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        正態(tài)總體均值置信區(qū)間長度的比較

        2021-05-07 09:24:26石撿情劉繼成劉顯明
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期

        石撿情, 劉繼成, 劉顯明

        (華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,武漢430074)

        1 問題的提出

        設(shè)X1,…,Xn為正態(tài)總體X~N(μ,σ2)的樣本容量為n的簡單隨機(jī)樣本,樣本均值和樣本方差分別記為

        在總體方差σ2已知和未知兩種情況下,總體期望μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間分別是(文獻(xiàn)[1]P194(7.10)和P196(7.13))

        分析L1和L2的表達(dá)式,易知tα/2(n-1)>uα/2,通過Cauchy-Schwartz不等式得到E(Sn)<σ,文獻(xiàn)[2]從數(shù)值上得出L1小于E(L2),本文的目的是嚴(yán)格證明L1

        定理1對于任意n≥2,L1

        為證定理1,只需等價(jià)證明σ·uα/2

        回顧自由度為n-1的t分布的密度函數(shù)fn-1(x)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)φ(x)

        對密度函數(shù)fn-1(x)在分位數(shù)下做變換,可得到另一概率密度函數(shù)記為gn-1(x),其上側(cè)α/2分位數(shù)正是Cn·tα/2(n-1),最后通過探究概率密度函數(shù)φ(x)與gn-1(x)的圖像交點(diǎn)問題來證明定理1成立.值得注意的是,為使E(Sn)的取值有意義,n的取值應(yīng)不小于2,本文約定n≥2.

        2 分位數(shù)下的積分變換

        下面的引理來自文獻(xiàn)[2],討論了樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sn的數(shù)學(xué)期望和性質(zhì).

        ② E(Sn)關(guān)于n單調(diào)遞增且收斂到σ.

        文獻(xiàn)[2]計(jì)算了E(Sn)的精確數(shù)值表示,且對E(Sn)的極限和單調(diào)性進(jìn)行了計(jì)算與探討.

        由引理1中E(Sn)的表達(dá)式,記E(Sn)與σ的比值

        (1)

        即Cn是n的函數(shù).E(Sn)單調(diào)遞增且收斂到σ,則Cn關(guān)于n單調(diào)遞增收斂到1.定義

        (2)

        下面的命題說明了gn-1(x)的性質(zhì).

        命題1(i)gn-1(x)是一概率密度函數(shù);

        (ii)Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數(shù)gn-1(x)的上側(cè)α/2分位點(diǎn);

        (iii)gn-1(x)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)φ(x);

        證對自由度為n-1的t分布的概率密度函數(shù)fn-1(x)做積分變換.

        根據(jù)式(1)

        由上側(cè)分位數(shù)的定義(文獻(xiàn)[3], P131(2.7.5)),有

        令x=Cn·t得到

        (3)

        取α=1,注意到tα/2(n-1)=0,有

        (4)

        (i) 易知gn-1(x)>0且為偶函數(shù),由公式(4)可證gn-1(x)是一概率密度函數(shù);

        (ii) 由公式(3)和上分位點(diǎn)的定義,Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數(shù)gn-1(x)的上側(cè)α/2分位點(diǎn);

        (iii) 由于t分布收斂到φ(x),且當(dāng)n→∞時(shí),

        3 兩個(gè)概率密度函數(shù)的比較

        已知Cn·tα/2(n-1)與uα/2分別是概率密度函數(shù)gn-1(x)與φ(x)的上側(cè)α/2分位點(diǎn),為此下面證明這兩個(gè)函數(shù)圖像在x正半軸只有一個(gè)交點(diǎn).

        命題2函數(shù)φ(x)與gn-1(x)在(0,+∞)上有唯一的交點(diǎn).即存在K0,當(dāng)x∈(0,K0),φ(x)>gn-1(x);當(dāng)x∈(K0,+∞)時(shí)φ(x)

        證原問題等價(jià)于方程φ(x)=gn-1(x)在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)解.由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,方程兩邊取對數(shù)化簡,也等價(jià)于函數(shù)

        在x正半軸有唯一零點(diǎn).

        首先證明函數(shù)m(x)在x正半軸至多有一個(gè)零點(diǎn).對函數(shù)m(x)求導(dǎo)

        下面證明函數(shù)m(x)在x軸正半軸有且只有一個(gè)零點(diǎn).論文中,前面已經(jīng)有下面符號和結(jié)論

        因?yàn)?/p>

        (5)

        注意到m(0)=0,因此m(x)在x正半軸有且只有一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)φ(x)與gn-1(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)交點(diǎn),記為K0.

        最后,比較gn-1(x)與φ(x)在(0,+∞)上的大小關(guān)系.

        由于gn-1(x)與φ(x)在(0,+∞)均單調(diào)遞減且在[0,+∞)上有且只有兩個(gè)交點(diǎn):0和K0,由式(5)知當(dāng)x∈(0,K0)時(shí),φ(x)>gn-1(x);當(dāng)x∈(K0,+∞)時(shí),φ(x)

        下面來證明定理1.

        4 定理1的證明

        概率密度函數(shù)gn-1(x)與φ(x)的累積分布函數(shù)分別記為Gn-1(x)與Φ(x),兩者的概率密度函數(shù)圖像和累積分布函數(shù)圖像分別如圖1和圖2.

        圖1 概率密度函數(shù)圖像 圖2 累積分布函數(shù)圖像

        當(dāng)x>0時(shí),此時(shí)uα/2,Cn·tα/2(n-1)>0,Φ(x)>Gn-1(x),根據(jù)概率分布函數(shù)的單調(diào)性,所以有uα/2

        定理1的等價(jià)形式得到了證明,因此定理1成立,即L1

        5 結(jié) 論

        本文證明了正態(tài)總體在方差已知和未知兩種情況下,方差未知時(shí)的置信區(qū)間長度的期望要大.與直觀一致,當(dāng)方差σ已知時(shí),關(guān)于正態(tài)總體可以利用的信息更多,更有利于區(qū)間的準(zhǔn)確估計(jì);當(dāng)方差σ未知時(shí),隨著樣本量的增多,樣本中包含總體的信息增多,樣本方差更加趨近于總體方差,兩個(gè)置信區(qū)間估計(jì)精度的差別也越小.且當(dāng)n→∞時(shí),概率密度函數(shù)gn-1(x)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),分位數(shù)Cn·tα/2(n-1)也將趨于uα/2.

        另外,眾所周知t分布是小樣本分布,在n較小時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布存在較大的區(qū)別,尤其是尾部概率要更大,tα/2(n-1)遠(yuǎn)大于uα/2.本文中得出的概率密度函數(shù)gn-1(x)是一個(gè)有趣的分布,比t分布更接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,可以替代t分布來對小樣本進(jìn)行估計(jì).

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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