俞正強(qiáng)

數(shù)學(xué)是有樂(lè)趣的。有些樂(lè)趣是屬于功用的，比如學(xué)了數(shù)學(xué)可以計(jì)算從甲地到乙地的時(shí)間;有些樂(lè)趣是功利的，比如學(xué)了數(shù)學(xué)可以升入高一級(jí)的學(xué)校，或者說(shuō)學(xué)了數(shù)學(xué)可以得到一些肯定。這些功用也好，功利也罷，都不屬于數(shù)學(xué)的本真樂(lè)趣。作為一名數(shù)學(xué)老師，真正在乎的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本真樂(lè)趣的體驗(yàn)。這種本真樂(lè)趣是來(lái)自數(shù)學(xué)深處的、與人的內(nèi)心抑制不住的認(rèn)知沖突相聯(lián)的，是讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)的原因所在。

本文以“面積的認(rèn)識(shí)”為例，談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)的本真樂(lè)趣，如何顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的本真樂(lè)趣，同時(shí)討論本真樂(lè)趣之于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

一、案例：“面積的認(rèn)識(shí)”通常是這樣教的

“面積的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念課。概念課都是枯燥無(wú)味的，其上課流程基本是：

1.定義：什么是面積？（物體表面或封閉圖形的大小叫面積）

2.理解：什么是物體表面？什么是封閉圖形？什么是大??？

3.練習(xí)：①判斷題。

②其他類型題。

具體展開(kāi)基本是這樣的：

環(huán)節(jié)一：認(rèn)識(shí)面積，達(dá)成對(duì)面積概念的理解

師：同學(xué)們，大家知道什么是面積嗎？

生：物體表面或封閉圖形的大小叫面積。

師：什么是物體表面？物體表面在哪里？

（操作：學(xué)生摸一摸）

師：什么是封閉圖形？有哪些封閉圖形？

（討論：各種圖形）

師：大小指什么？

（操作：給各種圖形涂上顏色）

環(huán)節(jié)二：鞏固認(rèn)識(shí)，厘清面積概念與相關(guān)概念的區(qū)別

（過(guò)程略）

老師們?cè)诮獭懊娣e的認(rèn)識(shí)”這一課時(shí)，通常精力都花在練習(xí)設(shè)計(jì)與批改上，教授面積概念本身花的時(shí)間是不多的。環(huán)節(jié)一用六七分鐘即可結(jié)束。

二、討論：面積該如何認(rèn)識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形的周長(zhǎng)與面積的辨析是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)閷W(xué)生極易混淆，所以老師很頭痛，于是會(huì)增加許多練習(xí)，以為學(xué)生練習(xí)多了，混淆便清晰了。

而事實(shí)是，練習(xí)再多，學(xué)生依然會(huì)產(chǎn)生混淆。最后，老師會(huì)教一個(gè)訣竅：凡是單位帶平方的，是面積;凡是單位不帶平方的，是周長(zhǎng)。這個(gè)訣竅對(duì)有單位的題目是有效的，但對(duì)于不帶單位的題目，學(xué)生又抓狂了，毫無(wú)樂(lè)趣可言，唯留苦痛在心間。

面積與周長(zhǎng)的混淆，其根本原因在于學(xué)生認(rèn)識(shí)不清晰。認(rèn)識(shí)模糊才是發(fā)生混淆的根本原因。所謂認(rèn)識(shí)到位，行為正確。行為發(fā)生偏差的根本在于認(rèn)識(shí)沒(méi)有到位。

以面積的定義為例：物體表面或封閉圖形的大小叫作面積。我們思考一下：學(xué)生讀到“物體表面”這四個(gè)字的時(shí)候，腦中浮現(xiàn)的與之對(duì)應(yīng)的表象應(yīng)該是“體”;讀到“封閉圖形”這四個(gè)字的時(shí)候，腦中浮現(xiàn)的與之對(duì)應(yīng)的表象應(yīng)該是“線”。也就是說(shuō)，在讀面積定義的時(shí)候，學(xué)生腦中顯現(xiàn)的與文字匹配的表象沒(méi)有“面”。

須知，“面”是面積的主角?。≈鹘嵌紱](méi)有出場(chǎng)，與主角相連的那些元素豈非成了流沙上的建筑？

所以我們?cè)谡J(rèn)識(shí)面積的時(shí)候，首先要認(rèn)識(shí)的是“面”這個(gè)對(duì)象。認(rèn)識(shí)這個(gè)對(duì)象主要有兩方面內(nèi)容：特征與屬性。面的特征與屬性都認(rèn)識(shí)了，定義便寓于其中了。那么“面積的認(rèn)識(shí)”該如何展開(kāi)呢？

