辛莉峰，李小珍，肖 林，王 銘

(西南交通大學 土木工程學院, 四川 成都 610031)

受人為建造誤差、復雜運營環(huán)境、材料性能的經時劣化等內外、主客觀因素的影響，列車與橋梁之間的相互作用具有顯著的隨機性?，F階段，國內外學者已經逐步開展車橋耦合隨機振動的相關研究[1-7]，以期更準確地描述現實中列車運行于高速鐵路橋梁上的動力學狀態(tài)。

車橋耦合系統(tǒng)中，最為主要且常見的隨機激勵源為軌道不平順。在傳統(tǒng)確定性計算模型中，軌道不平順的空間序列是由某一功率譜密度函數轉變而來的，如具有代表性的德國軌道譜、美國軌道譜、中國軌道譜等。然而，這些軌道譜實質上是統(tǒng)計平均譜，不能完整地反映實際線路中軌道不平順的離散特性。因此，既有基于平均軌道譜的車橋耦合振動研究可能準確度欠佳、可靠性不足。近年來，研究者們已逐步開展軌道不平順隨機場模型的研究，如Perrin等[8]提出的軌道不平順隨機模型，Xu等[9-10]提出的軌道不平順概率模型等。以之為基礎，可進一步研究軌道隨機不平順對車橋耦合系統(tǒng)動力響應的影響規(guī)律。

本文建立了一種基于整體式建模方法的車-軌-橋耦合系統(tǒng)動力學模型，結合文獻[9-10]所提出的軌道不平順概率模型，綜合運用概率密度演化及極值分析等方法，研究了軌道不平順隨機性對橋梁動力響應的影響。

1 車-軌-橋耦合計算模型

如圖1所示，三維車-軌-橋動力學模型主要由車輛模型、有砟軌道模型、橋梁模型、輪軌相互作用、橋軌相互作用及數值積分方法共6大模塊組成。不同于傳統(tǒng)分離式建模方法，本文采用整體式建模方法構造車-軌-橋耦合系統(tǒng)，系統(tǒng)的動力學方程可表示為

圖1 車輛-有砟軌道-橋梁相互作用示意

(1)

將鐵路四軸車輛簡化為由一個車體、兩個構架和四位輪對組成的多剛體系統(tǒng)，車輛一系和二系懸掛等效為線性彈簧與阻尼器。車輛系統(tǒng)中的每個剛體具有垂直位移、側向位移、側傾角、橫擺角和俯仰角5個自由度，整個車輛子系統(tǒng)共有35個自由度。依據能量變分原理[11]可推導出車輛的質量、剛度、阻尼矩陣。忽略不同車輛之間的車鉤作用，可直接構造整個列車的動力矩陣Mnn、Knn和Cnn。

鐵路有砟軌道主要包括鋼軌、扣件、軌枕和道床。依據軌道動力學原理[12]，鋼軌可模擬為空間歐拉-伯努利梁，扣件可等效為線性彈簧和阻尼器，軌道可模擬為考慮垂向、橫向和扭轉自由度的剛體，道床可視為僅考慮豎向振動的質量塊，相鄰道床的剪切作用模擬為線性彈簧和阻尼器。同樣，依據能量變分原理可推導出有砟軌道結構的動力矩陣，即Mtt、Ktt和Ctt[11]。

橋梁系統(tǒng)采用有限單元法模擬，其中空間歐拉-伯努利梁單元作為基本的建模單元。與常規(guī)有限元軟件建模方法相同，先計算各個單元的單元矩陣進而用轉換矩陣形成整個橋梁系統(tǒng)的動力矩陣，即Mbb、Kbb和Cbb。

車輛與有砟軌道之間的輪軌相互作用通過新型輪軌空間耦合模型[13]模擬，具體為：采用跡線法確定輪軌空間接觸幾何關系，基于Hertz接觸理論求解輪軌法向力，依據Shen-Hedrick-Elkins飽和非線性修正方法和Kalker線性蠕滑理論求解輪軌蠕滑力和蠕滑力矩。該模型可模擬輪軌之間的分離狀態(tài)，較密貼模型更為準確。由于所求得的輪軌相互作用力位于輪軌接觸點位置，需將力分別轉換至輪對坐標系及鋼軌坐標系中，形成式(1)中的輪軌相互作用力Fnt及Ftn。

