0=0.02m，η=0.6，M=N=4,見圖1。

Fig.1 Contour of intensity distribution of hollow beams

2 解析式推導(dǎo)

在光束的傳輸路徑上，光束的二階矩寬度定義為[3]：

(5)

式中，I(r,z)為空心光束傳輸路徑上z處的光強(qiáng)分布，r為傳輸路徑上的空間位置。利用廣義惠更斯-菲涅耳公式，I(r,z)可表示為：

〈 exp[ψ*(r,r1′,z) +ψ(r,r2′,z)]〉m

(6)

式中，波數(shù)k=2π/λ;ψ(r,r2′,z)是湍流介質(zhì)的復(fù)相位結(jié)構(gòu)函數(shù)，ψ*(r，r1′,z)是其共軛函數(shù)。湍流系綜平均〈〉m表示為[4-5]：

〈exp[ψ*(r,r1′,z)+ψ(r,r2′,z)]〉m=

(7)

式中，J0()為零階貝塞爾函數(shù)，κ表示空間頻率，ξ為傳輸路徑參量，κm為低空間截止頻率,κ0為高空間截止頻率。

綜合(2)式、(6)式及(7)式，并代入(5)式，采用積分變換法，并經(jīng)繁瑣的積分運(yùn)算，可求得空心光束傳輸于非Kolmogorov湍流中的二階矩寬度解析式：

w2(z)=w12+w22z2+Tz3

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

(12)

瑞利區(qū)間的定義：光束的橫截面積擴(kuò)展達(dá)z=0處兩倍時(shí)的傳輸距離[17]，即：

w2(zR)=w12+w22z2+Tz3=2w12

(13)

求解可得：

(14)

另一方面，湍流距離表示為光束的橫截面積因受湍流影響而擴(kuò)展10%及90%的傳輸距離[18]，分別用zt,1和zt,2表示：

(15)

式中，wf為自由空間中的束寬，wf2=w12+w22z2。求解三次方程，可得到空心光束傳輸于非Kolmogorov湍流中的湍流距離zt解析表達(dá)式：

(16)

式中，

(17)

顯然，當(dāng)μ=10%時(shí)，(16)式表示zt,1；當(dāng)μ=90%時(shí)，(16)式表示zt,2。

應(yīng)當(dāng)指出的是，光束的傳輸路徑可被zt，1和zt,2劃分為3個(gè)區(qū)域：(1)區(qū)域Ⅰ：0

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

Fig.2 zt,1,zR versus α

Fig.3 zt,1/zR versus η with different value of versus M(and N)

圖4為區(qū)域 Ⅰ 長(zhǎng)度zt,1在不同M(及N)下隨η的變化情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，zt,1隨M(及N)和η的增大而增大，其物理解釋為：M(及N)和η越大，光束的原有擴(kuò)展越大，湍流對(duì)其擴(kuò)展的影響越小，則區(qū)域 Ⅰ 的長(zhǎng)度越大。

Fig.4 zt,1 versus η with different value of M(and N)

區(qū)域 Ⅱ 的長(zhǎng)度Δzt=zt,2-zt,1在不同η和M(及N)下隨α的變化見圖5和圖6。同樣，Δzt也隨α的增大而先減小再增大(當(dāng)α=3.11時(shí)出現(xiàn)一個(gè)極小值)，且Δzt隨η和M(及N)的增大而增大。此外，α取較小值時(shí)，各條曲線差異較小，隨α的增大，Δzt差異更為明顯。

Fig.5 Δzt versus α with different value of η

Fig.6 Δzt versus α with different value of M(and N)

