俞正強(qiáng)
數(shù)學(xué)是有樂趣的。有些樂趣是屬于功用的,比如學(xué)了數(shù)學(xué)可以計(jì)算從甲地到乙地的時(shí)間;有些樂趣是功利的,比如學(xué)了數(shù)學(xué)可以升入高一級(jí)的學(xué)校,或者說學(xué)了數(shù)學(xué)可以得到一些肯定。這些功用也好,功利也罷,都不屬于數(shù)學(xué)的本真樂趣。作為一名數(shù)學(xué)老師,真正在乎的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本真樂趣的體驗(yàn)。這種本真樂趣是來自數(shù)學(xué)深處的、與人的內(nèi)心抑制不住的認(rèn)知沖突相聯(lián)的,是讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)的原因所在。
本文以“面積的認(rèn)識(shí)”為例,談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)的本真樂趣,如何顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的本真樂趣,同時(shí)討論本真樂趣之于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。
一、案例:“面積的認(rèn)識(shí)”通常是這樣教的
“面積的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念課。概念課都是枯燥無味的,其上課流程基本是:
1.定義:什么是面積?(物體表面或封閉圖形的大小叫面積)
2.理解:什么是物體表面?什么是封閉圖形?什么是大???
3.練習(xí):①判斷題。
②其他類型題。
具體展開基本是這樣的:
環(huán)節(jié)一:認(rèn)識(shí)面積,達(dá)成對(duì)面積概念的理解
師:同學(xué)們,大家知道什么是面積嗎?
生:物體表面或封閉圖形的大小叫面積。
師:什么是物體表面?物體表面在哪里?
(操作:學(xué)生摸一摸)
師:什么是封閉圖形?有哪些封閉圖形?
(討論:各種圖形)
師:大小指什么?
(操作:給各種圖形涂上顏色)
環(huán)節(jié)二:鞏固認(rèn)識(shí),厘清面積概念與相關(guān)概念的區(qū)別
(過程略)
老師們?cè)诮獭懊娣e的認(rèn)識(shí)”這一課時(shí),通常精力都花在練習(xí)設(shè)計(jì)與批改上,教授面積概念本身花的時(shí)間是不多的。環(huán)節(jié)一用六七分鐘即可結(jié)束。
二、討論:面積該如何認(rèn)識(shí)
小學(xué)數(shù)學(xué)中,圖形的周長與面積的辨析是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)閷W(xué)生極易混淆,所以老師很頭痛,于是會(huì)增加許多練習(xí),以為學(xué)生練習(xí)多了,混淆便清晰了。
而事實(shí)是,練習(xí)再多,學(xué)生依然會(huì)產(chǎn)生混淆。最后,老師會(huì)教一個(gè)訣竅:凡是單位帶平方的,是面積;凡是單位不帶平方的,是周長。這個(gè)訣竅對(duì)有單位的題目是有效的,但對(duì)于不帶單位的題目,學(xué)生又抓狂了,毫無樂趣可言,唯留苦痛在心間。
面積與周長的混淆,其根本原因在于學(xué)生認(rèn)識(shí)不清晰。認(rèn)識(shí)模糊才是發(fā)生混淆的根本原因。所謂認(rèn)識(shí)到位,行為正確。行為發(fā)生偏差的根本在于認(rèn)識(shí)沒有到位。
以面積的定義為例:物體表面或封閉圖形的大小叫作面積。我們思考一下:學(xué)生讀到“物體表面”這四個(gè)字的時(shí)候,腦中浮現(xiàn)的與之對(duì)應(yīng)的表象應(yīng)該是“體”;讀到“封閉圖形”這四個(gè)字的時(shí)候,腦中浮現(xiàn)的與之對(duì)應(yīng)的表象應(yīng)該是“線”。也就是說,在讀面積定義的時(shí)候,學(xué)生腦中顯現(xiàn)的與文字匹配的表象沒有“面”。
須知,“面”是面積的主角??!主角都沒有出場,與主角相連的那些元素豈非成了流沙上的建筑?
所以我們?cè)谡J(rèn)識(shí)面積的時(shí)候,首先要認(rèn)識(shí)的是“面”這個(gè)對(duì)象。認(rèn)識(shí)這個(gè)對(duì)象主要有兩方面內(nèi)容:特征與屬性。面的特征與屬性都認(rèn)識(shí)了,定義便寓于其中了。那么“面積的認(rèn)識(shí)”該如何展開呢?
