新疆財(cái)經(jīng)大學(xué) 周思收

一、問(wèn)題分析

最大似然估計(jì)是根據(jù)最后的結(jié)果（數(shù)據(jù)）給出參數(shù)的估計(jì)。而體育比賽中存在最后結(jié)果（比分）相同，但在此之前一位選手（甲）總是領(lǐng)先另一位選手（乙）的情形，本文試著給出在這種情形下該選手與其對(duì)手實(shí)力對(duì)比的一個(gè)估計(jì)。

首先，把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽樣問(wèn)題：在一箱子中，有不同數(shù)量的紅球和黑球分別代表A與B的水平，抽出紅球代表A贏(yíng)，抽出黑球代表B贏(yíng)。這里采用放回抽樣(這樣，紅球不會(huì)抽出得越多，余下得越少)，抽出做記錄后立即放回原球。

不妨設(shè)在箱子中有1000 個(gè)黑球，用b表示取出黑球的個(gè)數(shù)。設(shè)箱子中有x個(gè)紅球，用r表示取出紅球的個(gè)數(shù)。

圖1

可以看出在x=1000 處，y1取最大值。

圖3

圖中有2 個(gè)交點(diǎn)，x該取哪個(gè)點(diǎn)？注意到，縱坐標(biāo)代表x取某點(diǎn)值時(shí)抽出相應(yīng)結(jié)果的可能性，故應(yīng)把3 條曲線(xiàn)的和作為判斷的依據(jù)，如圖4 所示。

圖4

可以看到，在x=1200 附近，三者的概率之和最大。這可解釋為當(dāng)x在1200 附近時(shí)，出現(xiàn)這三種情況(1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2)的可能性最大。

令y=y1+y2+y3，求其極值，得x=1251.51，結(jié)果與圖4 吻合。

這里有一個(gè)有趣的問(wèn)題：當(dāng)甲、乙兩人的比分是2 ∶2 時(shí)，按這種方法得出的結(jié)果顯示兩人的水平并不相同。仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)：比分依次是1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2?？梢钥闯觯资穷I(lǐng)先的，而乙卻是通過(guò)追趕才追平的。這就說(shuō)明了這種估計(jì)方法是考慮過(guò)程的估計(jì)方法。但在一些賽事中，甲先贏(yíng)一局和乙先贏(yíng)一局所含的意義是明顯不同的。如果甲一直領(lǐng)先，乙一直在追趕，追平，再追趕，那么顯然，甲對(duì)乙有一定的優(yōu)勢(shì)。

既然這種方法是考慮了過(guò)程的估計(jì)，那么對(duì)于給定的一組樣本數(shù)據(jù)，它只可能表示一種從開(kāi)始到結(jié)束的比分情況，樣本數(shù)據(jù)1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2 表示一種情況，而數(shù)據(jù)1 ∶1、1 ∶2、2 ∶2 則表示另一種情況。

二、對(duì)結(jié)論的改進(jìn)及完整的定義

在此，重新對(duì)探討的問(wèn)題進(jìn)行定義：甲 、乙兩人進(jìn)行某種比賽，甲贏(yíng)1 局記為r， 乙贏(yíng)1 局記為b。進(jìn)行n（n＜30）局后，記錄數(shù)據(jù)設(shè)為ω，求下一局甲贏(yíng)的可能性。

三、結(jié)論驗(yàn)證

在實(shí)際比賽中，比分是不斷變化的，兩個(gè)選手的比分中出現(xiàn)某個(gè)過(guò)程的次數(shù)比較少，因而有很大的偶然性，需從大量數(shù)據(jù)中抽出這些過(guò)程，進(jìn)而觀(guān)察經(jīng)過(guò)某一過(guò)程后，一方下一局（球）贏(yíng)的概率。

在2014 澳網(wǎng)比賽中，考慮某一局比賽，設(shè)定過(guò)程F為：

1 ∶1 2 ∶1 2 ∶2 2 ∶3 或者

1 ∶1 1 ∶2 2 ∶2 3 ∶2

設(shè)定過(guò)程E為：

1 ∶1 2 ∶1 2 ∶2 3 ∶2 或者

1 ∶1 1 ∶2 2 ∶2 2 ∶3

過(guò)程E表示某個(gè)選手在（1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2）領(lǐng)先的情況下贏(yíng)得下一球。而過(guò)程F則表示遭遇逆轉(zhuǎn)。根據(jù)第2 節(jié)的結(jié)論，可以得出：

在2 ∶1 →2 ∶2 的過(guò)程中，x0=1190。