圖7和圖8中分別為區(qū)域Ⅲ的起點(diǎn)zt,2隨α和η的變化情況。由圖可看出，zt,2同樣隨α的增大而先減小再增大(當(dāng)α=3.11時(shí)出現(xiàn)一個(gè)極小值)，且隨M(及N)和η的增大而增大。為了更加直觀展示空心光束在湍流中的擴(kuò)展，圖9和圖10中給出了光束二階矩寬度w(z)在不同M(及N)和η下隨傳輸路徑z的變化情況，同時(shí)給出了相應(yīng)的zt,1和zt,2的具體數(shù)值。由圖可知，光束在傳輸路徑上依次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ及區(qū)域Ⅲ，其二階矩寬度w(z)的增大變得更加劇烈，且zt,1和zt,2隨M(及N)和η的增大而增大，這與上述研究結(jié)果一致；同時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著參量M(及N)和η的增加，zt,1緩慢增加，而zt,2的增大卻十分顯著。這說(shuō)明光束參量M(及N)和η對(duì)區(qū)域Ⅱ長(zhǎng)度和區(qū)域Ⅲ的起始點(diǎn)影響更大。

Fig.7 zt,2 versus α

Fig.8 zt,2 versus η with different value

Fig.9 w(z) versus z with different value of M(and N)

Fig.10 w(z) versus z with different value of η

4 結(jié) 論

建立空心光束理論模型，并推導(dǎo)其傳輸于湍流中的二階矩寬度、瑞利區(qū)間及湍流距離解析式。同時(shí)，利用湍流距離把傳輸路徑分割為3個(gè)區(qū)域，并對(duì)擴(kuò)展區(qū)域的分割范圍及不同區(qū)域內(nèi)光束的擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值理論分析。

(1)區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ的長(zhǎng)度及區(qū)域Ⅲ的起始點(diǎn)都隨α的增大而先減小再增大(當(dāng)α=3.11時(shí)出現(xiàn)一個(gè)極小值)，且隨M(及N)和η的增大而增大。

(2)M(及N)取值較小時(shí)(M(及N)<3)，不論η取何值，湍流在瑞利區(qū)間內(nèi)對(duì)光束擴(kuò)展的影響都不能忽略；M(及N)和η越大，越容易忽略湍流在瑞利區(qū)間內(nèi)對(duì)光束擴(kuò)展造成的影響。

(3)α取較大值時(shí)，不同M(及N)和η下區(qū)域Ⅱ長(zhǎng)度的差異更為顯著。

(4)傳輸路徑上，光束依次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ及區(qū)域Ⅲ,其光束擴(kuò)展依次變得更加劇烈；隨著參量M(及N)和η的增加，區(qū)域Ⅰ的長(zhǎng)度緩慢增加，而區(qū)域Ⅱ長(zhǎng)度和區(qū)域Ⅲ的起始點(diǎn)增加更為顯著。應(yīng)當(dāng)特別指出：各類激光束在湍流中傳輸，都可以采用湍流距離將光束傳輸路徑分割為3個(gè)區(qū)域，3個(gè)擴(kuò)展區(qū)域的范圍均與光束參量和湍流參量相關(guān)。本研究中所指出的區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ的長(zhǎng)度及區(qū)域Ⅲ的起始點(diǎn)都隨α的增大而先減小再增大，這一結(jié)論也能適用于其它各類光束。究其原因：本研究小組[4]曾在討論相干光束在湍流中的擴(kuò)展及方向性時(shí)指出，任意相干光束在湍流中二階矩寬度的解析式均可表達(dá)為本文中的(8)式，即二階矩寬度均由3項(xiàng)組成，前兩項(xiàng)與光束參量相關(guān)，第3項(xiàng)湍流項(xiàng)是獨(dú)立存在，因而各類光束的擴(kuò)展受湍流影響的變化趨勢(shì)是一致的，結(jié)合(7)式和(16)式可知，湍流廣義指數(shù)對(duì)空心光束湍流距離(區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ的長(zhǎng)度及區(qū)域Ⅲ的起始點(diǎn))的影響也能適用于其它光束。本研究結(jié)果對(duì)于空心光束傳輸于湍流中的相關(guān)應(yīng)用有指導(dǎo)意義。