三、實(shí)踐:如何認(rèn)識(shí)面的特征與屬性
如何認(rèn)識(shí)面的特征與屬性,進(jìn)而形成面積的定義呢?我的做法基本是如下流程。
環(huán)節(jié)一:認(rèn)識(shí)“面”的特征
(1)將“面”對(duì)象化
在黑板上寫下“一個(gè)面”三個(gè)字?!耙粋€(gè)”兩字寫得比較小,“面”字寫得比較大。
任務(wù):請(qǐng)同學(xué)們給大家介紹一個(gè)自己非常熟悉的面。
【分析】因?yàn)椤懊妗钡那懊鎸懥恕耙粋€(gè)”兩字,學(xué)生就不會(huì)講方便面之類的事物,但介紹“一個(gè)面”這件事,卻十分困難。大部分學(xué)生會(huì)說沒有,個(gè)別學(xué)生會(huì)說長方形、正方形之類的。在長方形里涂面這件事的結(jié)果就是長方形、正方形上有面,此外便沒有了。這個(gè)困難,充分顯現(xiàn)了“面”作為對(duì)象的重要性。
教師可以啟發(fā)學(xué)生:請(qǐng)同學(xué)們拿起書,書有個(gè)面叫什么面?
生:封面。
師:封面大家熟悉嗎?這么熟悉為什么說不上來?你還能說出自己熟悉的面嗎?
生:墻面、地面、臉面、水面、床面……
【分析】一旦打開生活庫,關(guān)于面的說法便不勝枚舉了。從開始時(shí)的愕然到現(xiàn)在的坦然,學(xué)生經(jīng)歷了“面”的對(duì)象化的過程,體會(huì)到原來我們就生活在“面”的世界里?!懊妗痹趯W(xué)生熟悉而不知的世界里作為對(duì)象凸顯出來。這個(gè)凸顯的過程帶給學(xué)生們極強(qiáng)的心理體驗(yàn),這種心理體驗(yàn)便是樂趣的來源。
(2)厘清“面”與“形”的關(guān)系
師:這么多同學(xué)都回答了自己熟悉的面,讓每個(gè)人都說,時(shí)間來不及,我想請(qǐng)大家把熟悉的面畫下來。
(學(xué)生畫)
師:(投影一位學(xué)生的畫)請(qǐng)同學(xué)們猜一猜,他畫的是一個(gè)什么面?
生:水面、墻面、地面……
師:這位同學(xué)畫的面,為什么在不同的同學(xué)看來是如此不同呢?
生:這位同學(xué)畫了一個(gè)長方形,而那些面都可能是長方形的。
(略過其他形狀)
師:同學(xué)們?cè)诋嬅娴倪^程中有什么體會(huì)要跟大家分享?
生:把面畫下來就是一個(gè)一個(gè)的形。
師:這個(gè)世界是先有面還是先有形?
生:先有面。
【分析】“面”是一個(gè)對(duì)象,“面”是一個(gè)存在。“形”是我們對(duì)“面”的存在的一種區(qū)分。先有“面”而后有“形”,這一認(rèn)識(shí)非常重要,這個(gè)認(rèn)識(shí)顛覆了學(xué)生在課外學(xué)習(xí)班中經(jīng)歷的在“形”上找“面”的認(rèn)識(shí)。從“形”上找“面”,學(xué)生就會(huì)形成先有“形”而后有“面”的認(rèn)識(shí),這樣就把“形”作為對(duì)象了。這種顛覆給學(xué)生們帶來的體驗(yàn)可以描述為“撥亂反正”的舒適感,這種舒適感正是認(rèn)識(shí)的樂趣所在。
(3)厘清“面”與“體”的關(guān)系
師:同學(xué)們,你們認(rèn)為這些“面”都可以撕下來嗎?
生:地面不行,墻面不行,封面行。
師:同學(xué)們,封面能撕下來嗎?
生:能撕下來。(學(xué)生撕下封面)
師:一本書有幾個(gè)封面?
生:一個(gè)。
師:(請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察撕下的封頁)這張有幾個(gè)面?
生:兩個(gè)。
師:一個(gè)面能撕下來嗎?
