張虹， 左鑫蘭， 黃瑤

(三峽大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

在互聯(lián)網(wǎng)及通信等有關(guān)領(lǐng)域中，用戶對(duì)優(yōu)質(zhì)服務(wù)需求的逐漸增長(zhǎng)，催生了海量數(shù)據(jù)應(yīng)用[1-2]。此類應(yīng)用一般需要針對(duì)海量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，為方便數(shù)據(jù)的計(jì)算與處理，存儲(chǔ)形式一般為矩陣形式。圖像降噪作為機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺等眾多領(lǐng)域的熱點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)高噪聲圖像進(jìn)行矩陣重建是降噪方法之一。特別是在大數(shù)據(jù)提出之后，面臨矩陣重建以及更多矩陣元素結(jié)構(gòu)性缺失的問題[3]。因此，針對(duì)高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性元素缺失矩陣進(jìn)行重建研究意義重大。

目前低秩矩陣被廣泛應(yīng)用到信息處理中，當(dāng)圖像存在結(jié)構(gòu)性缺失情況時(shí)，再次處理圖像信息時(shí)需要進(jìn)行矩陣修復(fù)或填充。楊帥鋒等[4]提出利用低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)方法保留圖片信息，采用雙三線性插值方法進(jìn)行矩陣重建；由于稀疏性和矩陣秩的替代函數(shù)是非凸的和不連續(xù)的特性，Chen[5]通過非凸和不可分離的正則化同時(shí)進(jìn)行稀疏和低秩矩陣重構(gòu)，該方法的收斂性較好；Zhang等[6]估計(jì)低秩矩陣的列子空間，利用子空間信息進(jìn)行低秩矩陣重建，使低秩矩陣的表示適應(yīng)噪聲水平；Ongie等[7]利用傅里葉數(shù)據(jù)構(gòu)建的卷積結(jié)構(gòu)矩陣，引用泛型迭代重加權(quán)湮沒濾波器算法恢復(fù)低秩矩陣。為了優(yōu)化圖像高效去噪、圖像填充等效果，提出基于重加權(quán)的高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建算法。

1 高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建

1.1 高噪聲圖像初步處理

在高噪聲圖像進(jìn)行結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建過程中，為了得到重建之后的高精度圖像。利用優(yōu)化后的鄰域平均方法處理低頻子帶圖像，利用中值濾波和閾值處理以及小波系數(shù)法對(duì)高頻子帶圖像中的脈沖噪聲進(jìn)行處理。針對(duì)處理之后的各個(gè)子帶圖像利用小波逆變換獲取恢復(fù)圖像，實(shí)現(xiàn)高噪聲圖像初步處理。

1)低頻子帶圖像處理。

引入優(yōu)化后的鄰域平均方法針對(duì)低頻子帶圖像實(shí)行濾波操作。假設(shè)圖像像素灰度值是w(i,j)，為了減少去噪過程中的模糊失真情況，將窗口中原本的像素灰度值定義為：

(1)

式中：w′(i,j)代表以像素w(i,j)為中心，且大小是M×N窗口范圍內(nèi)的像素均值；T代表自適應(yīng)閾值，閾值取決于像素中心點(diǎn)到窗口范圍的像素定點(diǎn)距離。

2)高頻子帶圖像處理。

綜合考量各個(gè)子帶圖像存在一定方向性，由此針對(duì)水平方向的高頻子帶圖像根據(jù)水平窗口實(shí)現(xiàn)濾波，而垂直方向的高頻子帶圖像通過垂直窗口實(shí)現(xiàn)濾波，斜高方向上的子帶圖像通過十字形窗口實(shí)現(xiàn)濾波。引入像素鄰域局部能量方法識(shí)別脈沖噪聲點(diǎn)，將較局部能量大的點(diǎn)當(dāng)作脈沖噪聲點(diǎn)。

例3×3窗口，像素w(i,j)鄰域存在圖1所示2種情形。當(dāng)像素w(i,j)鄰域是圖1(a)中的情形，則像素w(i,j)鄰域范圍內(nèi)局部能量表達(dá)式為：

(2)

