亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        4上偶長(zhǎng)度的LCD負(fù)循環(huán)碼

        2021-05-07 09:24:14廖文敬開(kāi)曉山
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期

        廖文敬, 開(kāi)曉山

        (合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230601)

        1 引 言

        上世紀(jì)九十年代,Hammons等[1]發(fā)現(xiàn)某些高效二元非線性碼是環(huán)4上線性碼的二元象,有限環(huán)上編碼理論獲得重要突破,這使得有限環(huán)上糾錯(cuò)碼理論成為編碼理論研究的一個(gè)主要方向之一.Wolfmann在文獻(xiàn)[2]中研究了4上奇長(zhǎng)度的負(fù)循環(huán)碼及其二元象的性質(zhì).此后,有限環(huán)上常循環(huán)碼受到學(xué)者們廣泛地關(guān)注.Blackford在文獻(xiàn)[3]中確定了偶長(zhǎng)度的負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[4]得到了伽羅瓦環(huán)GR(2a,m)上負(fù)循環(huán)碼及其自對(duì)偶碼的生成多項(xiàng)式.文獻(xiàn)[5]分析了一般有限環(huán)上常循環(huán)碼的研究方法.文獻(xiàn)[6]對(duì)pm上長(zhǎng)度為n的常循環(huán)碼的周期分布進(jìn)行了深入研究,其中g(shù)cd(n,p)=1.文獻(xiàn)[7-8]利用有限環(huán)上常循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較好的量子糾錯(cuò)碼.

        Massey在文獻(xiàn)[9]中引入了有限域上LCD碼,證明了LCD碼是漸近好碼.文獻(xiàn)[10]證明了二元LCD碼可以用于抗側(cè)信道攻擊,這引起了學(xué)者們對(duì)構(gòu)造LCD碼的極大興趣.文獻(xiàn)[11]研究了有限鏈環(huán)上LCD碼的存在性.文獻(xiàn)[12]給出了有限鏈環(huán)上LCD循環(huán)碼的性質(zhì).最近,文獻(xiàn)[13]證明了有限Frobenius環(huán)上不存在非自由LCD碼,并且構(gòu)造了4上最優(yōu)LCD循環(huán)碼.

        2 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)f(x)是4上次數(shù)為m的首一多項(xiàng)式且f(0)=1或3,定義f(x)的互反多項(xiàng)式為

        f*(x)=f(0)-1xmf(1/x).

        如果f(x)=f*(x),則稱f(x)為4上自互反多項(xiàng)式.設(shè)f(x)是4上次數(shù)為m的首一基本不可約多項(xiàng)式且deg(f(x))=m,則GR(4,m)=4[x]/〈f(x)〉為4的m次擴(kuò)環(huán),由伽羅華環(huán)相關(guān)理論,在GR(4,m)上存在一個(gè)(2m-1)次本原單位根ζ使得f(ζ)=0.令Γ={0,1,ζ,…,ζ2m-2},則任意r∈GR(4,m)可以表示成r=a+2b,其中a,b∈Γ.下面引理給出了集合Γ中元素和的性質(zhì).

        對(duì)于奇數(shù)n,設(shè)β是4擴(kuò)環(huán)中的n次本原單位根,f(x)是4上首一基本不可約多項(xiàng)式,若f(βi)=0,則稱f(x)為βi在4上的極小多項(xiàng)式,記為mi(x).

        定義x與y的內(nèi)積為x·y=x0y0+x1y1+…+xN-1yN-1∈4.若x·y=0,則稱x與y正交.設(shè)C是4上長(zhǎng)為N的線性碼,定義C的對(duì)偶碼為若C∩C⊥={0},則稱C為4上線性互補(bǔ)對(duì)偶(LCD)碼.若對(duì)任意碼字(c0,c1,…,cN-1)∈C,都有(-cN-1,c1,…,cN-2)∈C,則稱C為4上長(zhǎng)為N的負(fù)循環(huán)碼.視碼字c=(c0,c1,…,cN-1)與多項(xiàng)式c(x)=c0+c1x+…+cN-1xN-1相同,則4上長(zhǎng)為N的負(fù)循環(huán)碼是商環(huán)4[x]/〈xN+1〉的理想.4上長(zhǎng)為N的負(fù)循環(huán)碼C與下面兩個(gè)二元線性碼存在密切聯(lián)系:

        設(shè)N=2kn,其中k是正整數(shù),n是正奇數(shù).記R=4[x]/〈xN+1〉,則4上長(zhǎng)為N的負(fù)循環(huán)碼是環(huán)R的理想.根據(jù)Hensel引理[13],xn-1在4[x]中可以唯一分解成首一基本不可約多項(xiàng)式的乘積

