宋向榮， 周校軍， 高俊亮,2， 王崗

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003; 2.江蘇科技大學(xué) 江蘇省船舶先進(jìn)設(shè)計(jì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 鎮(zhèn)江 212003; 3.河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，江蘇 南京 210098)

港灣共振是指當(dāng)傳入港內(nèi)的低頻波浪的頻率與港灣的本征頻率相同時(shí)，港內(nèi)水體會出現(xiàn)大幅波動的現(xiàn)象[1]。港灣共振可以誘發(fā)港內(nèi)泊船的劇烈運(yùn)動，顯著影響系泊安全和貨物的裝卸[2]。甚至可能造成人員傷亡和重大的經(jīng)濟(jì)損失。夏季由于受太平洋上的熱帶風(fēng)暴影響，我國東南沿海城市的很多港口也曾受到港灣共振的影響[3]。誘發(fā)港灣共振的原因有很多，其中主要能夠誘發(fā)港灣共振的有氣象波、次重力波、地震波、海嘯、海洋內(nèi)波和剪切流等[4]。

為了對海嘯波誘發(fā)的港灣共振進(jìn)行預(yù)報(bào)和研究，Sobey[5]提出了正交模態(tài)分解法，港灣的本征頻率、共振模態(tài)形狀及各模態(tài)的響應(yīng)幅值可以由這一方法求得。但該方法在全反射邊界條件的處理上不夠精確。Gao等[6]提出鏡像法對其進(jìn)行了改進(jìn)，顯著提高了預(yù)測結(jié)果的精度。隨后Gao等[7]使用改進(jìn)的正交模態(tài)分解法并結(jié)合Boussinesq數(shù)值模型系統(tǒng)研究了在不同入射波幅和港底剖面形狀條件下孤立波對港內(nèi)波幅演化、共振波幅及港內(nèi)總波能和相對波能分布的影響。Gao等[8-9]進(jìn)一步使用改進(jìn)的正交模態(tài)分解法和Boussinesq數(shù)值模型研究了連續(xù)孤立波和N波的波形參數(shù)對港內(nèi)最大爬高及港內(nèi)相對波能分布的影響，上述研究中港內(nèi)均設(shè)置為平底地形。隨后，鄭子波等[10]引入折線型地形，系統(tǒng)研究了該地形條件對孤立波誘發(fā)的港內(nèi)最大爬高及波能的影響。Gao等[11]利用Boussinesq數(shù)值模型研究了高模態(tài)下雙色短波群在近海岸礁地形附近引起的狹長港內(nèi)低頻振蕩。

雖然絕大多數(shù)學(xué)者采用孤立波來研究海嘯波[12-13]，但人們從許多實(shí)際觀察中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)傳至海岸的海嘯波波形像“N”，可以看作由一個(gè)大波峰和一個(gè)大波谷組成，這類海嘯波被稱為N波[14-15]。然而，目前對由N波誘發(fā)的瞬變港灣共振現(xiàn)象的研究還極為有限。因此，本文進(jìn)一步系統(tǒng)研究不同港內(nèi)折線型地形對N波入射誘發(fā)港灣共振條件下的港內(nèi)最大爬高及波能分布的影響。另外，不同N波入射波幅對于港內(nèi)波況的影響也被研究。

1 數(shù)值模型和分析方法

1.1 FUNWAVE-TVD數(shù)值模型

FUNWAVE-TVD 是Shi等[16]開發(fā)的完全非線性Boussinesq波浪模型，該模型使用混合有限元有限差分格式求解了Chen等[17]提出的完全非線性Boussinesq方程，并且結(jié)合了Kennedy等[18]提出的動參考面理論。該模型在頻散中保留到O(μ2)，在非線性a/h保留了所有階(這里μ=h/l，h為局部靜水深，l為波長，a為波幅)。其控制方程表達(dá)式為：

ηt+·M=0

(1)