鄰域窗口內(nèi)的中心像素局部能量值E(i,j)取E1(i,j)、E2(i,j)最大值，表達(dá)式為：

E(i,j)=max[E1(i,j),E2(i,j)]

假設(shè)鄰域窗口中局部能量的閾值表達(dá)式為：

(3)

式中K代表經(jīng)驗(yàn)常量。由此識(shí)別某點(diǎn)為脈沖噪聲點(diǎn)與否的條件可表示為：

E(i,j)>Th

(4)

將能夠滿足式(4)的脈沖噪聲根據(jù)中值濾波器進(jìn)行處理。根據(jù)各個(gè)尺度下各子窗口范圍內(nèi)小波系數(shù)為：

ηT[w(i,j)]=sgn[w(i,j)][|w(i,j)|k-Thk,l]=

(5)

以獲取增強(qiáng)圖像滿足視覺需求為目的，將各個(gè)尺度下子帶圖像實(shí)行系數(shù)增強(qiáng)操作。將分解后經(jīng)濾波的各個(gè)子帶圖像實(shí)行小波逆變換，以此獲取濾除噪聲的圖像。

圖1 像素鄰域情形Fig.1 Pixel neighborhood scenario

1.2 結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建

基于上述高噪聲圖像初步處理，引入重加權(quán)策略，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建。

1)重建模型構(gòu)建。

依據(jù)低秩與稀疏2種特性，結(jié)合重加權(quán)策略，獲取一個(gè)性能優(yōu)越的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建模型：

(6)

式中：B′代表系數(shù)矩陣，即原始的低秩矩陣A′基于字典Φ的系數(shù)矩陣。在重建模型中觀測(cè)矩陣D′僅存在元素缺失情況，不存在元素受到噪聲干擾的情況。在此，采用重加權(quán)對(duì)模型式(6)進(jìn)行處理，獲取重加權(quán)下矩陣填充模型：

(7)

式中：We為噪聲重加權(quán)權(quán)重。矩陣受到的噪聲為隨機(jī)的脈沖噪聲，E′代表階梯矩陣，則通過l1范數(shù)針對(duì)噪聲進(jìn)行約束[9]，獲取脈沖噪聲下重加權(quán)矩陣的重建模型：

綜上，式(7)～(9)就是為了對(duì)結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣進(jìn)行重建的3個(gè)模型。3個(gè)模型的整體求解過程較為相似，均能夠劃分成2層結(jié)構(gòu)完成求解，也就是對(duì)重加權(quán)框架進(jìn)行求解與每次重加權(quán)迭代過程中優(yōu)化子問題進(jìn)行求解。

2)模型求解。

對(duì)重加權(quán)框架進(jìn)行求解的方法與普通迭代優(yōu)化法求解程序大致相同，均為給定初始值之后，依據(jù)一定方案持續(xù)更新一直到算法收斂，或是達(dá)到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)。每一次迭代過程中均需依據(jù)以上一次迭代結(jié)果，在該過程中最為關(guān)鍵的即為重加權(quán)權(quán)重值更新。在每次迭代過程中，當(dāng)重加權(quán)權(quán)重值確定之后，那么能夠?qū)⒋舜蔚^程當(dāng)成對(duì)一個(gè)子優(yōu)化問題進(jìn)行求解即可。重加權(quán)更新方案為：將初始值定義為1，之后每次值與前一次迭代計(jì)算結(jié)果中對(duì)應(yīng)項(xiàng)元素幅值倒數(shù)相等。利用n′代表迭代次數(shù)，Σ(n′)、B′(n′)、E′(n′)描述的是第n′th次迭代之后的結(jié)果值。由于上述模型中有著很多需要進(jìn)行求解的變量參數(shù)，因此通過交替方向法進(jìn)行求解，也就是每次增廣拉格朗日算子計(jì)算時(shí)，一旦求解目標(biāo)變量，則將其他變量固定住。由于3個(gè)模型求解方式相似，只是在對(duì)誤差項(xiàng)進(jìn)行求解時(shí)存在差異。由此，針對(duì)模型式(12)和模型式(13)，僅對(duì)誤差項(xiàng)求解流程進(jìn)行分析。

