柳青， 楊勝江， 劉越

(1.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191； 2.北京空天技術(shù)研究所，北京 100074; 3.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安 710072; 4.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

與傳統(tǒng)的飛行器不同，高超聲速飛行器表現(xiàn)飛行出多任務(wù)、多工作模式、大范圍高速機(jī)動的特點(diǎn)[1-3]。此外高超聲速飛行器飛行航程較長并且發(fā)動機(jī)燃油消耗量大，進(jìn)而增加起飛規(guī)模，所以合理設(shè)計高超聲速飛行器上升段飛行方案，可以保證飛行器爬升階段的可控性以及合理的油耗規(guī)模。

目前，對于高超聲速飛行器飛行軌跡設(shè)計的研究主要針對飛行剖面中的爬升段。因為這一階段是保證飛行器順利達(dá)到預(yù)設(shè)巡航點(diǎn)的基礎(chǔ)，并且飛行時間較長、涉及到的約束條件較多。所以，合理設(shè)計高超聲速飛行器爬升軌跡可以降低飛行成本和對飛行器各個子系統(tǒng)的要求[4]。針對高超聲速飛行器爬升過程中的不同約束以及性能指標(biāo)條件，許多學(xué)者對爬升軌跡設(shè)計與優(yōu)化進(jìn)行了研究。采用定動壓來模擬飛行器加速爬升過程，以平衡推力和質(zhì)量變化之間的關(guān)系。將航跡角變化率作為約束條件之一，并基于自身結(jié)構(gòu)與燃料質(zhì)量之間的等式關(guān)系進(jìn)行軌跡優(yōu)化以獲得最省燃油軌跡[5-9]。

飛行器的軌跡優(yōu)化主要包括解析法和數(shù)值法兩大類，目前數(shù)值法在高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化問題中有較多的應(yīng)用[10-12]。高超聲速飛行器通常采用數(shù)值算法[13]進(jìn)行軌跡優(yōu)化求解，因為在高超聲速飛行器的方程維度較高且模型復(fù)雜。能量狀態(tài)法通過引入能量，對飛行器的運(yùn)動學(xué)方程進(jìn)行簡化，減低了對高超聲速飛行器進(jìn)行軌跡優(yōu)化時的模型維度和復(fù)雜性。David等[14-15]采用能量狀態(tài)法對高超聲速飛行器爬升段軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

但是傳統(tǒng)能量狀態(tài)法進(jìn)行軌跡優(yōu)化設(shè)計時僅考慮采用高超聲速飛行器的質(zhì)點(diǎn)模型，而高超聲速飛行器的機(jī)身/發(fā)動機(jī)耦合設(shè)計，使得姿態(tài)對軌跡的影響不可忽視。所以，本文考慮了高超聲速飛行器的姿態(tài)運(yùn)動，將速度、高度、軌跡角和質(zhì)量作為狀態(tài)變量，將迎角和舵面作為控制變量，對能量狀態(tài)法進(jìn)行改進(jìn)。

1 飛行器/發(fā)動機(jī)一體化模型

1.1 發(fā)動機(jī)數(shù)學(xué)模型

由于高超聲速飛行器的水平起降能力，使得其具有高可用率，在軍事和民用上均具有較高實用價值。其常采用渦輪基組合動力(turbine based combined cycle, TBCC)發(fā)動機(jī)，如圖1所示。TBCC發(fā)動機(jī)從起飛就處于渦輪模式，在馬赫數(shù)為2.5～3內(nèi)發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)換為沖壓發(fā)動機(jī)模式，然后由亞燃/超燃沖壓發(fā)動機(jī)驅(qū)動加速度到高超聲速。

根據(jù)動量定理，發(fā)動機(jī)的未安裝推力可以寫為：

(1)

(2)

安裝推力為：

T=φα(Ma,h)TSL=φα(θ0)TSL(TR)

(3)

式中：TSL是可用輸出推力與最大推力的無量綱比值;TR是油門開度；α表示發(fā)動機(jī)工作狀況，它由馬赫數(shù)(Ma)、高度(h)決定，可以定義為無量綱溫度θ的函數(shù)。

