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        隨機(jī)變量和的特征函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

        2021-05-07 09:25:26吳雄韜史莉娟王朝霞
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:虛數(shù)特征函數(shù)協(xié)方差

        吳雄韜, 史莉娟, 王朝霞

        (衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 衡陽421002)

        1 引 言

        特征函數(shù)是研究隨機(jī)變量序列收斂問題的重要工具,大多數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中,給出了獨(dú)立情形下特征函數(shù)的基本性質(zhì)[1].作者在2012年研究得到了非獨(dú)立情況下二維隨機(jī)變量特征函數(shù)與原點(diǎn)矩的關(guān)系[2],構(gòu)造了二階組合數(shù)向量和二階混合原點(diǎn)矩向量,建立了二階組合數(shù)向量和二階混合原點(diǎn)矩向量與二維隨機(jī)變量和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

        本文將在文獻(xiàn)[2]研究的基礎(chǔ)上建立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)與隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣的關(guān)系,并結(jié)合文獻(xiàn)[3]的研究方法,得到了隨機(jī)變量和的特征函數(shù)在等相關(guān)同分布和獨(dú)立同分布情形下兩個推論,證明了等相關(guān)同分布隨機(jī)變量序列和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)的極限結(jié)果.

        2 隨機(jī)變量和的特征函數(shù)的性質(zhì)

        性質(zhì)1隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,其和的分布的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)存在.協(xié)方差矩陣

        A=(akm)n×n=Cov(Xk,Xm),k,m=1,2,…,n,

        φ″(0)∑A*=0.

        證本文僅考慮隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn為連續(xù)型情形,隨機(jī)變量其它類型情形可類似處理.

        設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1,x2,…,xn),則和的分布的特征函數(shù)為φ(t),

        由φ(t)二階可導(dǎo),則

        =-∑A-∑μ*=-∑A*,

        由此得

        φ″(0)∑A*=0.

        推論2隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn等相關(guān)同分布,其和的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階可導(dǎo),

        E(Xk)=μ, Var(Xk)=σ2, corr(Xk,Xm)=ρ(k≠m=1,2,…,n),

        其中i為虛數(shù)單位,i2=-1,則

        證設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn協(xié)方差矩陣為A,依題意得

        設(shè)

        ∑A*=nσ2+n2μ2+n(n-1)ρ2,

        由性質(zhì)1知

        φ″(0)-n[σ2+nμ2+(n-1)ρ2],

        推論3隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布,其和的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)存在,

        E(Xk)=μ, Var(Xk)=σ2(k=1,2,…,n),

        其中i為虛數(shù)單位,即i2=-1,則

        3 例子與應(yīng)用

        解依題設(shè)易知

        E(X)=0, Var(X)=1, E(X2)=Var(X)+E2(X)=1,

        同理

        E(Y)=0, Var(Y)=1, E(Y2)=Var(Y)+E2(Y)=1,

        從而得φ″(0)∑A*=(-3)+3=0,結(jié)論成立.

        例2等相關(guān)同分布隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xk,…,前n項(xiàng)和的特征函數(shù)φn(t)在原點(diǎn)二階可導(dǎo),

        E(Xk)=μ, Var(Xk)=σ2, corr(Xk,Xm)=ρ(k≠m=1,2,…,n,…),

        其中i為虛數(shù)單位,即i2=-1,則

        4 結(jié) 論

        本研究主要運(yùn)用特征函數(shù)定義與性質(zhì)研究得到了關(guān)于隨機(jī)變量和的特征函數(shù)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)與協(xié)方差矩陣之間關(guān)系,給出了性質(zhì)的兩個推論,證明了等相關(guān)同分布序列和的特征函數(shù)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)的極限問題.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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