生:撕的永遠(yuǎn)是一張紙,撕不下一個(gè)面。
結(jié)論:面是撕不下來的。
【分析】關(guān)于面能否撕下的討論是反常識(shí)的,因?yàn)榉闯WR(shí),所以學(xué)生的情緒體驗(yàn)十分生動(dòng)。他們一直以為封面是能撕下來的,討論的結(jié)果是封面是撕不下來的?!懊妗笔且环N存在,卻不是獨(dú)立存在,只是“體”存在的一種方式。
(4)“面”的分類討論
師:黑板上記錄了同學(xué)們列舉的熟悉的面,請(qǐng)問這些面中哪個(gè)面最特別?特別之處在哪里?
結(jié)論:臉面最特別。
【分析】這是對(duì)面的分類的討論。臉面為曲面,其他面為平面。從情緒節(jié)奏上來看,是為撕面的討論所引起的激烈情緒做一個(gè)平復(fù)的過渡,因?yàn)楹竺嬗嘘P(guān)于面的屬性的討論,也是十分糾結(jié)的。
環(huán)節(jié)二:認(rèn)識(shí)“面”的屬性
(1)關(guān)于輕重
教師板書:輕重
師:請(qǐng)同學(xué)們討論:面有輕重嗎?或者說面有重量嗎?觀點(diǎn)一:面有輕重。觀點(diǎn)二:面無輕重。請(qǐng)同學(xué)們說明面無輕重的理由。
生:因?yàn)槊媸撬翰幌聛淼?,既然撕不下來,怎么稱得出重量呢?
(2)關(guān)于大小
教師板書:長短 大小
師:請(qǐng)同學(xué)們說一說,兩個(gè)面比較的時(shí)候,我們通常是比較大小還是長短呢?觀點(diǎn)一:比長短。觀點(diǎn)二:比大小。請(qǐng)大家說說自己的理由。
結(jié)論:面的屬性是大小。
教師板書:輕重×
長短×
大小√
【分析】如果說認(rèn)識(shí)面的特征是逐步抽象的認(rèn)識(shí)過程,那么認(rèn)識(shí)面的屬性就是去偽存真的過程。面沒有重量,就把“面”與“體”區(qū)分開;面不論長短,就把“面”與“線”區(qū)分開。面是論大小的,大小是面的屬性。這個(gè)認(rèn)識(shí)是在辨析中完成的。因?yàn)樵谏钪忻媾c體有時(shí)很難分開,所以學(xué)生會(huì)很自然地認(rèn)為面有輕重。當(dāng)學(xué)生們明白面無輕重的時(shí)候,會(huì)感到驚詫,而這種驚詫,正是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)世界的本真樂趣。
四、辨析:什么是數(shù)學(xué)的本真樂趣
前文基本呈現(xiàn)了兩個(gè)不同認(rèn)識(shí)的版本。現(xiàn)在我們作一比較,從中體會(huì)二者的差別。
類別 一般性學(xué)習(xí) 深度學(xué)習(xí)
流程 一、定義:物體表面與封閉圖形的大小叫面積
二、解釋理解
1.物體表面
2.封閉圖形
3.大小
三、練習(xí)鞏固 一、面的特征
1.找面
2.畫面
3.撕面
4.面的分類
二、面的屬性
1.無輕重
2.不論長短,只論大小
三、定義:面的大小叫面積
學(xué)習(xí)類型 由外而內(nèi)的接受性學(xué)習(xí)
概念內(nèi)化的過程 由內(nèi)而外的生成性學(xué)習(xí)
經(jīng)驗(yàn)概念化的過程
什么是數(shù)學(xué)的本真樂趣?
本真樂趣,就像吃飯時(shí)的米香、吃面時(shí)的麥香,來自人類利用數(shù)學(xué)這一工具認(rèn)識(shí)世界時(shí)所產(chǎn)生的情緒體驗(yàn)。體驗(yàn)若無,自然是無樂趣;體驗(yàn)越豐富,樂趣越濃郁。
本真樂趣的顯現(xiàn),就是將學(xué)生們帶入真實(shí)的學(xué)習(xí)中,而真實(shí)的學(xué)習(xí),往往是簡單的、有深度的、充滿樂趣的。
(作者系浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長)
責(zé)任編輯:胡玉敏
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