當(dāng)飛行條件為θ≤TR時，發(fā)動機(jī)受Πc(隔離室允許動壓)限制；當(dāng)飛行條件為θ>TR時，發(fā)動機(jī)受Tt4(燃燒室出口允許溫度)限制。

考慮到上述控制邏輯，可用推力可寫為關(guān)于油門開度的分段多項式形式：

(4)

式中δ0是無量綱壓力比：

(5)

由于高超聲速飛行器機(jī)身推進(jìn)一體化的設(shè)計，發(fā)動機(jī)偏置推力也會對飛行姿態(tài)產(chǎn)生影響。假設(shè)CTx和CTz為飛行器x軸向和z軸向的推力系數(shù)。圖2為在30 km處對應(yīng)的不同飛行馬赫數(shù)下的x軸向和z軸向的推力系數(shù)隨迎角的變化趨勢。圖3為在Ma=3下不同飛行高度的比沖隨迎角的變化趨勢。

圖1 TBCC推進(jìn)系統(tǒng)示意Fig.1 TBCC propulsion system schematic

圖2 推力系數(shù)Fig.2 Propulsive force coefficients

圖3 比沖(Ma=3)Fig.3 Specific impulse(Ma=3)

根據(jù)圖2和圖3可知，高超聲速飛行器的發(fā)動機(jī)推進(jìn)系統(tǒng)不僅與飛行速度、高度相關(guān)，也受飛行迎角的影響。所以在使用能量狀態(tài)法對高超聲速飛行器進(jìn)行分析時，不能僅考慮質(zhì)點(diǎn)模型。

1.2 氣動數(shù)學(xué)模型

(6)

潔凈體縱向氣動系數(shù)的表達(dá)式為：

CLclean=(a0+a1Ma)+(a2+a3Ma)α

(7)

(8)

Cmclean=(c0+c1Ma)+(c2+c3Ma)α

(9)

增量縱向氣動系數(shù)的表達(dá)式為：

(10)

選擇擬合優(yōu)度(goodness of fit, GOF)和均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為模型精確性的評價指標(biāo)，如表1所示，表明代理模型具有較高的精度。

表1 代理模型驗證結(jié)果Table 1 Validation results of surrogate models

2 能量狀態(tài)法

2.1 方法簡介

對于采用能量狀態(tài)法對飛行器進(jìn)行性能預(yù)測，垂直平面上運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)模型通常是足夠的。該模型的運(yùn)動學(xué)方程為：

(11)

式中：V為飛行器速度；α為飛行器迎角；γ為軌跡角；ε為推力軸線與零升力軸線之間的夾角；g0為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度；Isp為發(fā)動機(jī)比沖；x、h為地面坐標(biāo)系中飛機(jī)質(zhì)心的前向和縱向坐標(biāo)；m為飛機(jī)質(zhì)量。

因為α和ε均較小，所以進(jìn)行如下簡化：

sin(α+ε)?α+ε,cos(α+ε)?1

(12)

對于在亞音速飛行的飛行器，忽略其飛行姿態(tài)進(jìn)行軌跡設(shè)計是足夠的。然而高超聲速飛行器機(jī)身推進(jìn)一體化的設(shè)計，發(fā)動機(jī)的工作情況會受飛行迎角的影響。因此將速度、高度、軌跡角和質(zhì)量作為狀態(tài)變量，將迎角和舵面作為控制變量，采用改進(jìn)能量狀態(tài)法對高超聲速飛行器進(jìn)行分析。

總能量可以看作是系統(tǒng)連續(xù)的狀態(tài)變量。定義單位質(zhì)量飛行器的能量為：

(13)

進(jìn)而得飛行器質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的能量狀態(tài)模型：

(14)

