田 密， 盛小濤

(1. 湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院， 湖北 武漢 430068； 2. 武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430072；3. 長(zhǎng)江科學(xué)院 水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430010)

自然界土體因受復(fù)雜地質(zhì)成因影響呈現(xiàn)出顯著的空間變異性[1]。20世紀(jì)70年代，Vanmarcke提出土體剖面的隨機(jī)場(chǎng)模型，提出用波動(dòng)范圍反映空間兩點(diǎn)間土性參數(shù)的相關(guān)性。在波動(dòng)范圍內(nèi)，土性參數(shù)是相關(guān)的，大于該范圍可認(rèn)為基本不相關(guān)[2]。波動(dòng)范圍是聯(lián)系點(diǎn)變異性和空間平均特性的重要紐帶，也是隨機(jī)場(chǎng)模型應(yīng)用于實(shí)際工程的一個(gè)重要參數(shù)[2～4]。因此，如何準(zhǔn)確地計(jì)算波動(dòng)范圍是應(yīng)用隨機(jī)場(chǎng)模型恰當(dāng)描述土性參數(shù)空間變異性的關(guān)鍵。

目前，在求解波動(dòng)范圍方面國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量工作，現(xiàn)有波動(dòng)范圍計(jì)算方法主要有平均零跨法[1]、遞推空間法[1]、相關(guān)函數(shù)法[5]、擬合方差折減函數(shù)法[6]以及回歸模擬法[7]等。近些年也有學(xué)者提出了確定土性參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值(如波動(dòng)范圍)的貝葉斯方法[8～10]。雖然現(xiàn)有波動(dòng)范圍計(jì)算方法較多，但不同方法的理論根據(jù)、可靠性和應(yīng)用難易程度各不相同。如我國(guó)學(xué)者閆澍旺等[11]利用各種方法對(duì)大量實(shí)測(cè)的靜力觸探錐尖阻力和側(cè)摩阻力數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到遞推空間法、相關(guān)函數(shù)法及平均零跨法計(jì)算結(jié)果相差不多，計(jì)算結(jié)果可信程度比較高。程強(qiáng)等[12]通過(guò)數(shù)百個(gè)土層靜力觸探資料的計(jì)算得到遞推空間法和相關(guān)函數(shù)法是穩(wěn)定可靠的計(jì)算方法，平均零跨法和回歸模擬法使用有其局限性，計(jì)算結(jié)果常有較大偏差。李小勇和謝康和[8]利用各種方法對(duì)太原工程場(chǎng)地粉質(zhì)粘土層比貫入阻力進(jìn)行了波動(dòng)范圍的計(jì)算分析，統(tǒng)計(jì)模擬法計(jì)算結(jié)果明顯偏大，且變異性大，計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性差，而遞推空間法、相關(guān)函數(shù)法以及平均零跨法等方法計(jì)算結(jié)果相差不多，結(jié)果可信度比較高。李鏡培等[13]采用遞推空間法和相關(guān)函數(shù)法分析了靜力觸探比貫入阻力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，得出遞推空間法與相關(guān)函數(shù)法的求解結(jié)果相當(dāng)接近的結(jié)論，建議在大量工程場(chǎng)地的波動(dòng)范圍計(jì)算時(shí)采用遞推空間法。譚曉慧等[14]根據(jù)安徽省某工程場(chǎng)地的粉質(zhì)粘土層6個(gè)靜探孔數(shù)據(jù)資料對(duì)求波動(dòng)范圍的相關(guān)函數(shù)法和遞推空間法進(jìn)行了對(duì)比研究。

現(xiàn)有波動(dòng)范圍計(jì)算方法準(zhǔn)確性與可靠性的對(duì)比研究主要基于工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。然而，巖土工程勘察中所獲得的資料往往十分有限?；谟邢迶?shù)據(jù)采用不同方法計(jì)算的土性參數(shù)波動(dòng)范圍會(huì)存在顯著差異，難以做出比較[15]。其次，天然土體中土性參數(shù)真實(shí)的波動(dòng)范圍往往是未知的[16,17]，依據(jù)工程場(chǎng)地勘察資料采用各種波動(dòng)范圍求解方法的可靠性尚待考究。因此，有必要研究有限數(shù)據(jù)條件下各種波動(dòng)范圍求解方法的有效性，為合理選擇土性參數(shù)波動(dòng)范圍計(jì)算方法提供參考依據(jù)，從而為應(yīng)用隨機(jī)場(chǎng)模型準(zhǔn)確描述土性參數(shù)空間變異性提供所必需的輸入信息。