V2-V3-R}+gηh

(2)

式中：g、η和H=h+η分別表示重力加速度、局部表面位移和總局部水深；=((?/?x),(?/?y))為水平梯度運(yùn)算符；M為水平體積通量：

(3)

(4)

式中：A=·(huα)，B=·uα。V1和V2為色散項(xiàng)。

(6)

V3為豎直渦量場的O(μ2)分布：

(7)

其中：

ω0=(×uα)·iz=vα,x-uα,y

(8)

zα,x(Ay+zαBy)-zα,y(Ax+zαBx)

(9)

式中：iz為豎直方向的單位向量；R為包含底部摩擦和次網(wǎng)格橫向紊流混合的耗散和擴(kuò)散項(xiàng)。

FUNWAVE-TVD通過一個(gè)高階激波捕捉總變差下降(total variation diminishing，TVD)格式求解，這使得該模型不依賴經(jīng)驗(yàn)公式就可以模擬波浪破碎并結(jié)合波能耗散[15]。此外，該模型采用保持強(qiáng)穩(wěn)定性的三階Runge-Kutta格式來自動調(diào)整時(shí)間步長，通過帶有非阻塞通信的消息傳遞接口(MPI)實(shí)現(xiàn)并行運(yùn)算。通過這些改進(jìn)，該模型在預(yù)測近岸波浪過程時(shí)變得更加穩(wěn)定，這些波浪過程包括波浪淺水、折射、衍射、破碎及在平臺和自然沙灘上的爬高和下沖[15]。由于Gao等[9]對FUNWAVE-TVD模型在模擬N波誘發(fā)的瞬變港灣振蕩的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證，故本文沒有再對該模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1.2 分析方法

本文各實(shí)驗(yàn)均使用正交模態(tài)分解法來對港內(nèi)波況進(jìn)行分析處理。該方法由Sobey[5]提出，用來預(yù)測港灣的本征頻率和與之對應(yīng)的本征模態(tài)以及確定海嘯誘發(fā)的港灣內(nèi)各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值。該方法包括2個(gè)計(jì)算步驟。第1步為計(jì)算港口的本征頻率和模態(tài)形狀。第2步通過一個(gè)多維優(yōu)化問題，對由海嘯波所誘發(fā)的港灣共振過程中的各模態(tài)響應(yīng)幅值進(jìn)行預(yù)測。本征頻率和模態(tài)形狀將作為已知量參與到第2步的預(yù)測中。Gao等[6]隨后對該方法進(jìn)行了改進(jìn)以提高本征頻率和模態(tài)形狀的計(jì)算精度。由于正交模態(tài)分解法是基于線性理論得到的，只有在港內(nèi)波浪非線性參數(shù)較小的情況下才能精確地預(yù)測港內(nèi)各模態(tài)的響應(yīng)幅值[13]。故本文只針對入射N波波幅較小的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了分離，然后再研究各實(shí)驗(yàn)的港內(nèi)波能分布。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖1呈現(xiàn)了所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)所使用的狹長型矩形港口俯視圖、港內(nèi)各地形的剖面圖以及坐標(biāo)系的布置。所有港口的長度為1 500 m，寬度2b=30 m；坐標(biāo)系的x、y軸布置在靜水面上，x軸在沿港口長度方向的中心線上，y軸在港口口門處，z軸豎直向上。本文所研究的港內(nèi)地形為折線型，分別為凸型底、凹型底、平臺型底和斜直線型底。對于凸型底與凹型底地形而言，有且只有一個(gè)折點(diǎn)，且折點(diǎn)位于沿港口長度的垂直平分線上，各組中折點(diǎn)處的水深有所區(qū)別。對于平臺型地形來說，可以將其看作是具有2個(gè)折點(diǎn)的折線型地形，2個(gè)折點(diǎn)處的水深一致并且關(guān)于港口長度垂直平分線對稱。圖中h1、h0、hp和l分別代表港口口門處水深、港口底墻處水深、平臺處水深和平臺的長度。在本文中，港口口門處的水深和外海水深均為12 m，底墻處的水深為3 m，平臺處的水深為7.5 m；各組實(shí)驗(yàn)的底部剖面形狀各不相同。港內(nèi)的平均水深為：