2.2 基于能量狀態(tài)法的飛行包線分析

能量狀態(tài)法假定飛行器縱向剖面由爬升、巡航、下降3種飛行任務(wù)階段組成，其能量變化率分別為dE/dt>0、 dE/dt=0和dE/dt<0。所以對于高超聲速的飛行包線對應(yīng)的是飛行器能量狀態(tài)變化率為0的飛行狀態(tài)。

基于能量狀態(tài)法的飛行包線計算步驟如下：

1)在給定馬赫數(shù)下，計算dE/dt=0，則飛行器需要滿足下式的要求：

(15)

在迎角約束(0°<α<8°)和升降舵面約束(|δe|≤20°)的要求下，通過求解式(15)，獲得2個高度值，dE/dt=0所對應(yīng)的高度上界hmaxi和下界hmini。當(dāng)飛行器的飛行高度在區(qū)間[hmaxi,hmini]內(nèi)時，飛行器的能量變化率大于零，即可以進(jìn)行爬升/加速運(yùn)動；

2)計算給定馬赫數(shù)范圍內(nèi)，不同馬赫數(shù)下dE/dt=0所對應(yīng)的高度上下界，得出給定馬赫數(shù)范圍內(nèi)的飛行包線。

根據(jù)上述步驟，計算馬赫數(shù)在1.2～7的飛行包線范圍，結(jié)果如圖4所示。

根據(jù)圖4所示的飛行包線結(jié)果可以看出發(fā)動機(jī)由渦輪模態(tài)轉(zhuǎn)換為沖壓模態(tài)時會出現(xiàn)一個“推力鴻溝”，會急劇縮小可飛行范圍。高超聲速飛行器在馬赫數(shù)為2.5完成從渦輪模態(tài)向沖壓模態(tài)的轉(zhuǎn)換。此外，圖5所示推阻關(guān)系也與圖4的飛行包線范圍相對應(yīng)。

圖4 飛行包線Fig.4 Flight envelope map

圖5 推阻關(guān)系(動壓區(qū)間：20～100 kPa)Fig.5 Thrust and resistance relationship map(dynamic pressure area 20～100 kPa)

根據(jù)圖5可以得出在馬赫數(shù)為1.2～7，飛行器在當(dāng)前氣動和推進(jìn)系統(tǒng)狀態(tài)下存在可飛行范圍。根據(jù)圖5(b)可以看出，沖壓發(fā)動機(jī)初始的凈推力較小，隨著馬赫數(shù)增大沖壓發(fā)動機(jī)逐漸進(jìn)入較好的工作狀態(tài)。并且高超聲速飛行器在Ma為1.2的超聲速初始飛行階段的可行動壓范圍在5～25 kPa范圍內(nèi)，可飛行范圍相對較窄，隨著飛行速度增加，飛行包線范圍也逐漸擴(kuò)展。通過對比圖4和圖5所示的推阻關(guān)系，可以看出兩者得出的結(jié)論一致。所以，采用能量狀態(tài)計算高超聲速飛行器的飛行包線范圍具有一定的可行性。

3 基于能量狀態(tài)法的節(jié)油軌跡設(shè)計

本文對傳統(tǒng)能量狀態(tài)法進(jìn)行改進(jìn)，以速度、迎角和升降舵偏轉(zhuǎn)角為控制量，考慮飛行過程中的多約束等條件對高超聲速飛行器的爬升軌跡進(jìn)行尋優(yōu)。

3.1 優(yōu)化模型建立

能量狀態(tài)法選取飛機(jī)的耗油量為優(yōu)化性能指標(biāo)，具體定義為：

(16)

(17)

(18)

對于整個飛行階段，式(17)、(18)可以分解為：

(19)

(20)

式中：下標(biāo)up、dn表示爬升和下降；VW為風(fēng)速；λ為巡航飛行中單位距離上的油耗量；dc為巡航里程。此時，軌跡優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)換為了求解滿足約束(19)，使性能指標(biāo)式(20)最小的優(yōu)化問題。

3.2 爬升段尋優(yōu)

總能量E在爬升段是單調(diào)增加的，從初始能量E0開始，至末端能量Ef結(jié)束，增量為ΔE。采用能量狀態(tài)法進(jìn)行尋優(yōu)的步驟如下。