三、實(shí)踐：如何認(rèn)識(shí)面的特征與屬性

如何認(rèn)識(shí)面的特征與屬性，進(jìn)而形成面積的定義呢？我的做法基本是如下流程。

環(huán)節(jié)一：認(rèn)識(shí)“面”的特征

（1）將“面”對(duì)象化

在黑板上寫下“一個(gè)面”三個(gè)字?！耙粋€(gè)”兩字寫得比較小，“面”字寫得比較大。

任務(wù)：請(qǐng)同學(xué)們給大家介紹一個(gè)自己非常熟悉的面。

【分析】因?yàn)椤懊妗钡那懊鎸懥恕耙粋€(gè)”兩字，學(xué)生就不會(huì)講方便面之類的事物，但介紹“一個(gè)面”這件事，卻十分困難。大部分學(xué)生會(huì)說(shuō)沒(méi)有，個(gè)別學(xué)生會(huì)說(shuō)長(zhǎng)方形、正方形之類的。在長(zhǎng)方形里涂面這件事的結(jié)果就是長(zhǎng)方形、正方形上有面，此外便沒(méi)有了。這個(gè)困難，充分顯現(xiàn)了“面”作為對(duì)象的重要性。

教師可以啟發(fā)學(xué)生：請(qǐng)同學(xué)們拿起書，書有個(gè)面叫什么面？

生：封面。

師：封面大家熟悉嗎？這么熟悉為什么說(shuō)不上來(lái)？你還能說(shuō)出自己熟悉的面嗎？

生：墻面、地面、臉面、水面、床面……

【分析】一旦打開(kāi)生活庫(kù)，關(guān)于面的說(shuō)法便不勝枚舉了。從開(kāi)始時(shí)的愕然到現(xiàn)在的坦然，學(xué)生經(jīng)歷了“面”的對(duì)象化的過(guò)程，體會(huì)到原來(lái)我們就生活在“面”的世界里?！懊妗痹趯W(xué)生熟悉而不知的世界里作為對(duì)象凸顯出來(lái)。這個(gè)凸顯的過(guò)程帶給學(xué)生們極強(qiáng)的心理體驗(yàn)，這種心理體驗(yàn)便是樂(lè)趣的來(lái)源。

（2）厘清“面”與“形”的關(guān)系

師：這么多同學(xué)都回答了自己熟悉的面，讓每個(gè)人都說(shuō)，時(shí)間來(lái)不及，我想請(qǐng)大家把熟悉的面畫下來(lái)。

（學(xué)生畫）

師：（投影一位學(xué)生的畫）請(qǐng)同學(xué)們猜一猜，他畫的是一個(gè)什么面？

生：水面、墻面、地面……

師：這位同學(xué)畫的面，為什么在不同的同學(xué)看來(lái)是如此不同呢？

生：這位同學(xué)畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，而那些面都可能是長(zhǎng)方形的。

（略過(guò)其他形狀）

師：同學(xué)們?cè)诋嬅娴倪^(guò)程中有什么體會(huì)要跟大家分享？

生：把面畫下來(lái)就是一個(gè)一個(gè)的形。

師：這個(gè)世界是先有面還是先有形？

生：先有面。

【分析】“面”是一個(gè)對(duì)象，“面”是一個(gè)存在?！靶巍笔俏覀儗?duì)“面”的存在的一種區(qū)分。先有“面”而后有“形”，這一認(rèn)識(shí)非常重要，這個(gè)認(rèn)識(shí)顛覆了學(xué)生在課外學(xué)習(xí)班中經(jīng)歷的在“形”上找“面”的認(rèn)識(shí)。從“形”上找“面”，學(xué)生就會(huì)形成先有“形”而后有“面”的認(rèn)識(shí)，這樣就把“形”作為對(duì)象了。這種顛覆給學(xué)生們帶來(lái)的體驗(yàn)可以描述為“撥亂反正”的舒適感，這種舒適感正是認(rèn)識(shí)的樂(lè)趣所在。