橋梁與軌道的相互作用模擬為線性彈簧與阻尼器。只需確定某時刻橋梁及軌道的振動位移和振動速度，依照其相對位移及相對速度可求解出相應的橋軌相互作用力Ftb及Fbt。

列車、軌道和橋梁三系統(tǒng)的質量、剛度及阻尼矩陣沒有耦合，即方程(1)中的動力矩陣中的耦合項均置為0矩陣。系統(tǒng)動力方程采用Houbolt積分格式求解，積分步長為0.000 1 s。至此，基于整體式建模方法的車-軌-橋耦合模型已經全部建立完畢。

2 車橋耦合計算模型驗證

為了確保車-軌-橋耦合模型的正確性，本文將程序仿真結果與車橋現場試驗數據進行了對比。測試橋梁為達成線涪江2×64 m下承式栓焊連續(xù)鋼桁梁橋，現場橋型及有限元模型分別見圖2。橋梁主桁、縱梁、橫梁、上下平縱聯(lián)、橋門架及橫向連接系均采用16Mnq，截面形狀主要為H形截面。桁架結構采用帶豎桿的華氏桁架，每跨8個節(jié)間，節(jié)間距8.0 m，桁高11 m，主桁中心距5.75 m。縱梁中心距2 m，采用明橋面設計。連續(xù)鋼桁梁“達”端支座為固定支座，“成”端及中支座為活動支座。橋梁上部線路為Ⅰ級單線有砟軌道，其中鋼軌為國標60 kg/m鋼軌，軌枕為Ⅱ型軌枕。試驗列車編組為SS3(韶山3型電力機車)+10C70(貨車)重車+10C70空車+SS3，測試速度包括5、60、65、70、75、80 km/h共6個等級。模擬中所采用的車輛及軌道參數可參看文獻[13]，軌道不平順采用三角級數法轉換美國五級譜所得。

圖2 橋梁有限元模型

首先對比有限元模型與現場實測的橋梁自振特性，見表1。由表1可知，計算值和實測值相差較小，證明該橋梁有限元模型可進一步用于車橋耦合模型中。

表1 橋梁自振特性

對第一跨右側下弦桿跨中處的峰值位移及加速度仿真結果與實測結果進行對比分析。計算值與實測值均采用低通濾波進行處理，濾波頻率為豎向20 Hz、橫向40 Hz。由表2和表3可知，位移的實測值與計算值非常相近，而加速度的誤差較位移項略大。原因在于影響位移的主要因素為測試車輛本身的重力特性，而加速度的誤差與軌道不平順情況密切相關，差別來自輸入的軌道不平順與實際情況的偏差等。整體而言，該車-軌-橋耦合動力分析模型可預測實際車橋系統(tǒng)的動力響應，模型較為可靠。

表2 右側下弦桿跨中位移值

表3 右側下弦桿跨中加速度值

3 軌道不平順概率模型

實際線路中的軌道不平順往往距離很長，可達成百上千公里。線路不同位置的外界環(huán)境差異很大，整條線路的軌道不平順不能視為平穩(wěn)隨機過程。若采用大數據方法遍歷整條線路的軌道不平順，顯然計算效率較低，不能滿足高效分析的要求。Xu等[9-10]提出的軌道不平順概率模型，可在小樣本情況下，保證軌道不平順的遍歷性，較好地解決了這些問題。模型可簡單表述為以下步驟：

Step1通過區(qū)段劃分，可將大量的不平順實測數據表達為空間向量集

XΩ(s)=[XI1,k(s),XI2,k(s),XI3,k(s),XI4,k(s)]

(2)

Step2視短距離下的軌道不平順仍符合平穩(wěn)隨機過程。設l(·)為功率譜算子，對軌道不平順樣本集合XΩ(s)進行功率譜計算，可形成樣本頻域矩陣為

(3)

式中：ω為離散頻率矢量；?(ω)為功率譜密度。

圖3為2012年5月15日于漢宜線荊門橋工段實測的高低不平順功率譜，可以看出其頻帶較寬，單一軌道譜不能完整反映實際軌道不平順的離散性。

圖3 實測漢宜線有砟軌道的高低不平順功率譜集合

Step3分析樣本頻域矩陣Jk(ω)中不同離散頻率下功率值的概率密度，并按照功率譜密度由低到高重新排序，形成概率密度矩陣

(4)

(5)

