何秋靜,楊文韜,王曉雅,支啟軍
(1.貴州師范大學 物理與電子科學學院,貴州 貴陽 550000;2.六盤水師范學院 物理與電氣工程學院,貴州 六盤水 553004)
2020年春,各高等學校積極響應“停課不停教、停課不停學”的要求,在疫情防控中充分利用已有課程積累和網(wǎng)絡(luò)資源,積極開展線上授課和線上學習等在線教學活動[1-3]。在此背景下,本文采用GeoGebra 5.0軟件開發(fā)了手機和電腦都可以實現(xiàn)小球做單擺實驗的過程。GeoGebra是為小學到大學的教學而設(shè)計的開源動態(tài)數(shù)學軟件,GeoGebra針對不同的數(shù)學物件,提供不同的視區(qū)。不同的視區(qū)提供各自適用的工具列,包含了特定的工具、指令以及內(nèi)建函數(shù)與運算子,使用者可以運用不同表征的數(shù)學物件,來創(chuàng)造動態(tài)結(jié)構(gòu)。根據(jù)GeoGebra軟件的特點,用來做物理仿真實驗,可以作為物理教學的一個工具,下面以單擺為例,利用GeoGebra軟件實現(xiàn)單擺實驗的演示與仿真。
如果把懸掛的小球(擺球)自平衡位置拉至一邊(擺角θ<5°),然后釋放,擺球即在平衡位置左右做周期性擺動,這種裝置稱為單擺[4]。單擺做簡諧運動,單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān),在振幅較小時與振幅無關(guān),但與擺長有關(guān),擺長越長,周期也越長[5-7]。單擺原理在高中甚至大學物理中占據(jù)著重要的地位,故弄清單擺的原理及特點是非常重要的。本文利用GeoGebra 5.0軟件制作了小球做單擺的演示實驗,在設(shè)計過程中嚴格遵循單擺的原理,運用微分方程推導出擺球擺動的函數(shù)關(guān)系式,提高仿真實驗的可信度。學生在操作過程中,可以更深入的掌握單擺的原理,甚至比真實實驗更加鍛煉理論推導能力。
單擺是理想的物理模型,由理想化的擺球和擺長組成,擺線的質(zhì)量不計,不可伸縮[8]。
(1)如圖1,擺長為L,小球受力為:重力mg和繩子的張力T。將重力進行正交分解,重力mg可以分解為沿圓弧的切向和徑向的兩個力,L與垂線的夾角為θ,小球的位移為x。
圖1 單擺的受力分析圖
(2)根據(jù)牛頓第二定律,可以列出小球在切線方向上的運動方程:
切線方向的微分方程為:
(1)
方程兩邊消去質(zhì)量m得:
(2)
(3)
(4)
在切線方向小球僅受切向力,由(2-1)式可知
(5)
由Fτ=maτ
(6)
由圓周運動公式可知:aτ=ω2x
(7)
(2-7)式即簡諧運動的微分方程
解微分方程得:θ=θ0sinωt,或θ=θ0cosωt
(8)
綜上所述,單擺的擺動近似是簡諧運動[9]。
GeoGebra是一款專門為理科生設(shè)計的動態(tài)數(shù)學軟件,GeoGebra軟件類似于幾何畫板式的幾何工具,它結(jié)合“幾何、代數(shù)、微積分”,可在上面畫點、向量、線段、多邊形、圓錐曲線、甚至函數(shù)[10]。通過單擺原理的理論推導,可知圓頻率ω與擺長L有關(guān),因此在設(shè)計過程中定義小球的數(shù)學函數(shù)是關(guān)鍵。
圖2 單擺的動態(tài)平面效果圖
在3D繪制區(qū)中,基于單擺在平面坐標系的設(shè)計步驟,可繪制出單擺擺動的立體效果,單擺3D效果圖如圖3所示。
圖3 單擺的動態(tài)立體效果圖
單擺的擺角很小時,質(zhì)點的運動可以近似的看作簡諧運動,簡諧運動的狀態(tài)可以用正弦函數(shù)來描述。