模型1：假設(shè)將矩陣中所有缺失的元素均當(dāng)成0進(jìn)行處理，則能將矩陣的填充問題轉(zhuǎn)換為具有特殊性的矩陣恢復(fù)問題，將模型重寫為：

(10)

式中：ξ為缺失的元素，在此將缺失的元素當(dāng)成噪聲[10]。對(duì)式(10)進(jìn)行求解，能夠利用迭代計(jì)算式序列完成：

(11)

(12)

針對(duì)式(12)中的B′k′+1，將原式中和B′不存在相關(guān)性的常量去除，同時(shí)配方之后，就能夠獲?。?/p>

(13)

根據(jù)式(13)可知假設(shè)字典Φ為正交形式，即ΦΦT=E′為一個(gè)單位矩陣，由此式(13)可以作為一個(gè)收縮算子求解的形式，其解為：

(14)

式(14)的求解方式主要針對(duì)Φ為正交形式，下文分析Φ不為正交形式，僅為一般矩陣時(shí)的情況。

在Φ不為正交形式時(shí)，則無法通過收縮算子進(jìn)行求解，因此采用以下方法進(jìn)行求解。由此就能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)換為對(duì)Q(ξ,Zj)最小值進(jìn)行求解，進(jìn)而獲取一個(gè)有關(guān)Z的序列，便可近似獲取F(Z)最小值。針對(duì)式(12)中的第一行B′k′+1，以泰勒展開，接著取前若干項(xiàng)配方獲取一個(gè)收縮因子能夠解的形式：

(15)

針對(duì)式(12)中的第二行A′k′+1，同樣可以利用式(15)中所用到的技巧，將其轉(zhuǎn)換成求解式優(yōu)化方程：

(16)

此時(shí)對(duì)式(16)進(jìn)行求解能夠得到：

(17)

式中Uk′、Vk′為左右奇異向量。

(18)

由此E′完整迭代解可表示為：

其余子問題均為簡(jiǎn)單一階加減法，容易求解。綜上，就能夠獲得結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣填充結(jié)果。

模型2：模型2的增廣拉格朗日函數(shù)表達(dá)式為：

(19)

(20)

模型3：模型3的增廣拉格朗日函數(shù)為：

(21)

將式(21)中的2部分相加獲取E′最終解：

至此，完成高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建，具體流程如圖2所示。

圖2 高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建流程Fig.2 Low rank matrix reconstruction flow of structural missing in high noise image

首先初步處理高噪聲圖像，為后續(xù)矩陣重建過程降低計(jì)算復(fù)雜程度，引入優(yōu)化后的鄰域平均方法降低低頻子帶圖像噪聲，引入像素鄰域局部能量方法降低高頻子帶圖像噪聲，利用小波逆變換獲取濾除噪聲后的圖像。引入重加權(quán)策略構(gòu)建重建模型，求解重加權(quán)框架迭代過程中的優(yōu)化子問題，完成高噪聲圖像結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證基于重加權(quán)的高噪聲圖像的結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建算法運(yùn)行性能，進(jìn)行一次相關(guān)性測(cè)試。驗(yàn)證所提方法的去噪效果，在實(shí)驗(yàn)原圖中分別加入高斯噪聲與脈沖噪聲，對(duì)比高斯噪聲加入后所提算法的去噪效果，在脈沖噪聲噪聲加入后對(duì)比所提方法與現(xiàn)有方法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和平均絕對(duì)誤差(mean absolute error, MAE)。PSNR即峰值信噪比，是一種評(píng)價(jià)圖像的客觀標(biāo)準(zhǔn)。MAE是評(píng)價(jià)圖像細(xì)節(jié)保持效果的指標(biāo)，MAE值越小,圖像細(xì)節(jié)處理效果越好。將實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建在Matlab上，利用如圖3所示的3幅標(biāo)準(zhǔn)圖像作為實(shí)驗(yàn)圖像。

圖3 實(shí)驗(yàn)圖像Fig.3 Experimental image

對(duì)圖3中的3幅圖像進(jìn)行加噪處理，運(yùn)用所提方法對(duì)加入高斯噪聲后的圖片進(jìn)行去噪處理，以此驗(yàn)證所提算法高斯噪聲濾除效果。圖4為加入高斯噪聲后圖像及所提算法的圖像去噪效果。