本文模擬生成靜力觸探試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)有限模擬數(shù)據(jù)的分析對(duì)比了求解波動(dòng)范圍的平均零跨法、相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法、擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法及貝葉斯方法的有效性。首先假定靜力觸探試驗(yàn)錐尖阻力真實(shí)的波動(dòng)范圍，生成錐尖阻力模擬數(shù)據(jù)。然后，基于有限模擬數(shù)據(jù)分別采用不同方法計(jì)算其波動(dòng)范圍，并與其真實(shí)值對(duì)比，以此說(shuō)明各種計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，探討各種方法的適用性。

1 波動(dòng)范圍計(jì)算方法

波動(dòng)范圍是描述土性參數(shù)空間變異性的重要指標(biāo)，計(jì)算方法主要有平均零跨法、遞推空間法、回歸模擬法、相關(guān)函數(shù)法、擬合方差折減函數(shù)法及貝葉斯方法等。本文主要對(duì)比分析平均零跨法、相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法、擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法及貝葉斯方法的有效性，下面分別介紹這些方法。

(1)平均零跨法

(1)

(2)相關(guān)函數(shù)法

相關(guān)函數(shù)法是通過(guò)不同類型理論的相關(guān)函數(shù)ρ(τ)擬合樣本的相關(guān)函數(shù)，選擇擬合度最優(yōu)的相關(guān)函數(shù)積分求解波動(dòng)范圍[19～21]。應(yīng)用相關(guān)函數(shù)法時(shí)，其計(jì)算結(jié)果受所選相關(guān)函數(shù)類型的影響很大。由于樣本數(shù)量的限制，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求得的相關(guān)系數(shù)ρ(τ)在后半段會(huì)出現(xiàn)劇烈振蕩(見圖1)，給選取最優(yōu)相關(guān)函數(shù)類型帶來(lái)了困難。即便采用最優(yōu)的相關(guān)函數(shù)，由于ρ(τ)值在后半段劇烈振蕩，估計(jì)的波動(dòng)范圍偏差也比較大。為了提高相關(guān)函數(shù)法估計(jì)波動(dòng)范圍的可靠性，Uzielli等[22]提出利用ρ(τ)超過(guò)Bartlett值的初始部分?jǐn)?shù)據(jù)擬合相關(guān)函數(shù)，從而估計(jì)波動(dòng)范圍。

圖1 相關(guān)函數(shù)法

(3)擬合理論或簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法

圖2 hΓ2(h)-h曲線

擬合方差折減函數(shù)法是把曲線hΓ2(h)-h上最大值(hΓ2(h))max對(duì)于h作為平穩(wěn)點(diǎn)，即為hmax。然后根據(jù)數(shù)值(h,hΓ2(h)) (0≤h≤hmax)用理論的方差折減函數(shù)或簡(jiǎn)化的方差折減函數(shù)進(jìn)行曲線擬合[1](如圖3所示)。

圖3 擬合方差折減函數(shù)法

(4)貝葉斯方法

貝葉斯方法充分融合多源信息(包括有限勘探數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息)，將未知參數(shù)看作隨機(jī)變量，認(rèn)為在獲得測(cè)量數(shù)據(jù)前就已存在一個(gè)概率分布，稱之為先驗(yàn)分布，在測(cè)量數(shù)據(jù)下未知參數(shù)的條件分布稱為后驗(yàn)分布，后驗(yàn)分布是對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)[23]。令X為所關(guān)心的未知參數(shù)，基于貝葉斯理論，未知參數(shù)X的后驗(yàn)分布可以表示成[23]

P(X|Data)=K-1P(Data|X)P(X)

(2)