        其中fi(x)(1≤i≤s)是4[x]中首一基本不可約自互反多項(xiàng)式,hj(x)與是4[x]中首一不可約互反多項(xiàng)式對(duì).文獻(xiàn)[3,15]中給出4上負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu).設(shè)C是4上長(zhǎng)為N的負(fù)循環(huán)碼,則C的生成多項(xiàng)式可以表示為

        (1)

        其中0≤li,kj,λj≤2k+1,1≤i≤s,1≤j≤t.而且,C⊥的生成多項(xiàng)式為

        根據(jù)定義,C是4上長(zhǎng)為N的LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)C∩C⊥={0}.在R中

        因此,C是LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)

        max{li,2k+1-li}=max{kj,2k+1-λj}=max{λj,2k+1-kj}=2k+1,

        其中1≤i≤s,1≤j≤t.從而,C是4上長(zhǎng)為N的LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)li=0或2k+1(1≤i≤s),λj=kj=0或2k+1(1≤j≤t).由此得到下面定理.

        定理1設(shè)g(x)是定義如式(1),則4上長(zhǎng)為N生成多項(xiàng)式為g(x)的負(fù)循環(huán)碼是LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)li=0或2k+1(1≤i≤s),λj=kj=0或2k+1(1≤j≤t).

        由定理1可以得到如下推論.

        推論1設(shè)C是4上長(zhǎng)為N生成多項(xiàng)式為g(x)的LCD負(fù)循環(huán)碼,則存在xn-1的自互反因子f(x)∈4[x]使得g(x)=f(x)2k+1.

        引理2設(shè)f(x)是xn-1在4[x]中的首一因子,則對(duì)任意正整數(shù)l,在R中有

        〈g(x)2k+1〉=〈g(x)2k+1+l〉.

        u(x)g(x)2k+1+l=[1-v(x)h(x)2k+1]g(x)2k+1=g(x)2k+1-v(x)(xn-1)2k+1=g(x)2k+1.

        因此

        〈g(x)2k+1〉=〈g(x)2k+1+l〉.

        定理24上長(zhǎng)為N的LCD負(fù)循環(huán)碼是自由可逆碼.

        證設(shè)C是4上長(zhǎng)為N的LCD負(fù)循環(huán)碼,則存在xn-1的自互反因子f(x)∈4[x]使得C=〈f(x)2k+1〉.容易驗(yàn)證,C是可逆碼.設(shè)h(x)=(xn-1)/g(x),注意在R中,〈g(x)2kh(x)2k〉=〈2〉,故

        C∩〈2〉=〈g(x)2k+1h(x)2k〉=〈2g(x)2k〉.

        由引理2得

        2C=〈g(x)2k+1+2kh(x)2k〉=〈g(x)2k+1h(x)2k〉=〈2g(x)2k〉,

        故C∩〈2〉=2C.根據(jù)文獻(xiàn)[16]中推論3.12知,C是自由碼.

        引理3當(dāng)m≥4是偶數(shù)時(shí),Res(C)和Tor(C)的極小漢明距離是3;當(dāng)m≥4是奇數(shù)時(shí),Res(C)和Tor(C)的極小漢明距離至少是5.

        證由文獻(xiàn)[16]中定理4.2,Res(C)的極小漢明距離等于

        當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),3不是2m-1的因子,考慮兩種情況:

        (i) 假設(shè)D中含有重量為3的碼字c(x),由于D是二元循環(huán)碼,不失一般性,可設(shè)

        c(x)=1+xl1+xl2,

        其中1≤l1

        c(x)+c*(x)=xl2-l1+xl1∈D.

        若l2≠2l1,則c(x)+c*(x)的漢明重量為2.若l2=2l1,則c(x)=1+xl1+x2l1. 因此

        (ii) 假設(shè)D含有重量為4的碼字

        e(x)=1+xl1+xl2+xl3,

        其中1≤l1

        e(x)+e*(x)=xl1+xl2+xl3-l2+xl3-l1∈D.

        因此

        綜上所述,當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),Res(C)的極小漢明距離至少是5.

        定理3當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),C的極小Lee距離為3;當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),C的極小Lee距離至少為6.

        證用dL(C),dH(C)分別表示碼C的極小Lee距離和極小漢明距離.由Lee距離的定義,dL(C)≥dH(C).注意到C與Tor(C)的極小漢明距離相同.由引理3,當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),dL(C)≥3;當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),dL(C)≥5.下面分兩種情況討論dL(C).

        (i) 當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),令l=n/3,則

        ζ3l-1=(ζl-1)(ζ2l+ζl+1)=0,

        因?yàn)棣苐-1≠0,所以,ζ2l+ζl+1=0.從而,g(x)整除x2l+xl+1.由此推出

        c(x)=(x2l+xl+1)4

        是C的碼字.在R中,xN=x6l=-1,于是

        c(x)=(x2l+xl+1)4=(x4l+2x3l+3x2l+2xl+1)2

        =x8l+2x6l+3x4l+2x2l+1=3x4l+x2l+3.