(10)

圖1 不同底部剖面形狀的狹長型矩形港口概圖Fig.1 Elongated harbors with different bottom profile shapes

圖2 數(shù)值波浪水槽示意Fig.2 Schematic diagram of numerical wave flume

3 結(jié)果和分析

3.1 波面時(shí)間序列

圖3顯示了A組、C組、E組實(shí)驗(yàn)中入射N波波幅A0=0.04 m時(shí)測點(diǎn)G01、G76和G151處的波面時(shí)間序列，為了更直觀地觀察波面時(shí)間序列所以通過A0對其進(jìn)行了無因次化處理。Ani和Anr分別表示的是入射和反射波波幅，其中n代表的是測點(diǎn)的位置。由于N波入射波幅均相同，港口口門外各水體條件也均一致，所以當(dāng)波浪傳播到測點(diǎn)G01處時(shí)各組的波幅基本均于t1=44.28 s達(dá)到峰值。隨后入射N波逐漸向港內(nèi)傳播，因?yàn)楦蹆?nèi)地形不同，各組的波面時(shí)間序列也會有不同的變化。A～E組的平均水深逐漸減小，港內(nèi)波浪的平均傳播速度也逐漸減小。故從t3開始，A～E組的波幅達(dá)到峰值的時(shí)間逐漸增大，且下沖的極值受平均水深的影響比爬高要更大一些。由于底墻不可穿透，因此t5和t6時(shí)刻對應(yīng)的是港內(nèi)最大的爬高和下沖。例如，由于淺水效應(yīng)，t5從A組的209.48 s逐漸增加到E組的249.16 s，增幅為39.68 s。對于波峰而言，入射N波的放大因子Am/A0逐漸從A組的4.171增加到E組的4.274；對于波谷而言，放大因子Am/A0的變化規(guī)律不是很明顯。在波峰到達(dá)底墻之前，不管是入射還是反射，越靠近底墻處波峰與波谷的放大因子Am/A0之差越大。通過觀察G01和G76測點(diǎn)處的波面時(shí)間序列，不難發(fā)現(xiàn)經(jīng)過底墻反射后波浪的波峰和波谷的幅值均小于入射時(shí)波浪的波峰和波谷的幅值。這是因?yàn)殡S著波浪向港內(nèi)傳播，港內(nèi)水深均逐漸減小，波浪越往港內(nèi)傳播,其發(fā)生的反射越多，波能在不斷的被消耗，故反射回來的波幅較小。

圖3 A、C、E組中A0=0.04 m時(shí)測點(diǎn)G01、G76和G151處的波面時(shí)間序列Fig.3 Time histories of the wave elevations at gauges G01, G76 and G151 for A0=0.04 m in Group A, C, E

3.2 港內(nèi)最大波面

圖4呈現(xiàn)了各組底墻處的最大爬高隨入射波波幅的變化曲線。圖中Am表示入射波在港內(nèi)的最大爬高。為了更好地區(qū)分各組實(shí)驗(yàn)的最大爬高，通過A0對其進(jìn)行了無因次化處理。由圖4可以看出，入射N波波幅、港內(nèi)地形的平均水深以及折點(diǎn)的數(shù)量都對最大爬高有一定的影響。對于各組而言，隨著入射波波幅的增加最大爬高，均呈現(xiàn)先增大后緩慢減小的趨勢。從縱向來看，可以得出港內(nèi)平均水深越大，則最大爬高越大，C組與F組的平均水深相等，但C組的放大因子要略小于F組，所以折點(diǎn)的存在將會略微減小最大爬高。