（3）厘清“面”與“體”的關(guān)系

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為這些“面”都可以撕下來(lái)嗎？

生：地面不行，墻面不行，封面行。

師：同學(xué)們，封面能撕下來(lái)嗎？

生：能撕下來(lái)。（學(xué)生撕下封面）

師：一本書有幾個(gè)封面？

生：一個(gè)。

師：（請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察撕下的封頁(yè)）這張有幾個(gè)面？

生：兩個(gè)。

師：一個(gè)面能撕下來(lái)嗎？

生：撕的永遠(yuǎn)是一張紙，撕不下一個(gè)面。

結(jié)論：面是撕不下來(lái)的。

【分析】關(guān)于面能否撕下的討論是反常識(shí)的，因?yàn)榉闯ＷR(shí)，所以學(xué)生的情緒體驗(yàn)十分生動(dòng)。他們一直以為封面是能撕下來(lái)的，討論的結(jié)果是封面是撕不下來(lái)的?！懊妗笔且环N存在，卻不是獨(dú)立存在，只是“體”存在的一種方式。

（4）“面”的分類討論

師：黑板上記錄了同學(xué)們列舉的熟悉的面，請(qǐng)問(wèn)這些面中哪個(gè)面最特別？特別之處在哪里？

結(jié)論：臉面最特別。

【分析】這是對(duì)面的分類的討論。臉面為曲面，其他面為平面。從情緒節(jié)奏上來(lái)看，是為撕面的討論所引起的激烈情緒做一個(gè)平復(fù)的過(guò)渡，因?yàn)楹竺嬗嘘P(guān)于面的屬性的討論，也是十分糾結(jié)的。

環(huán)節(jié)二：認(rèn)識(shí)“面”的屬性

（1）關(guān)于輕重

教師板書：輕重

師：請(qǐng)同學(xué)們討論：面有輕重嗎？或者說(shuō)面有重量嗎？觀點(diǎn)一：面有輕重。觀點(diǎn)二：面無(wú)輕重。請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)明面無(wú)輕重的理由。

生：因?yàn)槊媸撬翰幌聛?lái)的，既然撕不下來(lái)，怎么稱得出重量呢？

（2）關(guān)于大小

教師板書：長(zhǎng)短 大小

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)，兩個(gè)面比較的時(shí)候，我們通常是比較大小還是長(zhǎng)短呢？觀點(diǎn)一：比長(zhǎng)短。觀點(diǎn)二：比大小。請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)自己的理由。

結(jié)論：面的屬性是大小。

教師板書：輕重×

長(zhǎng)短×

大小√

【分析】如果說(shuō)認(rèn)識(shí)面的特征是逐步抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程，那么認(rèn)識(shí)面的屬性就是去偽存真的過(guò)程。面沒(méi)有重量，就把“面”與“體”區(qū)分開(kāi);面不論長(zhǎng)短，就把“面”與“線”區(qū)分開(kāi)。面是論大小的，大小是面的屬性。這個(gè)認(rèn)識(shí)是在辨析中完成的。因?yàn)樵谏钪忻媾c體有時(shí)很難分開(kāi)，所以學(xué)生會(huì)很自然地認(rèn)為面有輕重。當(dāng)學(xué)生們明白面無(wú)輕重的時(shí)候，會(huì)感到驚詫，而這種驚詫，正是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)世界的本真樂(lè)趣。

四、辨析：什么是數(shù)學(xué)的本真樂(lè)趣

前文基本呈現(xiàn)了兩個(gè)不同認(rèn)識(shí)的版本?，F(xiàn)在我們作一比較，從中體會(huì)二者的差別。

類別 一般性學(xué)習(xí) 深度學(xué)習(xí)

流程 一、定義：物體表面與封閉圖形的大小叫面積

二、解釋理解

1.物體表面

2.封閉圖形

3.大小

三、練習(xí)鞏固 一、面的特征

1.找面

2.畫面

3.撕面

4.面的分類

二、面的屬性

1.無(wú)輕重

2.不論長(zhǎng)短，只論大小

三、定義：面的大小叫面積

學(xué)習(xí)類型 由外而內(nèi)的接受性學(xué)習(xí)

概念內(nèi)化的過(guò)程 由內(nèi)而外的生成性學(xué)習(xí)

經(jīng)驗(yàn)概念化的過(guò)程

什么是數(shù)學(xué)的本真樂(lè)趣？

本真樂(lè)趣，就像吃飯時(shí)的米香、吃面時(shí)的麥香，來(lái)自人類利用數(shù)學(xué)這一工具認(rèn)識(shí)世界時(shí)所產(chǎn)生的情緒體驗(yàn)。體驗(yàn)若無(wú)，自然是無(wú)樂(lè)趣;體驗(yàn)越豐富，樂(lè)趣越濃郁。

本真樂(lè)趣的顯現(xiàn)，就是將學(xué)生們帶入真實(shí)的學(xué)習(xí)中，而真實(shí)的學(xué)習(xí)，往往是簡(jiǎn)單的、有深度的、充滿樂(lè)趣的。

（作者系浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長(zhǎng)）

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