由于不同累計概率下的軌道不平順功率譜之間具有相似性特征，任意軌道不平順功率譜ζI(τ,ω)的概率可表示為

(6)

圖4 有砟軌道高低不平順譜概率分布

Step5將4種不平順類型作為相互獨立的隨機變量，根據軌道譜的概率分布特性，采用數學方法便可方便地提取代表性的功率譜，如蒙特卡洛方法、舍選法、數論方法等。

Step6由Step5提取得出的代表性功率譜，根據常規(guī)時頻變換方法即可生成空間序列，如三角級數法、逆傅里葉變換法等。圖5為采用三角級數法模擬生成的軌道不平順空間序列及功率譜，其精確性和有效性顯而易見。

圖5 軌道不平順序列的生成

軌道不平順的概率密度函數(PDF)及累計分布函數(CDF)統(tǒng)計情況見圖6，由圖6可知，實測值和模擬值在0均值處具有一定的區(qū)別，其他部分兩者的PDF及CDF特征基本吻合，原因在于實測軌道不平順難免受到人為測量誤差和病害的影響。該模型有效保證了原測試數據的信息完備性，可作為車橋耦合計算模型的激勵輸入。此外，與原500 km的不平順測試數據相比，該軌道不平順概率模型的樣本數量減少了近95%，大大減少了計算量。

圖6 有砟軌道高低不平順實測值與模擬值對比

4 數值分析條件及算法流程

依據已驗證的車-軌-橋動力分析模型及軌道不平順概率模型，引入概率密度演化方法[14]，評估軌道不平順的隨機性對系統(tǒng)響應均值、均方差、極值等統(tǒng)計量及可靠度等指標的影響，分析流程見圖7。

圖7 分析流程

4.1 動力計算模型及條件

以高速鐵路橋梁中應用非常廣泛的32 m高速鐵路簡支梁橋作為橋梁模型算例。該橋由5跨C50混凝土箱梁組成上部結構，下部結構則采用C35混凝土空心墩，墩高為15 m。主梁與墩的截面見圖8。主梁和墩均采用歐拉-伯努利梁單元進行模擬。橋面二期荷載174 kN/m采用附加質量分配于主梁上。墩、梁連接處的支座按主從約束處理，墩底采用剛性固結，即不考慮地基與橋梁基礎動力相互作用的影響。結構的阻尼比取0.02。

圖8 橋梁截面(單位：mm)

車輛采用8節(jié)ICE3列車，編組情況為(動+拖+動+拖+拖+動+拖+動)，軌道為Ⅰ級單線有砟軌道，其中鋼軌為國標60 kg/m鋼軌，軌枕為Ⅱ型軌枕。詳盡的列車及軌道參數可參考文獻[13]。軌道不平順來源于第3節(jié)的模擬方法。

4.2 概率密度演化方法[14]

式(1)的車-軌-橋系統(tǒng)的動力方程可表示為

(7)

系統(tǒng)任意狀態(tài)量Z(t)唯一且連續(xù)依賴于系統(tǒng)參數和初始條件，可表示為

Z(t)=H(Θ,t)

(8)

式中：H(·)為確定性算子。

根據動力系統(tǒng)的拉格朗日描述，Z(t)的隨機性來源于Θ的隨機性，因此[Z(t),Θ]所構成的增廣系統(tǒng)滿足隨機系統(tǒng)的概率守恒原理，可表達為

(9)

式中：pZΘ(z,θ,t)為增廣系統(tǒng)[Z(t),Θ]的聯(lián)合概率密度函數；Ω為時間和隨機變量形成的增廣域。

概率密度函數pZ(z,t)可通過定義狀態(tài)向量的初始條件，并由TVD差分方法求得

(10)

詳細的推導過程及求解方法可參考文獻[14]。

5 結果分析

5.1 對橋梁加速度項的影響

橋梁加速度動力響應需控制在一定范圍內，才能保證道砟的動力穩(wěn)定性。根據TB 10621—2014《高速鐵路設計規(guī)范》[15]，橋梁橫、豎向振動加速度限值分別設定為0.14g和0.35g，該數值已經考慮了一定的安全系數。根據概率密度演化方法，可求得橋梁任意一點橫豎向振動加速度的概率密度演化情況。圖9為列車以200 km/h的速度運行于橋梁上時，橋梁第三跨跨中加速度概率密度隨時間的演化情況。由圖9可知，在隨機軌道不平順激勵下，橋梁的加速度響應呈現出復雜的概率演化過程，具體表現為：在車輛進入該跨橋梁前及出橋梁后，概率均在0附近波動；而在列車通過該橋梁時，橋梁加速度的概率密度呈現出波動較大的情況。該概率演化過程與實際的列車運行狀態(tài)相符合。