3.3 港內(nèi)波能

由于正交模態(tài)分解法只有在港內(nèi)波浪非線性較弱的時(shí)候才能精確分離各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值[12]。故本文所分析的入射波幅為0.01～0.07 m，間隔為0.01 m。圖5為波幅A0=0.02 m時(shí)B組和D組通過FUNWAVE-TVD模型模擬和使用正交模態(tài)分解法擬合得到的自由波面的對比。本文只研究了最低的40個(gè)共振模態(tài)。由圖5不難發(fā)現(xiàn)兩者吻合良好。B組實(shí)驗(yàn)中模擬和擬合的自由波面達(dá)到最大的時(shí)刻分別為235.6 s與235.1 s，最大爬高分別為0.083 3 m和0.083 5 m，最大下沖均為-0.093 9 m。D組實(shí)驗(yàn)中模擬和擬合的自由波面達(dá)到最大波面的時(shí)刻分別為255.6 s和254.7 s，最大爬高分別為0.085 1 m與0.084 8 m，最大下沖均為-0.093 7 m?？梢钥闯?，模擬和擬合的自由波面存在一定的誤差?？紤]到這些最大爬高和下沖的特殊性，將正交模態(tài)分解法的數(shù)值擬合誤差NFE重新定義為模擬和擬合的最大爬高和下沖的最大相對誤差，即：

NFE=

(11)

式中：Au指模擬的最大爬高;(Au)fitted指擬合的最大爬高；Ad指模擬的最大下沖;(Ad)fitted指擬合的最大下沖。NFE反映了不同共振模態(tài)響應(yīng)幅值的精確性。B、D各組的NEF分別為0.24%、0.35%。圖6呈現(xiàn)了所有實(shí)驗(yàn)中正交模態(tài)分解法的數(shù)值擬合誤差。如圖6所示，各組實(shí)驗(yàn)的NEF均隨著入射波波幅的增大而增大，這是由于波幅的增加使港內(nèi)共振的非線性變強(qiáng)，從而使數(shù)值擬合誤差增大。這與Gao等[12]的研究結(jié)果一致。為保證不同共振模態(tài)響應(yīng)波幅模擬結(jié)果的精確性，將各組實(shí)驗(yàn)的NFE控制在5%以內(nèi)。

圖4 各實(shí)驗(yàn)組次的港內(nèi)最大爬高Fig.4 Maximum runups inside the harbor for all groups

圖5 A0=0.02 m時(shí)模擬與擬合的自由波面的對比Fig.5 Comparison of simulated and fitted free wave surfaces for A0=0.02 m

本文將相對幅值定義為各共振模態(tài)響應(yīng)幅值與相應(yīng)的入射波波幅之比。圖7顯示了在入射波波幅分別為0.1、0.3、0.5 m條件下各組實(shí)驗(yàn)最低的40個(gè)共振模態(tài)的相對幅值分布。通過對圖7的分析可以得出，當(dāng)入射波幅相同時(shí)，港內(nèi)地形的平均水深對港內(nèi)波能的分布有一定的影響。總的來說，港內(nèi)波能分布會隨著平均水深的逐漸增加而向高模態(tài)偏移，港內(nèi)波能分布更加均勻。以A0=0.05 m為例，A～E組港內(nèi)水深逐漸增加。A組的港內(nèi)的波能主要分布在前8個(gè)共振模態(tài)上，占據(jù)最高波能的為第3模態(tài)。E組的港內(nèi)的波能主要分布在前10個(gè)共振模態(tài)上，占據(jù)最高波能的為第4模態(tài)。F組為直線型地形，其平均水深與C組相同，且與其他組相比不存在折點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)F組中各模態(tài)的相對幅值分布較其他組要略小。

