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        無窮積分余項(xiàng)與其被積函數(shù)比值的收斂階

        2021-05-07 09:24:56王鳳瓊
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:大學(xué)

        王鳳瓊

        (成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,成都610225)

        1 引 言

        以例子形式給出兩個(gè)簡單情形的對(duì)應(yīng)比值結(jié)束本節(jié).

        2 主要結(jié)果

        對(duì)q>0,Gamma函數(shù)的余項(xiàng)

        有如下結(jié)論[5]

        Γ(q,x)~xq-1e-x(x→+∞).

        (1)

        命題1對(duì)于c>0,α>0和β>-1, 設(shè)

        證令u=ctα,則由式(1),得

        因此當(dāng)x→ +∞時(shí),有

        但一般情形, 有

        (2)

        注2 由洛必達(dá)法則, 有

        記Fα(x)=Fα,0(x), 下面考慮它在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性, 依據(jù)文[3]定理1和2 的思路可以得到如下結(jié)果:

        命題2當(dāng)0<α<1 時(shí)Fα(x)在[0,+∞)上嚴(yán)格單增, 當(dāng)α>1時(shí)Fα(x)在[0,+∞)上嚴(yán)格單減.

        證記φα(x)=φα,0(x). 計(jì)算得到

        F′α(x)=αcxα-1Fα(x)-1=αcxα-1e-cxαfα(x),

        (3)

        進(jìn)而, 有

        因此對(duì)x∈(0,+∞), 當(dāng)0<α<1時(shí)有fα(x)>0, 當(dāng)α>1時(shí)有fα(x)<0. 故由式(3)得到Fα(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性.

        將命題1的結(jié)論應(yīng)用到Mittag-Leffler函數(shù)[6], 這個(gè)函數(shù)與分?jǐn)?shù)階微積分以及分?jǐn)?shù)階微分方程有著緊密關(guān)系.

        對(duì)于Mittag-Leffler函數(shù)

        文[6]得到

        于是當(dāng)x→ +∞時(shí), 有

        (4)

        (5)

        下面令

        (6)

        為繼續(xù)下去, 需要如下引理([4], 第三章第10節(jié),P63-64).

        于是由式(4)-(6)和引理1, 當(dāng)x→ +∞時(shí)有

        其中最后一個(gè)等價(jià)由式(1)得到. 可見, 仍然與β無關(guān).

        3 級(jí)數(shù)情形

        引理2[7](Stolz定理) 設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)列{xn},{yn}滿足:

        (ii) {yn}嚴(yán)格遞減;

        證當(dāng)x→0時(shí)有(1+x)θ-1~θx, 其中θ為一個(gè)常數(shù). 由引理2, 有

        (7)

        從而

        所以

        所以

        4 結(jié) 論

        致謝本文得到高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心2019年項(xiàng)目和成都信息工程大學(xué)教改項(xiàng)目的支持, 文獻(xiàn)[3,4,6]給予本文很大的啟示, 審稿人的意見改進(jìn)了本文, 在此一并表示感謝!

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