根據所得到的概率密度演化曲面，可獲取均值和標準差等常用統(tǒng)計矩。圖10為列車通過橋梁時橋梁加速度的平均值及標準差。由圖10可知，在隨機軌道不平順激勵下，橋梁橫豎向動力響應均存在很大的離散性，說明確定性車橋耦合分析不足以完整描述橋梁響應的動力行為。與文獻[1]的研究相比，圖10(a)與圖10(b)所顯示的豎向加速度的均值及標準差波形特征基本相同，均值基本相似，但是本文的均方差值要大許多，原因在于本文中軌道不平順的離散性相比于文獻[1]的更大，也說明了考慮軌道不平順譜隨機性的必要性。

圖10 橋梁第三跨跨中加速度均值及標準差曲線

橋梁系統(tǒng)動力指標的可靠度可直接由概率密度演化曲面求得

(11)

式中：R(t)為動力指標的動力可靠度；au和al分別代表了動力指標的上下界；A(a,t)為動力指標的概率密度演化情況。

圖11給出了列車行駛速度為200 km/h時橋梁第三跨跨中加速度的動力可靠度情況。由圖11可知，動力指標的可靠度均為1.0，即均未超過規(guī)范所規(guī)定的限值，證明在該隨機軌道不平順激勵下，道砟的穩(wěn)定性可以得到保證。

圖11 橋梁加速度動力可靠度

在上述分析中，雖得出了橋梁加速度的動力可靠度情況，然而并未得到其極值分布情況。極值分布在實際應用中具有重要意義，可有效判別動力指標距離限值的遠近。圖12為列車在200、220、240、260、280、300、330 km/h行駛速度下橋梁加速度極值的分布情況，由圖12可知，軌道不平順的隨機性對于橋梁加速度響應有較大的影響，響應分布范圍較廣。取置信區(qū)間為95%，橋梁加速度由200 km/h時的0.2 m/s2到1.2 m/s2逐漸發(fā)展為330 km/h時的0.65 m/s2到2.8 m/s2。當車速為330 km/h時，橋梁加速度響應的增幅明顯較大，原因在于330 km/h已經接近了該橋的共振車速。

圖12 橋梁加速度極值分布情況

5.2 對橋梁位移項的影響

對于橋梁動力響應位移項，根據TB 10621—2014《高速鐵路設計規(guī)范》[15]，跨度不超過40 m的簡支梁在設計速度250 km/h下的豎向撓度限值為L/1 400，m；而跨中的橫向振幅應滿足L/26，mm。事實上，橋梁的豎向撓度及橫向動位移主要由車輛及軌道本身的確定性荷載所決定其大小，對于軌道不平順的敏感度均不高。圖13為在不同累計概率的軌道不平順激勵下的橋梁第三跨跨中位移情況，可以看出，在不同累計概率的軌道不平順激勵下，橋梁的豎向撓度幾乎無差別，橋梁的橫向振幅的變化也不大，其最大差異僅在0.046 mm。因此，若僅為了分析橋梁的位移項，考慮軌道不平順隨機性的意義不大。

圖13 不同軌道不平順累計概率下橋梁的位移項

6 結論

本文提出了基于整體式建模方法的車-軌-橋耦合計算模型，與現場實測數據進行了對比，證明了模型的可靠性。結合軌道不平順概率模型，采用概率密度演化方法及極值分析理論研究了軌道不平順對于橋梁系統(tǒng)動力響應的影響。具體結論如下：

(1) 軌道不平順的隨機性對于橋梁加速度動力響應影響較大，且應合理考慮軌道不平順的全概率波動特征。

(2) 結合軌道不平順概率模型及概率密度演化方法，可有效地推導出車橋耦合系統(tǒng)的動力可靠度。

(3) 在本文的軌道不平順條件下，橋梁加速度動力響應均在限值內，可保障道砟的穩(wěn)定性。

(4) 軌道不平順的時空隨機性對橋梁位移動力響應影響較小。