式中：P(Data|X)為給定參數(shù)X情況下測(cè)量數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，稱為似然函數(shù)；X為未知參數(shù)；Data為測(cè)量數(shù)據(jù)；P(X)為參數(shù)X的先驗(yàn)分布，反映了獲取測(cè)量數(shù)據(jù)前對(duì)X的認(rèn)識(shí)；K=P(Data)，是與X無(wú)關(guān)的常數(shù)；P(X|Data)為參數(shù)X的后驗(yàn)分布，反映了在先驗(yàn)信息和測(cè)量數(shù)據(jù)下參數(shù)X的更新信息。

2 靜力觸探試驗(yàn)數(shù)據(jù)模擬

靜力觸探試驗(yàn)(Cone Penetration Test,CPT)是原位試驗(yàn)中最常用的一種測(cè)試技術(shù)，它可以采集連續(xù)的樣本數(shù)據(jù)，取樣間距較小。最小取樣間距為0.02 m，測(cè)量精度非常高，測(cè)量誤差可以忽略不計(jì)。并且靜力觸探還可以以不同取樣間距采集數(shù)據(jù)來(lái)適應(yīng)不同成因土性參數(shù)波動(dòng)范圍的要求，廣泛地用于研究土性參數(shù)的波動(dòng)范圍[11～14]。本文以靜力觸探試驗(yàn)的錐尖阻力為研究對(duì)象，模擬錐尖阻力的測(cè)量數(shù)據(jù)。通過(guò)模擬數(shù)據(jù)分析，比較各種波動(dòng)范圍計(jì)算方法的有效性。

ρ(τ)=exp(-2|τ|/λ)

(3)

式中：ρ(τ)為垂直方向上兩點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)；τ為垂直方向上兩點(diǎn)的相對(duì)距離。

ξ=lnqN的空間變異性可以定量表征為：

(4)

文獻(xiàn)資料[22]中，CPT錐尖阻力qN的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別取為固定值μ=300，σ=120。取CPT模擬數(shù)據(jù)的樣本間距ΔD=0.02 m，lnqN波動(dòng)范圍λ分別取 0.1，0.4，0.8，1.2 m，樣本長(zhǎng)度分別取I=D/λ=5，10，20，30，40，50。對(duì)不同波動(dòng)范圍(如λ=0.1，0.4，0.8，1.2 m)，根據(jù)式(4)分別在不同樣本長(zhǎng)度I條件下重復(fù)模擬20套lnqN數(shù)據(jù)。例如已知qN的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，lnqN相關(guān)函數(shù)為指數(shù)型，CPT樣本間距為0.02 m。當(dāng)lnqN波動(dòng)范圍λ取 0.1 m時(shí)，CPT樣本長(zhǎng)度I為5時(shí)，由方程(4)可以模擬一套lnqN數(shù)據(jù)(如圖4)，重復(fù)生成20套lnqN隨機(jī)模擬數(shù)據(jù)。

圖4 CPT錐尖阻力模擬數(shù)據(jù)(λ=0.1 m，樣本長(zhǎng)度I=5)

分別采用平均零跨法、相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法、擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法以及貝葉斯方法計(jì)算錐尖阻力波動(dòng)范圍值。采用貝葉斯方法時(shí)，錐尖阻力波動(dòng)范圍的先驗(yàn)分布根據(jù)其經(jīng)驗(yàn)取值范圍取為均勻分布。由文獻(xiàn)[22]和[24]可知，波動(dòng)范圍經(jīng)驗(yàn)取值范圍為[0.1 m, 1.2 m]。基于先驗(yàn)信息和模擬的CPT 數(shù)據(jù)，即可得到波動(dòng)范圍的后驗(yàn)分布，即方程(2)，具體可參考文獻(xiàn)[10]。本文采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬(Markov Chain Monte Carlo Simulation，MCMCS)的Metropolis-Hastings 算法[10]求解后驗(yàn)分布，生成50000個(gè)波動(dòng)范圍的MCMCS 樣本，然后基于波動(dòng)范圍的MCMCS隨機(jī)樣本估計(jì)其后驗(yàn)均值。

3 波動(dòng)范圍計(jì)算方法有效性分析

3.1 波動(dòng)范圍估計(jì)值比較

分別采用不同方法計(jì)算錐尖阻力波動(dòng)范圍值，并統(tǒng)計(jì)20套重復(fù)模擬數(shù)據(jù)計(jì)算的波動(dòng)范圍平均值λm及變異系數(shù)Covλm。圖5給出了五種方法計(jì)算結(jié)果。