        因c(x)的Lee重量為3,故dL(C)≤3.因此,當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),dL(C)=3.

        (ii) 當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),假設(shè)C含有Lee重量為5的碼字c(x),則c(x)一定具有形式

        ±(xl1+xl2+xl3-xl4-xl5)

        或±(xl1+xl2+xl3+xl4-xl5),其中0≤l1,l2,l3,l4,l5≤n-1且它們彼此不相等.分兩種情況討論:

        ① 若c(x)=±(xl1+xl2+xl3-xl4-xl5),則

        ζl1+ζl2+ζl3=ζl4+ζl5,

        (2)

        ζ-l1+ζ-l2+ζ-l3=ζ-l4+ζ-l5.

        (3)

        令ζl1+ζl2+ζl3=ζl4+ζl5=a+2b,其中a,b∈Γ.由引理1可以得到

        (ζl1ζl2)1/2+(ζl2ζl3)1/2+(ζl1ζl3)1/2=(ζl4ζl5)1/2.

        (4)

        將(4)式兩邊平方再模2約化,得到

        (5)

        類似地,由(3)式可以得到

        (6)

        (6)式可變形為

        (7)

        將(2)式模2約化后代入(7)式,得到

        (8)

        將(3)式模2約化,并變形為

        結(jié)合(5)式得到

        (9)

        ② 若c(x)=±(xl1+xl2+xl3+xl4-xl5),則有

        ζl1+ζl2+ζl3+ζl4=ζl5,ζ-l1+ζ-l2+ζ-l3+ζ-l4=ζ-l5.

        由此推出

        ζa+ζb+ζc+ζd=1,

        (10)

        ζ-a+ζ-b+ζ-c+ζ-d=1,

        (11)

        其中a=l1-l5,b=l2-l5,c=l3-l5,d=l4-l5.對(duì)(10)式運(yùn)用引理1,再兩邊平方并模2約化,得到

        (12)

        (13)

        f(x)=x4+x3+λx+λ=(x+1)(x3+λ)=0.

        根據(jù)文獻(xiàn)[14]中引理9.5,x3+λ=0在F2m最多只有一個(gè)根.因此,方程f(x)=0在F2m中最多只有兩個(gè)根,矛盾.

        綜合①和②,當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),C中沒(méi)有Lee重量為5的碼字.所以,dL(C)≥6.

        例設(shè)m=5,n=31,N=62.在4[x]中,

        g(x)=m1(x)m-1(x)=(x5+2x4+x3+3)(x5+3x2+2x+3)

        =x10+2x9+x8+3x7+x5+3x3+x2+2x+1.

        設(shè)C=〈g(x)4〉是4上長(zhǎng)為62的LCD負(fù)循環(huán)碼,其中

        g(x)4=x40+2x36+2x34+x32+x28+2x22+3x20+2x18+x12+2x6+2x4+1.

        根據(jù)定理3可知,C的Lee距離至少為6.利用MAGAMA程序算出C的Lee距離為6.因此,C是4上參數(shù)(62,284,6)的線性碼.

        5 結(jié) 論

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).

        欧洲-级毛片内射| 一个少妇的淫片免费看| 艳妇臀荡乳欲伦69调教视频| 无码人妻少妇色欲av一区二区| 在线视频青青草猎艳自拍69| 国产精品视频白浆免费看| 日本道免费一区二区三区日韩精品 | 中文字幕亚洲熟女av| 50岁退休熟女露脸高潮| 欧美国产小视频| 久久久国产视频久久久| 大陆老熟女自拍自偷露脸| 无码人妻av一二区二区三区| 91网站在线看| 色哟哟精品中文字幕乱码| 欧美又大粗又爽又黄大片视频 | 少妇熟女视频一区二区三区| 人人妻人人澡av| 亚洲国产成人久久精品一区| 无码av一区二区大桥久未| 四虎成人免费| 中文字幕一区二区人妻在线不卡| 久久天堂一区二区三区av| 亚洲国产精品福利片在线观看| 天天插视频| 日韩人妖干女同二区三区| 久久亚洲av成人无码电影a片| 亚洲人成人影院在线观看| 蜜桃av噜噜一区二区三区香| 一区二区三区视频在线观看| 国产精品毛片一区二区| 欧美一区二区午夜福利在线yw| 日韩一区中文字幕在线| 色多多性虎精品无码av| 亚洲欧洲日产国码高潮αv| 亚洲一区二区三区免费av在线| 日本一区三区三区在线观看 | 成年美女黄网站色大免费视频| 亚洲国产韩国欧美在线| 国产成年无码AⅤ片日日爱| 国产三级精品三级在线专区2|