鄭衛(wèi)芳， 盧軍燕， 李 帥

(1. 鄭州工商學院 工學院， 河南 鄭州 451400； 2. 湖南大學 土木工程學院， 湖南 長沙 410082)

賦存于天然環(huán)境下的邊坡結構與一般人工結構相比，存在多個方面的特征。其中最顯著的就是其變異性問題，Phoon等[1]研究指出構成巖土工程的基本因素具有天然變異性、量測變異性和轉換變異性等三方面的主要變異源，采用結構工程領域中的可靠性分析方法及評估指標來研究這些變異性對邊坡結構穩(wěn)定性的影響，是目前巖土工程結構領域比較通用的做法，也獲得了比較廣泛的認可[2～3]。

二階矩法包括一次二階矩法(First-order Second-moment Method，F(xiàn)OSM)[4]、二次二階矩法(Second-order Second-moment Method，SOSM)[5]，由于數(shù)學概念清晰、運算過程簡便、計算工作量適中，F(xiàn)OSM是目前國際結構安全性聯(lián)合委員會(Joint Committee of Structure Safety，JCSS)所推薦使用的可靠度計算方法，我國相關規(guī)范對于可靠度計算也都推薦使用該方法[6]，SOSM是在FOSM基礎上對計算結果的修正，具有更高的精度。SOSM計算過程中，驗算點處的一階、二階和二階混合偏導數(shù)需由解析法求解，這就要求功能函數(shù)必須是顯式表達式，而且其表達式的非線性程度不能太高，以便利用Newton-Leibniz微分法直接計算驗算點處偏導數(shù)。但對于某些涉及多層巖土體、復雜外部環(huán)境(降雨、荷載、地震、錨固擋墻等)的邊坡而言，描述其可靠性的功能函數(shù)往往呈現(xiàn)為高度非線性、隱式[7～8]，有時甚至是有限元等非解析形式[9]，利用解析法計算偏導數(shù)很困難，甚至不可能。自然地，SOSM也無法求解類似邊坡可靠度，極大制約了SOSM解決實際問題的能力。

鑒于此，本文利用有限差分原理解決功能函數(shù)偏導數(shù)問題，結合常規(guī)SOSM提出了一套操作過程簡潔、適用范圍廣泛的邊坡可靠度計算方法，克服了常規(guī)SOSM中由于解析求解偏導數(shù)對功能函數(shù)形式要求過于嚴格而導致的一系列缺陷，使其不再受功能函數(shù)形式的制約，一定程度上拓展了SOSM在邊坡可靠性分析中的應用。

1 邊坡功能函數(shù)及二階矩理論

邊坡可靠性分析首先需獲得其功能函數(shù)表達式，設層狀地質體中某邊坡基于某一特定判斷指標(一般為穩(wěn)定安全系數(shù))而建立的描述其穩(wěn)定狀態(tài)的功能函數(shù)Z表達式為：Z=g(X)=Fs(X1,X2,…,Xn)-1，其中Xi(i=1,2,…,n)為各層地質體物理、力學屬性及場環(huán)境等n個基本隨機變量，F(xiàn)s為確定性分析中的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)。由于在基本隨機變量的獨立標準正態(tài)空間(Y空間)內(nèi)進行可靠性分析能帶來很大方便，所以對于非獨立、非正態(tài)隨機變量需要進行變換。鑒于相關非正態(tài)隨機變量在原始空間(X空間)與Y空間之間的互換已經(jīng)形成了相應的方法體系和成熟的操作流程[10,11]，在隨后的算例及工程分析中，對隨機變量在X空間和Y空間之間的互換，僅給出變換結果。設轉換后原隨機變量X相應的獨立標準正態(tài)隨機向量為Y，則Z=g(X)=G(Y)。

二階矩法在一些結構可靠度文獻[12]中已有完整闡述，其執(zhí)行過程中需計算功能函數(shù)對各隨機變量的一階偏導數(shù)、二階偏導數(shù)及混合二階偏導數(shù)。當邊坡功能函數(shù)為顯式表達式時(如基于瑞典條分法獲得的)，可利用常規(guī)公式法即微分法計算；當邊坡功能函數(shù)為隱式(如基于Bishop法、Spencer法或Morgenstern-Price法等)或者邊坡穩(wěn)定性判定指標(輸出)與邊坡各基本隨機變量(輸入)間關系需要利用數(shù)值模擬進行表示時，常規(guī)微分法求解偏導數(shù)是難以實現(xiàn)的。

2 常規(guī)二階矩計算方法

ZL=G(y*)+(Y-y*)T?G(y*)

(1)

(2)

αY=(aY1,aY2,…,aYn)T=-?G(y*)/‖?G(y*)‖

(3)

(4)

αYi=-[(?G(Y)/?Yi)|y*]/‖?G(y*)‖

(5)

按照文獻[4]，可靠指標β為：

(6)

(7)