圖5 不同波動(dòng)范圍計(jì)算方法估計(jì)結(jié)果

由圖5還可以看出，不同波動(dòng)范圍計(jì)算方法的適用性受CPT樣本數(shù)據(jù)量的影響。如圖5a，當(dāng)錐尖阻力真實(shí)波動(dòng)范圍取λ=0.1 m，CPT樣本長(zhǎng)度I=5，10時(shí)，相關(guān)函數(shù)法無(wú)法估計(jì)波動(dòng)范圍值。當(dāng)真實(shí)波動(dòng)范圍λ=0.1 m，CPT樣本長(zhǎng)度I=5時(shí)，擬合理論方差折減函數(shù)法和擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法無(wú)法計(jì)算波動(dòng)范圍。原因在于當(dāng)樣本長(zhǎng)度非常小時(shí)，相關(guān)函數(shù)法中相關(guān)系數(shù)超過(guò)Bartlett值的數(shù)據(jù)十分有限，當(dāng)數(shù)據(jù)量恰好等于1時(shí)則無(wú)法計(jì)算兩點(diǎn)間相關(guān)系數(shù)，從而導(dǎo)致無(wú)法估計(jì)波動(dòng)范圍。擬合理論方差折減函數(shù)法和擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法因難以計(jì)算實(shí)際的方差折減函數(shù)，所以無(wú)法計(jì)算波動(dòng)范圍值。然而，當(dāng)真實(shí)波動(dòng)范圍取λ=0.1 m，CPT樣本長(zhǎng)度I為5，10時(shí)，貝葉斯方法和平均零跨法可以估計(jì)波動(dòng)范圍值。由此可見，當(dāng)錐尖阻力真實(shí)波動(dòng)范圍值較小，且靜力觸探試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)量較少時(shí)，相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法以及擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法無(wú)法計(jì)算錐尖阻力波動(dòng)范圍，而貝葉斯方法和平均零跨法可用于估計(jì)巖土參數(shù)波動(dòng)范圍值。但需要注意的是，平均零跨法適用于巖土參數(shù)相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯型，對(duì)于本文錐尖阻力真實(shí)相關(guān)函數(shù)為指數(shù)型，平均零跨法計(jì)算結(jié)果偏差較大。

此外，由圖5還可以看到，隨著CPT樣本長(zhǎng)度增加，貝葉斯方法、相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法估計(jì)的λm/λ逐漸趨近于1，即λm逐漸逼近真實(shí)值λ，而且偏差越來(lái)越小。擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法與平均零跨法雖然也有逼近真實(shí)值的趨勢(shì)，但總體上估計(jì)結(jié)果仍偏小，如圖5a所示，當(dāng)樣本長(zhǎng)度I=50時(shí)，此時(shí)樣本容量n=Iλ/ΔD=250，擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法與平均零跨法計(jì)算的λm/λ仍然偏離1，而其他三種方法則接近于1。由圖5還可知，當(dāng)靜力觸探試驗(yàn)樣本長(zhǎng)度I≥20時(shí)，貝葉斯方法、相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法估計(jì)的波動(dòng)范圍值非常接近。說(shuō)明當(dāng)靜力觸探試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)充分時(shí)，均可采用三種方法計(jì)算波動(dòng)范圍值。

3.2 波動(dòng)范圍估計(jì)結(jié)果的不確定性分析

為了進(jìn)一步說(shuō)明不同波動(dòng)范圍計(jì)算方法的可靠性，圖6對(duì)比分析了貝葉斯方法、相關(guān)函數(shù)法以及擬合理論方差折減函數(shù)法計(jì)算波動(dòng)范圍值的不確定性。因平均零跨法與擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法估計(jì)波動(dòng)范圍值存在顯著偏差，此節(jié)僅對(duì)比其他三種方法估計(jì)結(jié)果的不確定性。

