劉賀平， 朱振東， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

張拉整體結構是一種由索和桿組成的空間結構，其索構件相互連接形成索網(wǎng)，桿構件由內部支撐形成預期的空間形狀。其以拉力構件為主的設計思路，一改傳統(tǒng)的設計思想，構建出的結構具有許多傳統(tǒng)結構不具備的特性。在航天領域，研究人員主要研究把張拉整體結構轉化為桁架式空間可展結構[1-2]。

桁架式空間可展結構是一種可由折疊狀態(tài)自動展開，形成預期桁架結構的機構。近年來，許多機構和研究人員都對桁架式空間可展結構進行了研究探索。美國已研制出多種桁架式空間可展結構，例如AstroMesh類網(wǎng)狀天線，這些結構都已經(jīng)應用于實際。梁笑天[3]針對一種桁架類空間可展結構，推導了用于該結構控制中的結構響應靈敏度線性控制理論計算公式。郭王策[4]針對桁架變形引起網(wǎng)面張力均勻性和形面精度惡化的問題，提出一種考慮桁架變形的天線形態(tài)設計優(yōu)化方法，改善網(wǎng)面張力均勻性及形面精度。日本宇宙航空研究開發(fā)機構[5]研制了一種用于通信服務的構架式天線，該天線反射面為口徑19 m×17 m的橢圓形 收攏后直徑為4 m，天線形面精度、收納率和剛度都較高。

隨著天線口徑增大，環(huán)形桁架天線在展開過程中會呈現(xiàn)柔性構件的大范圍運動和大變形相互耦合，這極易引起整個系統(tǒng)的振動。構件運動副中的間隙和摩擦等因素也會造成展開過程的不同步現(xiàn)象以及運動副的意外卡死或滑動。

星型張拉整體結構實現(xiàn)結構折展所需的驅動構件少，具有構件運動耦合度高和不存在傳統(tǒng)運動副的特點，本文將研究將其轉化為空間可展結構的方法，并利用運動分析和仿真研究對所提出的展開方案的正確性進行驗證。基于剛度矩陣，分析外載荷對此結構折展運動的影響。

1 星型張拉整體結構

三桿星型張拉整體結構如圖1所示，它包括1根中心桿、6條徑向索、3條斜索以及3根周向分布的桿構件。此結構具有較好的結構對稱性，同類構件的長度和受力都相同。圖1中，H是結構高度，h是中心桿端點到對應端面距離，上下端面圓周半徑為ru和rd。同一個桿兩端點在同一底面的投影與底面形心連線所夾的角，這里稱為扭轉角φ，它也是2個端面的相位角。

徑向索總會有一個端點連于中心構件的端部。當中心構件的長度變化時，可通過徑向索帶動其他構件運動，從而實現(xiàn)整體結構外廓尺寸的變化。為了適應整體結構改變對構件長度變化的要求，這里用彈簧代替3根斜索。這樣，此三桿星型張拉整體結構就轉化為可展結構，其可以通過中心桿的伸縮實現(xiàn)整體結構的折展。

圖1 星型張拉整體結構Fig.1 Star-shaped tensegrity structure

2 三桿星型張拉整體結構的數(shù)學建模

2.1 節(jié)點坐標

如圖1所示，下端面節(jié)點坐標求取公式為：

扭轉角可表示為[1]：

式中j取值1或2。

上端面節(jié)點坐標可寫為：

中心桿的端點n7坐標可寫為:

另一個端點n8坐標可表示為:

把以上節(jié)點坐標組合，即可形成整個結構的節(jié)點矩陣：

N=[n1n2n3n4n5n6n7n8]

2.2 構件矢量

圖1所示結構中，桿構件和節(jié)點的連接關系如表1所示。

表1 桿構件和節(jié)點的連接關系Table 1 Relations between the bars and nodes

桿構件矩陣可寫為：

式中：bi(i=1,2,3,4)是第i根桿構件的矢量；CB是桿連接矩陣為：

同理，索構件矩陣可表示為：

S3×9=[s1s2s3s4s5s6s7s8s9]=N3×8·CS8×9

式中：Sl(l=1，2，…，9)是第l根索的矢量；CS是索連接矩陣。

3 折展過程運動分析

3.1 初始位置

圖2(a)是三桿星型張拉結構模型圖，其中，中心桿lz長度等于結構高度H0，即h=0，φ=150°，rd=ru=r。圖2(b)為該結構的實物圖,設圖2所示的狀態(tài)為此星型可展結構的運動初始狀態(tài)。