港內(nèi)波能的分布不僅與港內(nèi)平均水深有關(guān)，與入射N波波幅的大小也有一定的關(guān)系。圖8呈現(xiàn)的是在A組、C組和E組中不同入射波幅對于港內(nèi)響應(yīng)幅值分布的影響，如圖所示，當(dāng)入射波波幅較小時(shí)，港內(nèi)的波能主要分布在最低的幾個(gè)共振模態(tài)上，只有很小的一部分波能分布在更高的共振模態(tài)上，且在較高的共振模態(tài)上，其波能的分布更加均勻。隨著入射波幅的不斷增加，波能的分布開始向較高的模態(tài)上偏移。即入射波幅越大，港內(nèi)相對波能分布越均勻。以C組為例，當(dāng)入射波幅較小時(shí)，港內(nèi)的波能主要分布在前6個(gè)共振模態(tài)上，占據(jù)最高波能的共振模態(tài)為第2模態(tài)。

隨著入射波幅的增加，港內(nèi)的波能主要分布在前21個(gè)共振模態(tài)上，占據(jù)較高波能的共振模態(tài)為第4模態(tài)和第12模態(tài)。

圖6 各組數(shù)值實(shí)驗(yàn)的擬合誤差(NEF)Fig.6 Numerical fitting errors (NEF) for all cases

圖7 A～F組中港內(nèi)共振模態(tài)的相對幅值分布的比較Fig.7 Comparison of relative amplitude distributions of resonance modes in group A～F

圖8 在A組、C組、E組中不同入射波幅對于港內(nèi)響應(yīng)幅值分布的影響Fig.8 The influence of different incident wave heights on the distribution of response amplitude in pot in group A, group C, group E

由于將港內(nèi)自由波面視為各共振模態(tài)線性疊加，故港內(nèi)總波能為：

(12)

式中Ai(i=1,2,…,40)表示的是第i個(gè)共振模態(tài)的響應(yīng)幅值。圖9顯示了入射波波幅A0為0.01、0.03、0.05 m時(shí)各組實(shí)驗(yàn)港內(nèi)總波能隨著平均水深的變化情況及A～E組港內(nèi)總波能的線性擬合曲線。為了更直觀觀察圖形，本文對總波能進(jìn)行了無因次化處理(除以入射波幅的平方)。從圖中可以看出對于入射波幅為0.01、0.03、0.05 m時(shí)A～E組的折線型地形而言，港內(nèi)總波能隨著港內(nèi)平均水深增加而線性增加。C、F這2組實(shí)驗(yàn)的港內(nèi)平均水深相等，當(dāng)入射波波幅較小的時(shí)候，平臺型地形的港內(nèi)總波能要小于直線型，但當(dāng)入射波幅較大時(shí)，前者反而大于后者。

圖9 A～F組實(shí)驗(yàn)的港內(nèi)總波能和A～E組實(shí)驗(yàn)港內(nèi)總波能的線性擬合Fig.9 Total wave energy in the harbor of the A～F group and linear fitting of the total wave energy in group A～E

4 結(jié)論

1)在本文所研究的地形及入射N波波幅范圍內(nèi)，最大爬高隨著港內(nèi)平均水深的增大而減小，隨著入射N波波幅的增大而增大，而折點(diǎn)的存在會略微降低最大爬高。

2)在本文研究的地形以及港內(nèi)平均水深范圍內(nèi)來說，港內(nèi)總波能隨著平均水深的增加而呈線性增加。

3)當(dāng)入射波為N波時(shí)，在港內(nèi)水深相同的件下平臺型地形與直線型地形的港內(nèi)總波能的相對大小與入射波幅有關(guān)。當(dāng)入射波波幅較小的時(shí)候，平臺型地形的港內(nèi)總波能要小于直線型，但當(dāng)入射波幅較大時(shí)，前者反而大于后者。

本文的結(jié)論僅限于本文所考慮的細(xì)長形的港口形狀，港內(nèi)地形和入射N波的波幅變化范圍。