牛司麗， 劉玉曉

(1.同濟大學 數(shù)學科學學院，上海200092； 2.河南城建學院 數(shù)理學院，河南 平頂山467036)

1 引 言

概率論在實際問題中具有非常廣泛的應用，其中的中心極限定理更是概率論的杰出和經(jīng)典工作，它為統(tǒng)計學的發(fā)展起著至關重要的作用. 這一理論結果的應用已廣泛滲透至工程技術、經(jīng)濟金融、保險、醫(yī)學、以及目前大家關注的人工智能和大數(shù)據(jù)分析等各個領域.

我們知道，在對未知量作統(tǒng)計推斷時，常涉及到對其構造置信區(qū)間或作假設檢驗等，這必須利用相應估計量的分布. 在統(tǒng)計大樣本理論的研究中，更多是研究估計量的相合性和漸近正態(tài)性等，相比來講，研究漸近正態(tài)估計量函數(shù)的極限分布卻少很多，但在實際應用中，常遇到討論未知量函數(shù)的推斷問題，由此就需要在知道該未知量的估計具有漸近正態(tài)性之后，研究它的函數(shù)對應的極限分布. 因此，在隨機變量正態(tài)性應用的同時，漸近正態(tài)隨機變量函數(shù)的極限分布也是非常重要的，本文對漸近正態(tài)隨機變量函數(shù)的極限分布進行討論，獲得兩個一般性理論結果. 作為應用，選取幾個具體的函數(shù)，導出一系列漸近正態(tài)隨機變量，獲得一些耳目一新的結果，其中包括泊松隨機變量平方根的漸近正態(tài)性，以及隨機變量部分和在正則化常數(shù)是隨機變量情況下的漸近正態(tài)性.

2 主要結果

定理3設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，如果Var(Xn)=σ2<∞，則當n→∞時，

3 主要結果的證明

定理2的證明利用泰勒展開式，由假設當x→μ時，

定義

注意

則應用引理1，當n→∞時

以及

(iii) 令g(x)=ex，則g(x)是連續(xù)函數(shù)，并且對任意的μ，g′(μ)=eμ，于是應用定理1得到

4 結 論

本文對漸近正態(tài)隨機變量的函數(shù)，在定理1和定理2中分別建立兩個一般性極限分布結果. 從例1和例2能夠看到，利用建立的一般性結論能導出我們很少見到的一些耳目一新的結果. 另外，到目前為止，尚未看到涉及漸近正態(tài)自正則隨機變量函數(shù)漸近分布更一般性的結論，后續(xù)對此可作進一步的討論.

致謝作者感謝審稿人對本文提出的有價值的評論和修改建議.