1)對每一能量水平Ej，計算最優(yōu)爬升下的速度、迎角和升降舵偏轉(zhuǎn)角如下：

(21)

計算相應(yīng)的飛行高度公式為：

hj=Ej-Vj2/2g

(22)

2)能量水平Ej-1、Ej之間的飛行時間Δtj，軌跡角γj，飛行距離Δdj，以及燃油消耗量ΔFj公式為：

(23)

由于爬升段不允許飛機(jī)降低高度，故hj≥hj-1，即在能量水平Ej上，高度的最小允許值為hmin,j=hj-1，根據(jù)能量方程，這個限制可以轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的速度上限為：

(24)

為了防止爬升高度超過末端高度hf，高度的最大允許值為hf，其相應(yīng)的速度下限為：

(25)

除了飛行器的速度約束范圍外，使用能量狀態(tài)法尋優(yōu)的過程中還需滿足如下條件：動壓約束30～100 kPa；高度約束，不允許飛行高度降低；推阻約束(T>D)；末端約束。

3.3 爬升軌跡尋優(yōu)仿真

3.3.1 迎角影響分析

首先采用能量狀態(tài)法分析飛行器迎角對最優(yōu)軌跡和飛行燃油消耗產(chǎn)生的影響?；诟倪M(jìn)能量狀態(tài)法給出不同迎角下的最省燃油軌跡圖(圖6)以及飛行器質(zhì)量變化圖(圖7)。

根據(jù)圖7和表2中不同迎角下的燃油量可以得知，迎角對發(fā)動機(jī)的工況和燃油消耗情況影響較大。即使相差較小的迎角，也會產(chǎn)生較大的燃油消耗差異。根據(jù)圖6和圖7可以得出，飛行迎角對最優(yōu)飛行軌跡影響不大，但會對高超聲速飛行器飛行過程中的燃油消耗產(chǎn)生影響很大。

圖6 迎角對軌跡的影響Fig.6 The influence of attack angle on trajectory

圖7 迎角對燃油消耗的影響Fig.7 The influence of attack angle on fuel consumption

表2 不同迎角下的優(yōu)化油耗

3.3.2 最優(yōu)軌跡設(shè)計

在此采用改進(jìn)能量法，考慮飛行過程中的動壓約束、高度約束、推阻約束和末端約束等條件對高超聲速飛行器的爬升軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

采用改進(jìn)能量狀態(tài)法，獲取最優(yōu)的飛行高度和迎角，進(jìn)而得到最省燃油軌跡，并且該軌跡滿足飛行過程中的動壓和飛行器舵面物理限制約束。尋優(yōu)過程設(shè)計飛行器從Ma在1.2 ～6.6的最省燃油飛行軌跡。Ma在1.2～6.6，根據(jù)上升段尋優(yōu)過程得到的最省燃油軌跡，如圖8所示。

圖8 最省燃油爬升軌跡Fig.8 Minimum-fuel climb trajectory

由能量狀態(tài)法獲得的最省燃油爬升軌跡與沿100 kPa等動壓爬升軌跡相比，飛行器沿該軌跡飛行可節(jié)省燃油1.87 t。此外，圖8所示的初始時刻沿30 kPa等動壓爬升，與圖5中此時的最大凈推力所對應(yīng)動壓相吻合。

4 結(jié)論

1)采用基于能量狀態(tài)法的飛行包線分析，為燃油最省爬升軌跡設(shè)計劃定范圍，以避免設(shè)計的軌跡在切換至沖壓模態(tài)下處于可飛行包線以外。

2)分析迎角對最優(yōu)軌跡和燃油消耗的影響，以速度、迎角和升降舵偏轉(zhuǎn)角為控制量，并且考慮飛行過程中的動壓約束、高度約束、推阻約束和末端約束等條件的改進(jìn)能量狀態(tài)法，比常規(guī)能量狀態(tài)法更適合高超聲速飛行器的爬升軌跡優(yōu)化設(shè)計。