圖6 不同方法估計(jì)波動(dòng)范圍值的不確定性對(duì)比

由圖6可知，在相同CPT數(shù)據(jù)量條件下貝葉斯方法計(jì)算的波動(dòng)范圍的變異系數(shù)Covλm最小，相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法計(jì)算的變異系數(shù)Covλm較為接近。說(shuō)明貝葉斯方法求解波動(dòng)范圍值的不確定性較小，計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確可靠，相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法計(jì)算結(jié)果的不確定性較為接近。這是因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)法和擬合理論方差折減函數(shù)法則是基于部分測(cè)量數(shù)據(jù)擬合理論相關(guān)函數(shù)或理論方差折減函數(shù)計(jì)算波動(dòng)范圍，所以兩種方法的計(jì)算結(jié)果相近。而貝葉斯方法則充分融合了多源信息(包括有限觀測(cè)數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息)，所以計(jì)算結(jié)果的不確定性較小。綜合波動(dòng)范圍估計(jì)值以及計(jì)算結(jié)果不確定性的對(duì)比可知，在這些方法中貝葉斯方法計(jì)算準(zhǔn)確性最高、適用性最強(qiáng)，它既適用于數(shù)據(jù)量較多的情況，也適用于數(shù)據(jù)量較少的情況。

4 結(jié) 論

本文基于模擬的靜力觸探試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比了計(jì)算土性參數(shù)波動(dòng)范圍的平均零跨法、相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法、擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法以及貝葉斯方法的有效性。通過(guò)不同求解方法計(jì)算波動(dòng)范圍值與變異系數(shù)的對(duì)比，主要得出以下結(jié)論：

(1)通過(guò)真實(shí)相關(guān)函數(shù)為指數(shù)型相關(guān)函數(shù)的靜力觸探試驗(yàn)?zāi)M數(shù)據(jù)分析，不同計(jì)算方法確定波動(dòng)范圍的準(zhǔn)確性存在一定差異。貝葉斯方法確定的波動(dòng)范圍最接近于真實(shí)值，其次是相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法，平均零跨法因其是在假定相關(guān)函數(shù)為高斯型的前提下提出來(lái)的，計(jì)算結(jié)果存在較大誤差，使用時(shí)應(yīng)當(dāng)注意其假定條件，擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法因近似的方差折減函數(shù)不一定與實(shí)際方差折減函數(shù)相同，計(jì)算結(jié)果存在一定偏差。

(2)CPT樣本數(shù)據(jù)量影響波動(dòng)范圍計(jì)算方法的適用性。當(dāng)錐尖阻力真實(shí)波動(dòng)范圍較小，且靜力觸探試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)量非常有限時(shí)，貝葉斯方法和平均零跨法可以估計(jì)波動(dòng)范圍值，但相關(guān)函數(shù)法、擬合理論方差折減函數(shù)法和擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法無(wú)法計(jì)算波動(dòng)范圍。如本文錐尖阻力真實(shí)波動(dòng)范圍取λ=0.1 m，CPT樣本長(zhǎng)度I=5，10時(shí)，相關(guān)函數(shù)法無(wú)法估計(jì)波動(dòng)范圍。錐尖阻力真實(shí)波動(dòng)范圍λ=0.1 m，且CPT樣本長(zhǎng)度I=5時(shí)，擬合理論方差折減函數(shù)法和擬合簡(jiǎn)化方差折減函數(shù)法不適用于確定波動(dòng)范圍。

(3)當(dāng)靜力觸探試驗(yàn)數(shù)據(jù)量較多時(shí)，如本文CPT樣本長(zhǎng)度I≥20時(shí)，貝葉斯方法、相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法估計(jì)的波動(dòng)范圍非常接近，此時(shí)均可采用這三種方法計(jì)算波動(dòng)范圍值。

(4)在靜力觸探試驗(yàn)數(shù)據(jù)量相同的條件下，相關(guān)函數(shù)法與擬合理論方差折減函數(shù)法計(jì)算的不確定性接近，貝葉斯方法因其充分融合了多源信息(包括有限觀測(cè)數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息)，計(jì)算波動(dòng)范圍值的不確定性最小。綜合波動(dòng)范圍估計(jì)值以及計(jì)算結(jié)果不確定性的對(duì)比可知，貝葉斯方法準(zhǔn)確性最高、適用性最強(qiáng)，既適用于數(shù)據(jù)量較多的情況，也適用于數(shù)據(jù)量較少的情況。