首先定義向量u[(0,-2),(3,-2)],作為時間t軸,再定義向量v[(0,-2.5),(0,-0.5)],作為y軸。定義動點D(0.04t,-2+0.2lsin(ωt)),作為小球的運動情況。定義時間t1:t1=0.01t。最后定義曲線j[0.04t1,-2+0.2lsin(ωt1),t1,0,t],作為正弦曲線。單擺的正弦函數(shù)圖像如圖4所示。
圖4 單擺的正弦函數(shù)圖像
在GeoGebra平臺上設(shè)計單擺實驗的過程不僅要掌握單擺擺動的簡諧運動規(guī)律的理論知識,還要具備數(shù)學的邏輯能力。在制作仿真單擺實驗的過程中總結(jié)出了GeoGebra5.0軟件作為輔助教學的一些優(yōu)點。
GeoGebra 5.0軟件是定義數(shù)學物件來創(chuàng)造動態(tài)結(jié)構(gòu),平常所用到的線段、圓、曲線等,可直接用中文輸入代數(shù)區(qū),中文輸入后就會顯示所對應的數(shù)學格式,在繪制過程中只需把數(shù)字插入即可。在工具欄上的滑動條,可根據(jù)所設(shè)置的變量,在區(qū)間內(nèi)隨意調(diào)試,這樣可看見不同情況下的實驗效果,進而可以記錄所對應的數(shù)據(jù),這與真實實驗收集多組數(shù)據(jù)的操作是一致的,且導出手機后可隨時觀看實驗效果,可見GeoGebra平臺有平易近人的特點。
圖5 小球擺過和個周期的時間圖
在單擺實驗中最關(guān)鍵的就是控制擺角小于5°,在真實實驗實驗中運用工具是比較容易實現(xiàn)的,在GeoGebra平臺上如何保證小球的擺動幅度在5°以內(nèi)呢?經(jīng)研究討論,結(jié)合單擺的擺動的理論知識,單擺的擺角與擺長有關(guān),且由(8)式可知擺角是關(guān)于時間的正弦函數(shù),故可在2.1單擺仿真實驗的平面設(shè)計步驟中,起初定義點B的坐標為(1.3+0.2lsin(ωt),1.1-l),但發(fā)現(xiàn)當l取很小時,擺度過大,已經(jīng)不是單擺過程,從仿真來看,小球已經(jīng)離開圓c運動,或者說圓軌跡運動與直線運動的簡諧振動已經(jīng)不重合,如圖6對點B定義的效果圖(a)所示。經(jīng)研究討論后定義點B的坐標為(1.3+0.1lsin(ωt),1.1-l),這樣可以始終保證小球的擺動幅度在5°之內(nèi),如圖6對點B定義的效果圖(b)所示。
(a)
由于GeoGebra5.0軟件是用數(shù)學公式來指令動態(tài)結(jié)構(gòu),所以在GeoGebra平臺上做仿真實驗時,要具備數(shù)學的邏輯思維。例如,在做單擺仿真實驗的正弦函數(shù)設(shè)計時,小球擺動的時間為80時,正弦函數(shù)圖很長,不能體現(xiàn)小球擺動的實際運動情況,且影響美觀,如圖7所示。
圖7 單擺的正弦函數(shù)圖
由于正弦函數(shù)圖像太長,即x坐標太長。解決的方法就是壓縮,怎么壓縮函數(shù)?這就要運用數(shù)學方面知識以及邏輯思維能力,單擺繪制的正弦曲線采用參數(shù)方程繪制,將x的參數(shù)乘以一個小于1的倍數(shù),y坐標不變就可以把函數(shù)圖像的x軸壓縮,從而把很長的時間壓縮到一個較短的坐標軸上,如圖8所示。
圖8 單擺的正弦函數(shù)圖
本文利用GeoGebra 5.0軟件實現(xiàn)了小球單擺實驗的演示與仿真,對本實驗中擺角的控制以及單擺的正弦曲線進行了巧妙設(shè)計,這將有助于學生加深對小球做單擺運動規(guī)律的理解。此外,GeoGebra 5.0軟件在小學至大學中作為一種輔助教學工具,在未來有很大的發(fā)展前景。不管是教師將GeoGebra 5.0軟件制作的動畫用于教學,還是學生拿來作為課前預習的實驗,這對于物理概念和物理規(guī)律的掌握以及運用都有很大的幫助。