以上為FOSM迭代求解結構可靠指標過程。

FOSM將功能函數(shù)利用Taylor級數(shù)展開時僅取其一次項，這對于某些非線性程度較高的功能函數(shù)近似誤差較大，為了進一步提高近似準確程度，以FOSM確定的可靠指標β和驗算點y*為基礎，將功能函數(shù)Z在驗算點y*處利用Taylor級數(shù)展開，取其二次項得到：

(8)

式中：?2G(y*)為功能函數(shù)在驗算點處的二階偏導數(shù)矩陣，即Hessian矩陣：

(9)

使用Gram-Schmidt正交化方法，構造一個正交矩陣H，并且該正交矩陣H的第n列為αY即

HTH=H-1H=I

(10)

(11)

令矩陣Q為：

(12)

按照文獻[5]提出的SOSM，結構失效概率Pf可表示為：

(13)

3 基于數(shù)值差分理論的改進SOSM

3.1 偏導數(shù)數(shù)值差分求解原理

設y=(y0,y1,…,yn-1,yn)，則G(y)有關y0,y1,…,yn-1,yn的n階差商表示為：

(14)

根據(jù)差商特征，G(y)關于y0,y1,…,yn-1,yn的n階差商又可以寫成函數(shù)值G(y0),G(y1),…,G(yn)的線性組合，即

(15)

則G(y)的n階差分與導數(shù)間關系可表示為：

G[y0,y1,…,yn-1,yn]=G(n)(ξ)/n!

(16)

式中：ξ∈[y0,yn]。

如果點y0,y1,…,yn-1,yn各點間距離相等，且相鄰兩點的長度為h。G(y)在y0,y1,…,yn-1,yn的值分別為G0,G1,…,Gn-1,Gn，記ΔGi=Gi+1-Gi為一階差分，則n階差分為：

(17)

進一步，n階差分和n階差商間存在關系：

G(y0,y1,…,yn)=ΔnG0/(n!hn)

(18)

則

(19)

若擾動步長h為一適當小值，則在驗算點y*處，函數(shù)G(y)的一階導數(shù)、二階導數(shù)可分別近似為：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

根據(jù)式(22)～(24)可知，只要確定功能函數(shù)G(Y)在點y*，yi，yii，yij(i≠j;i,j=1,2,…,n)處的函數(shù)值G(y*)，G(yi)，G(yii)，G(yij)，就可以方便地算出G(Y)在驗算點y*處的一階、二階及二階混合偏導數(shù)。對于一般的輸入輸出關系，在y*，yi，yii，yij確定后，相應的G(y*)，G(yi)，G(yii)，G(yij)也就確定了。如果G(Y)是隱式函數(shù)時，利用Z=g(X)=G(Y)的關系，在確定了點y*，yi，yii，yij后，即可反推出G(y*)，G(yi)，G(yii)，G(yij)的值。所以只要輸入變量Y與輸出量G(Y)關系存在，G(Y)在y*的一階、二階及混合二階偏導數(shù)就能確定。這種偏導數(shù)求解技術不再受功能函數(shù)形式及其復雜程度的制約，克服了經(jīng)典二階矩法中對于功能函數(shù)形式要求嚴格的缺陷。

3.2 改進SOSM的計算流程

將常規(guī)二階矩法中的偏導數(shù)解析求解思路采用上述差分求解技術代替，形成一種改進的SOSM，現(xiàn)將計算流程歸納匯總如下(i,j=1,2,…,n;i≠j)：

(3)利用式(22)確定各基本隨機變量的一階偏導數(shù)，按式(5)～(7)分別計算第一次迭代驗算得到的可靠指標β，αYi和驗算點y*(1)；

按上述過程確定可靠指標β和驗算點y*后，可繼續(xù)利用Breitung[11]的SOSM算法對計算結果進行修正改進，其運算流程如下：

(8)由式(10)～(12)確定矩陣H，Q，最后利用式(13)計算失效概率Pf。

4 實例分析

4.1 實例分析1

邊坡尺寸及幾何形狀如圖1所示，基本隨機變量黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ及重度γ的統(tǒng)計特征如表1。則原始基本隨機變量可表示為X=(c,tanφ,γ)=(X1,X2,X3)，相應經(jīng)過變換后的標準獨立正態(tài)隨機變量為Y=(Y1,Y2,Y3)，邊坡功能函數(shù)可表示為Z=g(X)=G(Y)。

利用Bishop條分法計算邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)Fs，得到相應邊坡功能函數(shù)表達式為：

(25)

mαi=cosαi(1+tanφitanαi/Fs)

(26)

式中：n為總條分塊數(shù)；i=1,2,…,n；Wi為第i個條塊的自重；bi，hi分別為第i個條塊的寬度和高度；ci，φi為有效抗剪強度指標；αi為條塊底面中點處法線與豎直線夾角；mαi為輔助系數(shù)，無實際意義。