圖2 星型張拉整體可展結構的初始狀態(tài)Fig.2 Initial state of the deployable star tensegrity

此時上下端面徑向索長度為:

lJ=r

桿長可表示為:

(1)

斜索長度可表示為:

(2)

3.2 中心構件長度與其他參數(shù)關系

在星型結構折展過程中，徑向索長和桿長保持不變。設替代斜索的彈簧剛度為K1。當中心構件伸長時，中心構件長變?yōu)閘z=H0+2h1(2h1為中心構件伸長量)，此時中心桿節(jié)點到端面的高度差h=(lz-H)/2(如圖1所示)，此時結構端面半徑為:

(3)

桿長lB為:

(4)

斜索長lx可寫為:

(5)

結構高度H可表示為:

(6)

扭轉角變?yōu)?

此時下端面節(jié)點坐標可寫為:

式中i=1,2,3。

上端面節(jié)點坐標可表示為:

式中i=4,5,6,節(jié)點n7和n8坐標不變。

由式(1)～(6)可知，初始狀態(tài)的高度H0和r給定，星型可展結構的初始狀態(tài)即確定，其他結構參數(shù)也可以確定。中心構件的伸長量給定，此結構變形后的其他結構參數(shù)也能夠相應確定，變形后的構型也隨之確定。

3.3 星型張拉整體可展結構運動分析思路

此星型張拉整體可展結構的折展過程分析流程如下:

1)給定r、H0、φ，確定初始狀態(tài)的N、B、S，以及構件長度lJ、lB、lx。

2)令中心桿長度lz=H0+2h1，計算r、h、lJ、lB、lx并求得相應的N、B、S。

3)重復步驟2)，進行迭代，至r為0時結束。

3.4 數(shù)值分析和仿真驗證

令此結構初始的端面半徑r=100 mm，H0=200 mm，扭轉角φ=150°，代替斜索的彈簧剛度為K1=1 N/mm。根據(jù)3.3節(jié)所述的折展分析思路，得到機構折疊過程中中心構件長度和斜索長度的關系曲線(如圖3所示)。由圖可知，隨著中心構件長度的增加，斜索的長度也增大。當中心構件長度增大到最大值478.1 mm時，端面半徑r減小到0，斜索的長度也增大到最大值278.1 mm，此時斜索的長度和桿的長度相同。而中心構件和斜索的長度差值的一半正好為100 mm，等于徑向索長lJ。

圖3 斜索長度與中心構件長度關系曲線Fig.3 The length of the vertical cables vs. length of the central bar

在仿真軟件中建立此星型張拉整體結構的仿真模型。圖4顯示了三桿星型結構折疊過程中，隨著中心構件的伸長，星型結構形狀的變化。由圖4可知，此機構在中心構件的驅動下能夠實現(xiàn)折展，從而證明了此折展方案是正確的。

在此折疊過程中，中心桿長lz和斜索長lx的變化曲線如圖5所示,從初始狀態(tài)到完全折疊，斜索伸長了71.5 mm，最后lx達到278.1 mm，等于桿長lB。

由圖5中l(wèi)z的變化曲線可知，中心桿長由200 mm伸長至477.6 mm，與理論分析獲得的中心桿最大長度為478.1 mm，兩者間有0.5 mm的誤差，這是由于仿真分析需要考慮桿構件的截面尺寸造成的，由此驗證模型仿真與理論計算的一致性，證明3.3節(jié)中的折展思路是正確的。

圖4 結構折疊過程的仿真Fig.4 Simulation of structure folding process

圖5 中心桿長及斜索長度變化曲線Fig.5 Variation curves of central rod length and inclined cable length

4 外載荷對折疊過程的影響

4.1 理論分析

單個構件的彈性剛度矩陣可表示為：

式中：ei是構件i在其局部坐標里的彈性剛度矩陣，此剛度矩陣為6×6矩陣；Ti為構件i對應的協(xié)調矩陣，它將把ei擴展成與整個結構廣義坐標對應的形式。所有構件的彈性剛度矩陣相加，即可得到整個結構的彈性剛度矩陣：

單個構件的幾何剛度矩陣可表示為:

式中：gi是構件i在其局部坐標里的幾何剛度矩陣，此剛度矩陣同樣為6×6矩陣，由Ti把gi擴展成與整個結構廣義坐標對應的形式。所有構件的幾何剛度矩陣相加，即可得到整個結構的幾何剛度矩陣：

此結構整體的剛度矩陣可表示為：

K=E+G

式中：E為彈性剛度矩陣；G為幾何剛度矩陣。

結構的受力變形可表示為：

Δδ=K-1·F

式中：Δδ節(jié)點位移量；F為作用于結構所有節(jié)點的外力向量。

4.2 考慮外載荷的星型張拉整體可展結構折展思路

設桿的橫截面積AB=2×10-5m2，索的橫截面積As=0.08×10-5m2，桿的密度PB=1 500 kg/m3，索的密度Ps=1 100 kg/m3，桿的彈性模量為EB=2.66×1011Pa，索的彈性模量為Es=1.33×1011Pa，彈簧剛度K1=1 N/mm。在考慮外載荷的情況下，所修正的結構折展步驟如下：

1)給定r、H、φ，確定初始狀態(tài)的N、B、S，得到構件長度lJ、lB、lx。

2)根據(jù)N、B、S創(chuàng)建剛度矩陣K，將桿索構件的重力及所受外載荷分擔在構件連接的節(jié)點上，即對節(jié)點施加作用，求得節(jié)點位移δ，對N進行修正，得到N′和中心桿位移為Δh。

3)令中心桿長度lz=H0+2h1mm，計算r、h、lJ、lB、lx并求得相應的N、B、S。

4)創(chuàng)建星型結構變形后剛度矩陣K，求得節(jié)點位移δ，對N進行修正，得到N′。

5)重復步驟3)、步驟4)，進行迭代，至r為0時結束。

4.3 數(shù)值仿真分析

1)軸向載荷。

分別在上端面節(jié)點n4、n5、n6、n8上施加與重力方向、大小相同的軸向力，并且下端面節(jié)點n1、n2、n3的z坐標保持不變，機構折疊過程中上下端面半徑ru和rd的變化曲線如圖6所示。

圖6 不同外載下的端面半徑Fig.6 The radii of the two end sections under the different axial external forces

由圖可知，中心桿在伸長至460 mm之前，上下端面半徑變化曲線處于明顯的分離狀態(tài)，也就意味著上下端面運動不同步。但是中心桿長度超過460 mm之后，隨著中心構件的繼續(xù)伸長，上下端面半徑的變化曲線開始重合，即在折疊的后半段，上下端面運動同步。而且外力越大，這種上下端面不同步現(xiàn)象越為明顯，但是無論外力多大，折疊的后半段，兩者都會同步。當外力增大至4 N時，雖然端面半徑曲線分離程度較大，但2條曲線仍然連續(xù)變化。當外力增大至5 N時，下端面半徑的變化曲線已經(jīng)開始出現(xiàn)波動。外力增大至6 N時，兩條端面曲線不僅嚴重分離，而且均出現(xiàn)明顯的波動。這說明外載荷越大，運動的前半段不同步現(xiàn)象越嚴重，而且整體也會發(fā)生振動。

2)徑向載荷。

除中心構件兩端節(jié)點外的其他6個節(jié)點上施加徑向載荷F=1 N，在機構折疊過程中上下端面半徑變化曲線如圖7所示。由圖可知，徑向載荷會使機構在折疊過程中出現(xiàn)端面收縮不同步現(xiàn)象，而且這一不同步現(xiàn)象存在于機構的整個運動過程中。在運動完成時，下端面先完成折疊。隨著徑向載荷的增大，上下端面半徑完成折疊所需的時間差會加大。

圖7 徑向載荷作用下的端面半徑Fig.7 The radii of the two end sections under the radial external forces

5 結論

1)中心桿能夠驅動的星型張拉整體結構實現(xiàn)折展。

2)當此結構承受軸向載荷時，結構會出現(xiàn)運動不同步現(xiàn)象，這種不同步現(xiàn)象主要出現(xiàn)在運動的前半段，隨著結構完成折疊，不同步現(xiàn)象逐漸減弱，上下端面同時完成折疊。

3)結構承受徑向載荷時，折疊過程中會一直存在不同步現(xiàn)象，而且下端面先完成折疊。載荷越大，不同步現(xiàn)象越嚴重。