圖4 加入高斯噪聲后圖像及所提算法去噪效果Fig.4 The image and denoising effect of the proposed algorithm after adding Gaussian noise

根據(jù)圖4去噪結(jié)果顯示，所提方法可以有效去除高噪聲圖像的噪點(diǎn)。去噪后圖像可以較完整恢復(fù)原圖像細(xì)節(jié)，能保持圖像中的紋理信息，實(shí)現(xiàn)了高噪聲圖像結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣的高精度重建。

為驗(yàn)證所提方法在脈沖噪聲情況下的運(yùn)行性能，對(duì)比通過非凸和不可分離的正則化同時(shí)進(jìn)行稀疏和低秩矩陣重構(gòu)(文獻(xiàn)[5])、利用子空間信息重構(gòu)低秩矩陣(文獻(xiàn)[6])和卷積結(jié)構(gòu)低秩矩陣快速恢復(fù)(文獻(xiàn)[7])3種方法的PSNR值和MAE。實(shí)驗(yàn)使用Matlab中自帶的imnoise函數(shù)在圖像中添加10%～90%概率密度的脈沖噪聲。設(shè)定自適應(yīng)閾值T為125，設(shè)定噪聲重加權(quán)權(quán)重We為0.55。圖5和圖6為加入脈沖噪聲后，不同方法PSNR指標(biāo)與MAE指標(biāo)的變化情況。其中，PSNR值越大表示失真越小；MAE值越小，保留的紋理細(xì)節(jié)越多，圖像質(zhì)量越好。

圖5 脈沖噪聲下不同研究成果PSNR對(duì)比Fig.5 PSNR comparison of different research results under impulse noise

由圖5可知，隨脈沖噪聲概率密度的增加，4種方法的峰值信噪比逐漸降低；但在實(shí)驗(yàn)總過程中，所提方法最高峰值信噪比為29.05 dB，高于對(duì)比的3種方法，圖像復(fù)原效果較好。不同概率密度脈沖噪聲分布下不同研究方法MAE對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6 脈沖噪聲下不同研究成果MAE對(duì)比Fig.6 MAE comparison of different research results under impulse noise

由圖6可知，隨脈沖噪聲概率密度的增加，4種方法的平均絕對(duì)誤差值逐漸增加，在20%概率密度之前，4種方法的MAE值相差較小，在此之后，所提算法的MAE值均小于對(duì)比的3種方法，說明運(yùn)用所提算法對(duì)圖像去噪后保留的圖像紋理細(xì)節(jié)較多。因?yàn)樗岱椒▽?duì)圖像進(jìn)行了預(yù)處理，在低秩與稀疏特性先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上，構(gòu)建結(jié)構(gòu)性缺失低秩矩陣重建模型，克服了僅可以對(duì)隨機(jī)缺失矩陣進(jìn)行處理的缺陷。

3 結(jié)論

1)在高斯噪聲加入情況下，利用所提算法去噪后的圖像清晰度與原圖相近，紋理信息等細(xì)節(jié)保持比較完整。因?yàn)樗崴惴ㄔ跇?gòu)建結(jié)構(gòu)性缺失矩陣前，對(duì)高噪聲圖像進(jìn)行了預(yù)處理，增強(qiáng)了圖像去噪的效果。

2)在脈沖噪聲加入情況下，所提算法的峰值信噪比均高于對(duì)比方法，平均絕對(duì)誤差值低于18，2組實(shí)驗(yàn)結(jié)果較優(yōu)于對(duì)比方法。由于所提算法根據(jù)低秩與稀疏先驗(yàn)對(duì)重建矩陣進(jìn)行了約束，獲得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明該算法在圖像去噪方面有較好的實(shí)用價(jià)值，提高了重建精度。

3)為了更好地滿足實(shí)際需求，更好地將低秩矩陣重建應(yīng)用至圖像背景恢復(fù)和人工智能圖像識(shí)別中，下一步將針對(duì)降低算法復(fù)雜性進(jìn)行研究。