圖1 邊坡橫截面及幾何尺寸/m

表1 邊坡基本參數(shù)統(tǒng)計特征

明顯的，邊坡功能函數(shù)Z的表達式是有關穩(wěn)定安全系數(shù)Fs的隱式函數(shù)，常規(guī)SOSM計算程序無法直接運用。利用目前精度被普遍認可的蒙特卡洛模擬(Monte Carlo Simulation，MCS)計算該邊坡可靠度，樣本模擬5×107次后得到邊坡的失穩(wěn)概率Pf,MCS=1.325%，將該解作為準精確解。

利用本文所提改進SOSM操作程序計算不同擾動系數(shù)λ下邊坡的失穩(wěn)概率Pf,λ，計算結果與準精確解Pf,MCS間對比如表2。

表2 不同λ值下本文方法計算結果

從表2可以看出，當擾動系數(shù)λ取值在區(qū)間[0.001, 0.1]時，本文方法與MCS計算結果間絕對誤差與相對誤差均逐漸減小，當λ取值0.01時，邊坡失穩(wěn)概率收斂至Pf=1.236%，該結果與MCS間的絕對誤差為0.089%，相對誤差為6.72%，其精度已足夠滿足工程要求，說明本方法計算邊坡可靠度是可行的，同時λ=0.01可作為標準獨立正態(tài)空間內(nèi)合適的擾動系數(shù)。

4.2 實例分析2

4.2.1 邊坡概況及簡要分析過程

為進一步驗證本文所提改進SOSM在層狀邊坡概率性評估中的準確性與實用性，結合數(shù)值模擬，利用本文方法計算文獻[13]～[16]中使用的經(jīng)典三層邊坡算例的可靠度。圖2為邊坡數(shù)值模擬基本模型，其中，ci，φi，γi(i=1,2,3)分別表示該邊坡第i層的黏聚力、內(nèi)摩擦角及重度，邊坡土體的基本參數(shù)統(tǒng)計特征如表3所示。

表3 邊坡基本參數(shù)統(tǒng)計特征

基本隨機變量參數(shù)為X=(c2，c3，φ1，φ2，φ3)=(X1,X2,X3,X4,X5)，假設各基本參數(shù)均服從正態(tài)分布，相應經(jīng)過變換后的標準獨立正態(tài)隨機變量為Y=(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)，則基于穩(wěn)定安全系數(shù)的邊坡功能函數(shù)可表示為：

Z=g(X)=G(Y)=g(c2,c3,φ1,φ2,φ3)-1

=Fs-1

(27)

圖2 邊坡數(shù)值模擬計算模型

根據(jù)本文所提方法的計算程序，在Y空間內(nèi)假定初始驗算y0=(0.5,0.5,0.5,0.5,0.5)，利用數(shù)值模擬軟件計算每一組參數(shù)水平下邊坡最小安全系數(shù)，從而得到相應的功能函數(shù)值，即可迭代計算該邊坡結構的可靠指標β和失效概率Pf，不同擾動系數(shù)下計算結果如表4所示。

表4 不同擾動系數(shù)下計算結果

4.2.2 計算結果分析

由表4可以看出，利用改進SOSM計算結構失效概率時，當步長系數(shù)取值0.01時，計算結果趨于收斂，即可靠指標β=3.4728，失效概率Pf=2.2547。該過程經(jīng)過了五次迭代，數(shù)值模擬次數(shù)只需50次即可完成，大大減少了數(shù)值模擬計算量。為驗證該擾動系數(shù)下本文方法的精確性，將本文方法計算結果與已有方法進行比較，如表5所示。

表5 不同可靠度計算方法的結果對比

在邊坡可靠度計算中，不同方法涉及不同的假設、模型及計算程序，因此，不同方法計算結果也不完全一致。從表5可以看出，本文方法與已有方法(文獻[16])所得可靠指標間最大相對誤差為1.71%，失效概率間相對誤差為8.9%，本文方法計算結果在精度上是可以接受的。

與已有方法比較，本文方法無需考慮結構功能函數(shù)表達式的具體形式，并且無需擬合近似響應面函數(shù)；涉及到的差分理論相對簡單，計算工作量適中，能夠獲得滿足實際工程精度要求的計算結果。本文方法在實際邊坡可靠度計算中具有一定的優(yōu)越性及實用價值。

5 結 論

本文將差分理論引入到常規(guī)二階矩計算程序中，克服了二階矩法對功能函數(shù)形式要求嚴格的局限性，形成一種簡單實用的改進SOSM。主要研究內(nèi)容及成果如下：

(1)在基本隨機變量的Y空間內(nèi)，推導出功能函數(shù)在驗算點處對隨機變量的一階偏導數(shù)、二階偏導數(shù)、二階混合偏導數(shù)計算公式；

(2)將上述計算公式作為常規(guī)方法計算程序中偏導數(shù)求解的新途徑，嵌入到SOSM計算程序當中，形成一種改進SOSM，歸納了具體計算步驟；

(3)對功能函數(shù)表現(xiàn)為隱式、數(shù)值模擬形式的兩個邊坡算例進行可靠度求解，展示了所述方法在邊坡概率性評估中的可行性及優(yōu)越性。